книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики

характера вырождения и при возможности делать содержательные «устойчивые» выводы из этого исследования. К сожалению, это тре­ бование в ряде работ (особенно, чисто математических) опускается, и есть немало работ, посвященных особым случаям высокой степени вырожденности, общетеоретическое и прикладное значения кото­ рых сомнительны.

Заканчивая на этом обсуждение вопроса об устойчивости отно­ сительно изменения параметров, приведем пример неустойчивости математических п о н я т и й .

Пусть речь идет о вынужденных колебаниях системы с малой нелинейностью. Известно, что в теории таких задач большое значе­ ние имеет соизмеримость или несоизмеримость частоты возбуж­ дения и частоты свободных малых колебаний. Но свойства соизме­ римости и несоизмеримости неустойчивы, ибо они могут нарушаться при сколь угодно малом изменении параметров системы. Как же быть в реальных условиях? Обычно выводы, полученные для соиз­ меримых частот, прикладники считают верными с определенной точ­ ностью и в тех случаях, когда отношение частот близко к отношению небольших натуральных чисел (1:1; 2:1; 2 :1 ; 2 :3 и т. п.); если же отношение частот равно отношению больших натуральных чисел, то применяются результаты исследования случая несоизмеримости. Таким образом, логически точное, но неустойчивое понятие соизме­ римости, переходя в прикладную математику, трансформируется в не вполне четкое, но устойчивое понятие «практической соизмери­ мости».

В целом, из сказанного выше следует, что возможная неустойчи­ вость методов, моделей и даже самих математических понятий (относительно изменения параметров) требует изменения подходов при решении прикладных задач. Так, в математической статистике это требование привело к созданию теории так называемых «робаст­ ных» оценок — малочувствительных к изменению исходных пред­ посылок, хотя и не всегда наиболее эффективных (см. [342]).

9. Размытые понятия. Однако из важнейших особенностей при­ кладной математики является то, что она, как и все дисциплины, за исключением чистой математики, широко и плодотворно пользуется понятиями, которые с точки зрения последней не являются точно, однозначно определенными. Такие понятия сейчас принято называть размытыми (расплывчатыми, нечеткими, fuzzy). Содержание и гра­ ницы размытого понятия могут уточняться в ходе рассуждений, они могут быть для разных людей и в разное время несколько различ­ ными, причем допускаемая степень неодинаковости зависит от об­ ласти, к которой относится понятие. Подобная нечеткость не про­ тиворечит существованию объективной основы такого понятия и связана с нецелесообразностью или даже с невозможностью пол­ ных уточнений на данном уровне знаний.

В жизни все мы, сознательно или бессознательно, систематиче­ ски и с пользой применяем размытые понятия. Например, в содержа­

тельном предложении «Сейчас плохая погода» за каждым из трех слов скрывается размытое понятие. При этом, так как погода может быть более плохой, еще более плохой и т. д., то понятие «плохой» погоды содержит признаки величины, хотя и в размытой форме.

Вподобных случаях естественно говорить о размытых величинах. Размытые понятия в необходимых случаях уточняются, однако

такое уточнение далеко не всегда приводит к чисто дедуктивному уровню: дедуктивное «уточнение» может чрезмерно исказить истин­ ную картину. Пусть, например, мы захотели уточнить понятие при­ менения методов одной области науки в другой (скажем, математики в медицине). После некоторого размышления мы говорим примерно так: область А применяется в области В, если с помощью А можно в В получить результаты, которые без А получить существенно слож­ нее или вообще не удается. