книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики

чения правдоподобных результатов в прикладной теории нели­ нейных колебаний (результатов на рациональном уровне строгости, как мы сказали бы теперь) посвящена гл. IV книги [36аL

После выбора формы рёшения (63) неопределенные коэффици­ енты, которые в нем имеются, вычисляются с помощью подстановки (63) в (62) и приравнивания коэффициентов при одинаковых сте­ пенях \i или других аналогичных действий. Если речь идет о впол­ не определенном решении уравнения (59), а в решении (63) имеются параметры, т. е. fc>0, то попутно из тех или иных соображений находятся значения этих параметров; обычно эти значения выте­ кают из условий разрешимости уравнений для неопределенных ко­ эффициентов. При этом мы узнаем, к какому из решений (61) близ­ ко искомое решение уравнения (59). После построения решения (63) в нем надо положить р= 1; это и должно по замыслу привести к точному или приближенному решению уравнения (59).

Как видно, все этапы применения описываемого метода, за исключением этапа вычисления неопределенных коэффициентов и параметров, осуществляются на рациональном уровне, поэтому и окончательный результат является лишь правдоподобным. Так, при построении точного решения значение р=1 может оказаться за пределами интервала сходимости. Если же строится приближенное решение, например первое приближение, то нет уверенности в том, что оно будет хорошим, и даже в том, что оно окажется лучшим, чем нулевое. Вообще, если первые этапы метода осуществлены не­ удачно, то метод никакого результата не даст либо даже приведет беспечного исследователя к ошибочным выводам.

Как же избежать таких ошибок? Для отдельных вариантов ме­ тода малого параметра оценка соответствующего радиуса сходи­ мости г проводилась на дедуктивном уровне (см., в частности, [282]); отметим, что при r> 1 точное решение <р(1; а и . . ., a k) обязательно удовлетворяет уравнению (59) *). Однако такие оцен­ ки, получение которых даже в простых схемах представляет до­ статочно трудную задачу, отвечают самому неблагоприятному стечению обстоятельств и потому в конкретных случаях часто оказываются излишне пессимистичными. Поэтому обычно более целесообразно контролировать результат также на рациональном уровне. Высокая степень достоверности вывода о качестве прибли­ женного решения получается при исследовании практической схо­ димости метода, т. е» с помощью сравнения последовательных приближений друг с другом. Уже сравнение 0-го, 1-го и 2*го приб­ лижений позволяет сделать такой вывод с определенной достовер­ ностью, так как тенденция .к сходимости или расходимости про­ цесса чаще всего проявляется уже на его первых шагах, а привле­

*) Впрочем, если уравнение (59) имеет более одного решения или если количество этих решений неизвестно, то возникает сомнение — а то ли мы решение построили, которое нас интересовало; это сомнение обычно разъяс­ няется на рациональном уровне.

232 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

чение еще нескольких последующих приближений может сделать этот вывод практически достоверным. Если решается задача с пара­ метрами, то может оказаться целесообразной проверка для не­ скольких типичных реальных комбинаций их значений, так как процесс, сходящийся для одних значений параметров, может ока­ заться расходящимся для других значений.

Иногда достоверность решения задачи методом .малого пара­ метра удается повысить, получив независимым путем решение для вырожденного частного случая задачи и сравнивая соответствую­ щие результаты. Аналогичную роль играет сравнение результата вычислений с физическим экспериментом; при этом рациональным доводом в пользу правильности результата вычислений является то, что первое приближение лучше описывает эксперимент, чем ну­ левое. Такое сравнение можно провести не по всем вычисленным ха­ рактеристикам: например, при построении периодического про­ цесса с заранее не заданной частотой можно сравнивать только ча­ стоты колебаний или только их амплитуды и т. д. Интересно, что при обнаруженной на самых первых приближениях тенденции к сходимости ссылка на дедуктивно доказанную сходимость процесса при достаточно малых | р. J играет ту же роль, что и ссылка на согла­ сие с экспериментом: и та и другая существенно повышают степень достоверности утверждения о хорошем качестве приближений, иногда доводя ее до практически полной (см. п. 3.3).

В качестве примера на метод введения малого параметра в книге [36а, § IV.21 рассмотрена задача о движении физического маятника, точка подвеса которого совершает принудительные гармонические колебания по двум взаимно перпендикулярным направлениям с одинаковой частотой м в плоскости качаний этого маятника. Как показывают теоретические исследования и эксперименты (см. п. 4.10), при одних и тех же параметрах системы в зависимости от начальных условий могут оказаться возможными по крайней мере два типа устойчивых установившихся движений маятника — колебания вблизи некоторого положения с частотой ю (либрация) и вращение с постоянной средней угловой скоростью ±<о (ротация). При исследовании каждого из этих типов движений делаются не­ совпадающие предположения о малости параметров, а в уравнениях движения оказываются малыми различные группы членов. В ре­ зультате, уравнения для нулевого приближения и весь ход даль­ нейшего исследования для разных типов движений оказываются различными. В книге [36а] с помощью подобных приемов рассмотре­ ны почти все конкретные примеры, при этом результаты оказыва­ ются в хорошем соответствии с экспериментом и с результатами, полученными иными способами.

Добавочная трудность возникает при применении к реальным примерам результатов теоретического исследования задач с несколь­ кими малыми параметрами. Пусть, например, в задаче имеется два малых параметра ft и v. Тогда часто бывает, что поведение решения

существенно, порой даже качественно зависит от соотношения

другой. (Так бывает, если исходная задача качественно меняет свойства как при jut=0, так и при v=0, но по-разному.) Однако если нужно применить результат такого исследования в конкретной ситуации, когда |х и v принимают к о н к р е т н ы е относительно малые значения, то для этих значений можно при любом показателе р установить соотношение \L= CVP за счет подбора коэффициента с. Конечно, слишком большие и слишком малые значения с непри­ годны, но даже «средние» значения с дают широкие возможности для произвола в выборе показателя.

Трудно привести общие рациональные соображения по поводу того, как преодолеть указанное затруднение. Если рассматрива­ ется серия однотипных примеров, то контрольное рассмотрение нескольких из них каким-либо другим методом может позволить уточнить диапазон возможных значений коэффициента с, что в свою очередь ограничит произвол в выборе р . (Если с1< с< с2»v < l, то (In jx—In Ci)/lnv<;p<:(ln р—ln c 2)/lnv.) Если же полученное ограничение окажется недостаточным для однозначного вывода или если число рассматриваемых примеров невелико, то не исклю­ чено, что весь метод исследования должен быть признан ненадеж­ ным и заменен другим.

11. Интерполяция и экстраполяция. Эти процедуры широко применяются в прикладной математике *), и им посвящено большое число руководств; мы сделаем только некоторые общие замечания методологического характера.

Хотя идеи и методы теории интерполяции сравнительно хоро­ шо формализованы, однако и здесь центральные вопросы о выборе типа интерполирующей функции и критерия качества интерполяции решаются на рациональном уровне. При этом учитываются объем исходных данных, их точность и достоверность, цель интерполяции (нельзя забывать об этом!), сложившиеся разумные традиции в дан­ ной области приложений и т. д.

Самые грубые задачи интерполяции возникают при подборе эмпирических формул и в других сходных ситуациях. Чаще всего пользуются формулами простой структуры, скажем

у~ ах-\-Ь , у = a + bx + сх2, у = ахь, у = аеЬх9 у — а + Ь/х

ит. п., учитывая при ее выборе те или иные теоретические сообра­ жения, связанные, например, с анализом поведения функции **)

*) И не только в ней. В сущности всякое научное предсказание есть экстраполяция с наблюденных «итуаций на ненаблюденные, с измеренных величин на неизмеренные и т. п.; систематическое использование экстрапо­ ляции служит признаком зрелости той или иной области знаний как науки.

**) Имея в виду такой анализ, Я- Б. Зельдович пишет об э м п и р и ­ ч е с к и х формулах [130, с. 45]: «На самом деле, конечно, формула тем

Отсюда

График многочлена Qt(x) в ситуации рис. 25 показан штрихпунктирной линией; хотя этот график «несколько прямолинеен», но в качественном от* ношении более надежно описывает зависимость, чем предыдущий.

Разобранный пример тривиален, и результаты его рассмот­ рения были очевидны с самого начала. Однако и в более сложных ситуациях могут возникнуть аналогичные осложнения, которые делают нецелесообразным применение интерполяционных много­ членов слишком высокой степени. Оптимальную степень таких мно­ гочленов для различных классов задач можно получить, сравнивая в типичных ситуациях погрешности, возникающие при отыскании аппроксимирующего многочлена той или иной степени по методу наименьших квадратов с погрешностями в исходных данных [337].

Понятно, что интерполирующая функция дает лишь некоторое рациональное описание истанной зависимости, которое может иметь как высокую, так и не очень высокую степень достоверности. В частности, при интерполировании «вслепую», без глубокого ана­ лиза реального смысла зависимости, всегда имеется опасность не заметить разрывы, острые экстремумы и другие особенности, кото­ рые могут оказаться для этой зависимости определяющими. (Тем более, что выбросы из общего главного хода зависимости, порож­ даемые этими особенностями, могут быть легкомысленно приписаны ошибкам эксперимента и потому не приняты во внимание.) Это также делает существенным предварительный или попутный теоре­ тический неформальный анализ реальной зависимости; часто он дает возможность предвидеть появление подобных особенностей и так направить подбор эмпирических данных и интерполяционной фор­ мулы, чтобы получить адекватное описание этой зависимости *).

Во многих задачах оказывается удобным использовать в ка­ честве интерполирующих функции, заданные не одной формулой, а двумя или несколькими формулами, действующими на различных интервалах изменения независимой переменной. Это относится не только к зависимостям, обладающим разрывами, но и к «гладким» зависимостям, определенным на достаточно длинных интервалах и не описываемым с приемлемой точностью единой формулой доста­ точно простой структуры. В последнем случае широко применяются кусочно-полиномиальные функции, в том числе так называемые сплайны 46, значительно лучше приспособленные для интерполиро­ вания, чем функции, заданные единой формулой. Кусочно-полино­

*) Приведем простой пример: пусть известно количество писем, достав­ ленных в городе Н. 15 ноября, 15 декабря 1973 г., 15 января и 15 февраля 1974 г. Можно ли с помощью интерполяции приближенно определить коли­ чество писем, доставленных 31 декабря 1973 г.?

236 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

миальные функции применяются, в частности, если интерполяция выполняется как промежуточный этап при численном дифферен­ цировании, численном интегрировании, численном решении диф­ ференциальных уравнений и т. п.

Если при интерполяции обсуждение реального смысла иссле­ дуемой зависимости во многих случаях весьма полезно, то при экстраполяции такое обсуждение во в с е х случаях является цент­ ральным, решающим элементом процедуры. Мы уже говорили о том, что интерполяция одной и той же зависимости может быть осу­ ществлена различными формулами. Однако если даже эти формулы на интервале интерполирования дают близкие значения, то при удалении от него они могут приводить к принципиально различным результатам. Необоснованное распространение формул с исход­ ного на существенно более широкие интервалы может приводить к вопиющим ошибкам.

Представим себе, например, что изучаемая зависимость на ис­ ходном интервале близка к линейной и интерполирована с по­ мощью линейной функции у= ах+ Ь. Допустим далее, что для уточ­ нения формулы добавлено в качестве поправочного члена слага­ емое ах2 с малым коэффициентом а и интерполяционной функцией стала служить у= Ь + ах+ ах2. Но если этой же формулой восполь­ зоваться для экстраполяции, то при больших х член ахг из попра­ вочного превращается в главный, т. е. именно он будет определять поведение этой суммы, что может совершенно не соответствовать существу явления *).

