книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики

162 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

(с= > ^ £ /р — скорость распространения звука в материале стержня, р и Е — соответственно плотность и модуль упругости материала). В рассматриваемом случае все другие характерные размеры системы малы (а некоторые и весьма малы) по сравнению с /; поэтому, например, граничные эффекты в зонах Bf и В% приведут лишь к малым ошибкам в определении интересующих нас величин, а микроструктура материала отразится в осредненном виде лишь через модуль упругости Е. Промежуток времени Г0 велик по сравнению с основным масштабом t+—TXf и поэтому изменение во времени нагрузки Q(t) можно учитывать, рассматривая время как параметр.

Пусть теперь в тех же условиях целью исследования является изучение местных напряжений и деформаций вблизи тсрцов призмы или вообще реше­ ние той же задачи с большей точностью. Тогда за основной масштаб линейных размеров естественно принять либо поперечный размер а, либо некоторое меньшее расстояние а0 на протяжении которого напряжения а(х, у, /) претерпевают существенное изменение; при этом продольный размер / можно считать бесконечно большим, т. е. при изучении напряженного состояния вблизи каждого торца рассматривать полубесконечное упругое тело. Ес­ тественно, однако, что в данном случае нельзя будет ограничиться изучением одномерной модели, а придется рассматривать, вообще говоря, трехмерную задачу.

Если размер I сравним с размером а, то допущение о бесконечно большой длине стержня окажется несправедливым, и придется рассматривать еще более сложную задачу о взаимодействии возмущений напряженного состоя­ ния на обоих торцах.

Рассмотрим теперь случай, когда выполняются все неравенства (24) — (26), кроме самого последнего, которое заменено на противоположное Г © < 7ь и пусть нас интересуют установившиеся колебания или процесс распростра­ нения волн. В этом случае за основной масштаб времени t mестественно при­ нять период колебаний Г©; что же касается выбора основного масштаба ли­ нейного размера /*, то он в данном случае существенно зависит от величины Ты. Дело в том, что к набору величин (24) при этом должна быть добавлена

длина волны вынужденных колебаний кы ~ 2п с/со. Поэтому если при заданном <о длина волны >.©>6, то моделью системы может служить однородный (од­

нако теперь уже обладающий инерцией!) стержень, свойства материала ко­ торого задаются осредненными характеристиками Е и р; при этом можно принять /*=X©. Если же частота со столь велика, что длина волны X© срав­

нима с характерным размером микронеоднородностей б, то этот размер и следует принять за основной масштаб /*. При этом свойства материала уж е не могут быть описаны осредненными характеристиками Е и р, а определя­ ются параметрами, характеризующими микроструктуру материала. Макро­ скопические размеры тела / и а при этом для многих задач, связанных с рас­ пространением волн, могут считаться бесконечно большими.

Нетрудно было бы указать и задачи, в которых следует принять /„,— Го п т. п.

Естественно, что можно достигнуть значительного упрощения модели, если получится замкнутая система математических соотно­ шений, связывающих только основные переменные. Эти соотноше­ ния являются математической моделью первого приближения. Ма­ тематическая модель в основных переменных и основных зависи­ мостях наиболее проста и имеет, как правило, значительно меньшую размерность (характеризуется меньшим числом существенных сте­ пеней свободы), чем модель, составленная без учета иерархии пере­ менных.

Часто задача построения модели в основных переменных (вклю­ чающая, между прочим, и задачу наилучшего выбора самих этих

164 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

ным влиянием остальных, а решения для отдельных блоков согла­ суют друг с другом.

Остановимся прежде на быстро изменяющихся переменных, имея в виду сначала изменение переменных во времени; такие перемен­ ные естественно называть просто быстрыми. Их можно подразде­ лять на долговременно и кратковременно действующие. Первые появляются при описании быстро меняющихся величин, которые чаще всего входят в грубую модель своими осредненными зависи­ мостями от времени; так, периодическое «подталкивание» платфор­ мы с достаточно большой частотой можно грубо заменить на равно­ мерное давление на эту платформу. Аналитически такая перемен­

ная имеет структуру м=ы(0+£(0« где ы(0 — осредненная зависи­ мость, которая обычно только и входит в грубую модель, а величина | (t) есть добавочная уточняющая переменная, которая не обяза­ тельно мала по амплитуде, но ее временное среднее близко к нулю. При этом, если точная зависимость £(f) неизвестна, то ее можно принять за случайную добавку со средним значением, равным в каждый момент времени нулю. Если зависимость £(/) известна, то при аналитическом исследовании ей часто оказывается возможным придать вид

ш = ф(4 )>

вать как быстрое время, т. е. естественную для быстрой переменной шкалу временной протяженности.