Конечно, бывают случаи, когда какой-либо фактор, первона­ чально малозначительный, впоследствии становится решающим, но каждый такой случай нуждается в тщательном теоретическом ана­ лизе. Положение дополнительно осложняется тем, что в качестве

себя совершенно по-разному.

Таким образом, схема экстраполяции (в частности прогнозиро­ вания, т. е. экстраполяции вперед во времени) должна быть сле­ дующей. На основании известных данных на исходном интервале изменения независимой переменной строятся интерполяционные формулы с учетом возможных погрешностей и попутно строится теория, по возможности объясняющая характер полученных формул, влияние различных факторов, свойства их взаимодействия и т. п. Только имея теорию, удовлетворительно объясняющую настоящее, можно в некоторых случаях (далеко не всегда!) отобрать из интер­ поляционных формул такую, которая адекватно опишет обозримое

*) Я- Б . Зельдович пишет по этому поводу (130, с. 55|: «Положение ве­ щей напоминает сказку Андерсена, в которой тень, отделившись от человека, начинает жить самостоятельно, делает карьеру и, наконец, заставляет са ­ мого человека служить ей». Это яркое сравнение можно отнести и к паразит­ ным следствиям — «монстрам», о которых мы говорили в п. 2 .4 .

будущее со сколько-нибудь удовлетворительной степенью достовер­ ности. Прекрасно будет также, если, не получив непосредственно

ренциальных уравнений, решение которой будет удовлетворительно описывать изучаемую зависимость за пределами исходного интер­ вала.

Коротко говоря, мы тем лучше предскажем будущее, чем лучше осмыслим прошлое и настоящее (социологи и историки знают это давным-давно). При этом одинаково плохо действовать как всле­ пую, т. е. без теории, без осмысливания природы явления, так и догматически, т. е. связывая себя заранее определенной узкой тео­ рией без глубокого анализа возможности ее применения в рассмат­ риваемом случае *).

К сожалению, имеется много примеров того, как экстраполя­ ция в реальных задачах выполнялась либо формально, либо на ос­ нове неадекватной теории, что порой приводило к безответствен­ ным выводам и прогнозам. Особенно распространена формальная экстраполяция с помощью линейной функции, экспоненты и дру­ гих простейших функций, в основе которой лежит представление (не всегда явно высказываемое!) о постоянстве тех или иных реша­ ющих факторов **).

можно найти в повести Марка Твена «Жизнь на Миссисипи»: «За сто семьдесят шесть лет Н ижняя Миссисипи стала короче на двести сорок две мили. В сред­ нем это составляет чуть больш е, чем миля с третью за год. Отсюда следует — в этом может убедиться любой человек, если он не слепой и не идиот,— что

внижнесилурийском периоде (он закончился как раз миллион лет тому назад:

вноябре юбилей) длина Нижней Миссисипи превышала один миллион триста тысяч миль. Точно так же отсюда следует, что через семьсот сорок два года длина Нижней Миссисипи будет равна одной миле с четвертью. Каир и Новый Орлеан сольются и будут процветать, управляемые одним мэром и одной компанией муниципальных советников. В науке действительно есть что-то захватывающее, такие далеко идущие и всеобъемлющие гипотезы способна она строить на основании скудных фактических данных». Впрочем, фантазии

автора не хватило на описание ситуации, получающ ейся после указан­ ного срока.

В. Нернст «доказывал», что ему удалось завершить разработку фунда­ ментальных законов термодинамики (цитируется по журналу «Наука и

с численностью населения Земли (не правда ли, и здесь было бы интересно провести экстраполяцию несколько далее?) и т. я. Разбор примеров необос-

238 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

Скажем в заключение несколько слов о прогнозировании, ото­ слав заинтересованных читателей к книгам по футурологии. Есте­ ственно, что достоверность прогноза, даже научно обоснованного, если только речь идет не о явлениях типа солнечных затмений, до­ вольно быстро падает с увеличением интервала времени, на кото­ рый этот прогноз делается *). Поэтому любой прогноз целесообраз­ но подвергать непрерывной корректировке на основе сравнения с действительным развитием явления. Если же объяснение новых данных с помощью поправок к первоначальной теории становится все более натянутым, неестественным, то единственным выходом может оказаться принципиальное изменение модели,

12. Еще о дедукции. В предыдущем изложении центральное внимание уделялось различным типам собственно рациональных рассуждений. Это естественно, поскольку в центре нашего внимания находятся методы рассуждений и аппарат, характерные для при­ кладной математики. Однако диску сии показали, что подчеркива­ ние и отстаивание роли рациональных рассуждений понимаются иногда как отрицание или во всяком случае умаление роли дедук­ тивного метода.

В связи с этим мы хотим со всей силой подчеркнуть, что и речи не может быть о каком-либо отрицании роли дедуктивного ме­ тода — одного из самых блестящих созданий человеческого интел­ лекта. Отрицательного отношения заслуживает лишь неправомер» ное, неадекватное применение чистой дедукции, слепой перенос понятий, методов и всего стиля чистой математики в приложения.

Несомненно, что во многих задачах, прикладной математики адекватное применение результатов чистой математики и чисто де­ дуктивных конструкций принесло решающую пользу — конечно, это относится далеко не только к случаям, о которых мы упоми­ нали в § 4.

Во многих прикладных задачах непосредственно применяются результаты, полученные в чистой математике. Это относится в пер­ вую очередь к разнообразным точным и приближенным (в част­ ности, асимптотическим) формулам, для получения многих из ко­ торых нужны сложные дедуктивные рассуждения на уровне чистой математики: достаточно вспомнить различные применения теории аналитических функций **). Для последнего времени характерно

нованной экстраполяции в демографии содержится в книге Б . Ц . Урланиса [319, гл. II}.

*) П о этому поводу Кретя Патачкувна в книге «Пи» глубокомысленно

в физике функций комплексной переменной прямо-таки чудодейственным

вые формулировки, что уж совсем похож е на мистику: ведь, как мы знаем, комплексные переменные (н функции с комплексными значениями) первона-

также широкое применение качественных методов и результатов, относящихся к устойчивости, осцилляторности, свойствам спектра, монотонности тех или иных зависимостей и т. п. Получение этих результатов, часто далеко не очевидных, опирается на разнообраз­ ные разделы математического анализа, алгебры, функционального анализа и т. д. Конечно, имеются и другие каналы, по которым чисто математические результаты, даже весьма абстрактные, непо­ средственно применяются в прикладной математике (см., например, (3701).

По этому поводу И. И. Ворович писал ([81. с. 185]): «... строгий матема­ тический анализ не только наводит «блеск» на вещи, изученные и осознанные на уровне численного анализа, но и ... сам по себе является мощным сред­ ством познания, вскрытия отнюдь не очевидных и для сильной интуиции фактов и явлений, и в этой части может сравниться с экспериментальным методом».

Однако дело не только в таком непосредственном применении. Многие из структур, которые дедуктивно строятся в чистой мате­ матике, способствуют формированию и прикладного математиче­ ского мышления, правильному пониманию ситуации, ее эффектив­ ному анализу *). Аналогия с дедуктивной теорией часто приводит к появлению плодотворнейших идей.

Дедуктивное исследование того, какие варианты возможны в тех или иных предположениях, позволяет сделать вывод, чего можно ожидать в реальной задаче. (Так, дедуктивное исследование автономных систем дифференциальных уравнений на плоскости позволяет выяснить, какие движения могут быть у реальных ав­ тономных систем с одной степенью свободы.) О роли, которую сы­ грали исследования в области теории дифференциальных уравне­ ний в обнаружении возможности возникновения стохастичности в реальных системах невысокого порядка, уже говорилось в п. 5.8. Методы высокой строгости бывают эффективными для выявления

чально возникли в алгебре вне всякой связи с проблемами естественных наук».