При изучении конкретных объектов параметр е принимает опре­ деленные значения, и потому вопрос о том, можно ли считать его малым, должен решаться на рациональном уровне (§ 3). Аналогич­ ное замечание относится и к уточняющим переменным иных типов.

Важную роль могут играть кратковременно действующие быст­ рые переменные. Они обычно вводятся при анализе относительно кратковременных переходных процессов, связывающих одни устано­ вившиеся режимы с другими. При более грубом анализе можно считать такой переход мгновенным, что приводит к разрывам во времени тех или иных зависимостей, описывающих изучаемый про­ цесс, или, во всяком случае, можно отвлечься от рассмотрения этих зависимостей на протяжении переходного процесса. При этом такие

зависимости учитываются только своими интегральными характе­ ристиками. Например, если на материальное тело действовала сила F на небольшом промежутке времени по закону /?= /7i (/)» то в грубом приближении можно положить

F — Q6(t — t0), где Q = lF t (t)dt,

а 6 (() — дельта-функция (п. 2.7). Однако может быть поставлена также задача о более детальном изучении переходного периода (i,, t2); она может представлять самостоятельный интерес и, кроме того, оказаться существенной для исследования последующего раз­ вития процессов. Здесь, как и для долговременно действующих час­ то осциллирующих переменных, может быть полезные рассмотре­ ние переходного процесса в быстром времени т = (t—tx)l (t2—К).

Отметим, что понятие переходного процесса (переходного режи­ ма и т. п.) относительно, оно зависит от выбора тех характеристик процесса, изменение которых изучается. Так, в последнем примере промежуток времени (tu t2) служил переходным интервялом для действующей силы; но если эта сила возбуждала в системе затухаю­ щие колебания, то для координат системы переходным интервалом служит больший промежуток (tu t3), где t3 — условный момент пол­ ного затухания колебаний (например, за t3 можно принять момент, начиная с которого амплитуда колебаний не будет превосходить 0,1 от характерного изменения координат).

Если независимые переменные — это геометрические координа­ ты, то взамен переходного процесса надо рассматривать погранич­ ный слой, т. е. сравнительно узкую зону, разделяющую участки среды с существенно различными свойствами. Грубое приближение, при котором ширина этой зоны приравнивается к нулю, приводит к разрывным полям, характеризующим среды и процессы, происхо­ дящие в ней. Однако анализ структуры пограничного слоя и проис­ ходящих в нем «краевых эффектов» может оказаться весьма сущест­ венным, что приводит к необходимости введения уточняющих пере­ менных.

Аналогичная ситуация возникает при изучении эффектов, вызы­ ваемых в сплошной среде источниками возмущений, распределен­ ными по конечной области Q, с удалением от Q; это могут быть силы в задачах теории упругости, источники жидкости в задачах гидро­ динамики, источники электромагнитного поля и т. д. В достаточной близости й на эти эффекты влияют детали распределения возмуще­ ний в й, однако при удалении от й возмущения влияют только своими интегральными характеристиками; при этом можно просто принять, что возмущение сосредоточено в одной точке области й. Наконец, если рассматриваются точки, расположенные достаточно далеко от й, то в большинстве задач влиянием возмущения вообще можно пренебречь. Это дает возможность ввести «иерархию дально­

стей», применяя термины «близко», «далеко» и «очень далеко» в за*» висимости от того, какой из описанных случаев имеет место.

Пусть, например, рассматривается некоторое безвихревое поле А во всем пространстве, обладающее источниками векторных линий, распреде­ ленными в Q с плотностью р(х, у , г). Тогда потенциал ф(х, у , г) поля имеет вид интеграла Ньютона

Р(г')

| Г Г' | d'Q

(r~ - x l~ \~ yj - \ - zk , г ' — x ' i + y ' J + z'k, d'Q — d x 'd y 'd z* ) .