*) Сравните с высказыванием Н . Бейли 130, с. 80] по поводу теории ин­ формации: «Вряд ли можно утверждать, что те приложения теории информа­ ции, о которых говорилось выше, позволили получить много таких резуль­ татов в биологии и медицине, которые не были бы уж е получены другими способами. И все же понятие информации, без сомнения, ценно тем, что оно служ ит полезным количественным инструментом для теоретических построе­ ний и описаний, а также унифицирует идеи и задачи, возникающие в самых различных областях знания. Как минимум это долж но стимулировать науч­ ные исследования, а в идеале может привести к новым результатам, получе­ ние которых маловероятно при других формах анализа». Во избежание недоразумений добавим, что в некоторых других областях приложения (на­ пример, в теории связи) та ж е теория информации привела не только к новым идеям^ но и к новым мощным рабочим методам.

М. Бунге [59, с. 57]: «Роль математики в современной науке двойствен­ ная: формирование понятий и вычисления. Нет понятия мгновенной скорости без понятия производной, нет закона движения без дифференциальных или операторных уравнений». См. такж е [22J,

240 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

особых и вырожденных случаев (п. 2.8) и просто необходимыми для анализа таких случаев, для указания последствий возможных ошибок при решении реальных задач («сигналы опасности») к т. д. Дедуктивное исследование отдельных примеров и эталонных задач играет важную роль в воспитании правильной прикладной мате­ матической интуиции (п. 5.13).

Наконец, свойственное дедуктивному методу стремление к ло­ гической четкости может способствовать разумному уточнению понятий и соотношений, входящих в прикладное исследование, что порой приводит не только к углублению знания, но и к прямым практическим результатам *).

Эффективность дедуктивного метода во многих задачах с дос­ таточно ясной, не слишком сложной в математическом отношении и достаточно адекватной математической моделью обусловила созда­ ние и развитие ряда дедуктивных разделов прикладных наук. В ос­ нове такого раздела лежит система аксиом, схематизирующая ре­ альные физические, экономические и т. п. связи, однако его даль­ нейшее построение принципиально не отличается от построения раздела чистой математики. Прямые аналогии с реальными сущно­ стями и даже выбор терминов способствуют разумной постановке задач в таком разделе, формулировке гипотез, а в ряде случаев — и построению доказательств. Наконец,— и это едва ли не самое глав­ ное — интерпретация дедуктивных выводов может принести су­ щественную реальную пользу.

Характерными примерами здесь могут служить теория линей­ ных цепей в теоретической электротехнике, ряд разделов теории автоматического управления, классическая механика точки и аб­ солютно твердого тела, математическая гидромеханика и т. д. (см.

*) Вот один из примеров подобного рода, приведенных Г. Ш тейнгаузом [353, с. 392— 393]: «Как-то раз известный биолог навестил математика и стал объяснять ему, как он вычйЬляет вероятность несовместимости крови матери и плода по резус-фактору. Математик с большим трудом следил за объясне­ нием, поскольку вся проблематика была ему соверш енно незнакома, и время от времени задавал наивные вопросы. Спустя некоторое время биолог заявил, что прежний способ вычисления вероятности неверен и его необходимо зам е­ нить другим, добавив при этом: «Вот что значит побеседовать с человеком, который разбирается в том, что ему говорят. Такое общение настолько стиму­ лирует мышление, что начинаешь видеть вещи, которых раньше не замечал». И действительно, новый способ определения вероятности оказался лучше старого, хотя придумал его сам биолог без малейшей подсказки со стороны математика».

Д ругой поучительный пример указал американский литературовед К. Кребер (цит. по [108, с. 252]): «Я пришел в вычислительный центр Висконсинского университета и сказал: «Я хочу использовать Ваши машины для анализа стиля художественной прозы». Я получил немедленный ответ: «Х о­

рошо, мы думаем, что сможем Вам помочь, но прежде всего скажите, что Вы понимаете под словом стиль». С момента нашего разговора прошло много ме­ сяцев, а я все пытался понять, что ж е я в действительности понимаю под стилем. В вычислительном центре я осознал, как мало я знаю о своем собст­

венном предмете, и вынужден был критически отнестись к положениям, кото­ рые я опрометчиво использовал в течение многих лет».