Нетрудно получить асимптотическое разложение этого интеграла при боль­ ших |г|:

Ф(г) - ГJ р (г') d'Q

т.е. потенциал при больших |г1 получается такой, как будто все источники

поля сосредоточены в одной точке в виде суммарного источника обильности

^ р (г) dQ« В этом случае потенциал поля при увеличении | г! убывает как

как |г|~3.

Можно рассматривать и еще более высокие порядки уравновешенности возмущений; чем выше этот порядок, тем быстрее затухает поле на бесконеч­ ности (см., например, [ИЗ])»

Подобным образом можно рассмотреть иерархию продолжитель­ ностей после окончания воздействия возмущений на какую-либо систему. Соответственно можно говорить, что возмущение окончи­ лось недавно, давно или очень давно, если:

—это возмущение ощущается в его деталях изменения во вре­

мени;

—оно ощущается только своей интегральной характеристикой (например, импульсом);

—оно было так давно, что из-за диссипации энергии его эффект

врассматриваемый момент уже не ощущается.

Естественно, что границы между понятиями «близко», «далеко», «очень далеко», так же как «недавно», «давно», «очень давно», за­ висят от избранных уровней точности (а также от упомянутой выше степени уравновешенности возмущения).

Отметим, что все здесь написанное давно используется в физике, теории сплошных сред, теории нелинейных колебаний и т. д.; мы хотели бы лишь подчеркнуть возможность систематизации извест­ ных представлений.

Вернемся к общей классификации переменных, вводимых при построении и достраивании грубой модели. Медленные переменные возникают, когда параметры, характеризующие систему или воз­ действие на нее, изменяются медленно по сравнению с характерной (основной) скоростью изменения переменных. (Иногда такое мед­ ленное изменение называется адиабатическим, а сама система — квазистационарной.) Подобным переменным при аналитическом ис­ следовании часто оказывается возможным придать вид Ф (et), где е > 0 — малый параметр, а Ф(0) — функция, скорость изменения которой имеет порядок характерных скоростей в системе. Тогда при грубом исследовании значение Ф(6) можно считать «заморожен­ ным», а при уточнении иногда оказывается полезным введение мед­ ленного времени 0=е/, по отношению к которому обычное время является быстрым.

Привлечение уточняющих переменных (типа в) может при ана­ литическом исследовании привести, например, к переходу от диф­ ференциального уравнения dx/dt—f(x, t) к уравнению dxldt= = /(х , 0 + e/i (х, t) или к системе уравнений dx!dt—f(x, 0 + e/i (*. У»О» dy/dt= f2 (х, у , t) и т. д. Этот переход может привести к уточнению исходного, «грубого», решения, а в случаях, которые в том или ином смысле являются критическими,— к качественному измене­ нию характера решения из-за накопления малых влияний. В част­ ности, нельзя пренебрегать слабыми связями в задачах о взаимной синхронизации или трением во многих задачах о колебаниях.

В п. 4.3 мы уже упоминали о том, что введение в консервативную систему как угодно малого трения приводит к тому, что все решения становятся затухающими. Поэтому при изучении свободных коле­ баний реальных систем на больших интервалах времени нельзя пре­ небрегать даже малым трением. (Совсем опасно не учитывать «отри­ цательное трение» — переход к упрощенному уравнению означал бы замену неустойчивого случая устойчивым и качественно исказил бы представление о действительном процессе.)

С другой стороны, на малых интервалах времени, пока влияние силы трения еще не успевает существенно накопиться, этой силой можно пренебречь. Так, на рис. 18 показаны кривые, описывающие движение колебательной системы с одной степенью свободы, вы­ званное внезапным приложением постоянной силы. Сплошная кри­

дели не могут помешать описанию реально наблюдаемого свойства (сказанное может служить некоторым признаком адекватности модели).

Поясним эти рассуждения выкладками. Пусть уравнение вынужденных колебаний записано в форме (21) (с. 147). Тогда установившееся решение

имеет вид х = А е ш Угде

принятое выше условие возможности практического резонанса выполняется

при k < Ут с/е. Но тогда можно считать, что резонанс наступает при

(о = о)0=: V"с/m, т. е. как и в системе без трения. В самом деле, о> отличается

от (о* менее чем на 3 %, а соответствующее значение | А | = | А0 | У mc/k отли­ чается от |Л |тах менее чем на 1,5%.

В теории дифференциальных уравнений разработаны методы, позволяющие изучать возмущения всех описанных выше типов. Но, как мы видели, реализация этих методов в прикладных задачах требует также и искусного привлечения рациональных сообра­ жений®

Для введения уточняющих переменных исходная грубая модель должна допускать возможность такого уточнения, т. е. обладать побочной адекватностью (п. 4.3). Именно составление грубой адек­ ватной модели, допускающей возможность уточнения, является чаще всего решающим моментом математического моделирования, определяющим успех исследования в целом. Это составление опи­ рается на предварительное неформальное обсуждение физической картины изучаемого явления и различных возможных гипотез по этому поводу, грубую прикидку влияния различных факторов на изучаемые характеристики, что требует соответствующих знаний и порой значительного опыта. Еще раз подчеркнем, что наиболее благоприятной является ситуация, когда удается выделить по воз­ можности небольшое число основных факторов, влияния которых имеют одинаковые порядки и не слишком сложно описываются ма­ тематически, тогда как влияния других факторов достаточно учесть с помощью осредненных, интегральных или «замороженных» харак­ теристик..У

У. Прагер [266, с. 8): «Квалификация прикладного математика в об­ ласти построения моделей очень часто определяет успех исследования в не меньшей степени, чем его знания в области аналитических и численных ме­ тодов, необходимых ему для операций с математическими соотношениями, характеризующими поведение выбранной модели. (Отметим, кстати, фунда­ ментальную важность этого положения при подготовке специалистов в области прикладной математики; см. п. 8.9 — Авт.) Знакомство с соот-

ветствукмцнми методами позволяет ему предвидеть трудности, которые могут возникнуть в связи с учетом в модели определенных аспектов явления. После этого он должен выяснить у заказчика необходимость ввода в модель этих эффектов, сообщив о «математических» последствиях их учета и подчеркнув то обстоятельство, что более грубая модель, легко поддающаяся математи­ ческой обработке, может привести к более глубокому пониманию природы естественно-научного явления или технологического процесса, чем более тонкая, но тяжеловесная с математической точки зрения модель».

При рассмотрении сложных систем — таких, например, как тех­ нологические,— включающих десятки и сотни переменных, в нача­ ле исследования чаще всего бывает не ясно, какие именно из этих переменных или их комбинаций можно принять за основные, а ка­ кие — за уточняющие. Здесь особенно важны физические и другие неформальные соображения, недогматический подход к делу, про­ верка адекватности модели и готовность ее изменить в случае необ­ ходимости. При этом бывает целесообразным параллельное иссле­ дование нескольких моделей.

Для многих сложных задач грубое решение оказывается доста­ точным. Однако начинать исследование с грубой модели целесооб­ разно даже в том случае, когда заведомо известно, что придется изу­ чать (например, из-за требований к точности результата) более слож­ ную модель. Закономерности, подмеченные на грубой модели, часто оказываются особенно прозрачными и позволяют рационально орга­ низовать исследование более полной модели, а грубые численные ре­ зультаты могут послужить отправной точкой в применении итера­ ционных методов.

При дальнейшем уточнении модели могут привлекаться перемен­ ные, играющие по отношению к вводимым на первом этапе уточне­ ния ту же роль, что и эти последние по отношению к переменным са­ мого грубого приближения. Например, эти переменные могут быть типа в) и г) и описывать все более слабые влияния на изучаемую си­ стему. Таким образом, переменные выстраиваются в иерархическую последовательность; конечно, эта иерархия зависит от того, какие характеристики системы мы исследуем, так как значимость одних и тех же факторов для различных характеристик может быть суще­ ственно различной. Иерархия переменных может также определять­ ся их характерной протяженностью: например, иерархию образуют переменные грубого приближения, уточняющие переменные типа а), уточняющие переменные, так сказать, типа а)* и т. д. Отметим, впрочем, что в подавляющем большинстве реальных задач перемен­ ных типа а) — г) (часто даже не всех этих типов), уточняющих ис­ ходную грубую модель, оказывается достаточно, так что дальней­ шего уточнения, с упоминания о котором мы начали этот абзац, не требуется.

Классический пример последовательного уточнения модели представляет небесная механика. Так, при изучении движения пла­ неты вокруг Солнца наиболее грубой моделью, но приводящей ко многим полезным выводам (например, к законам Кеплера), является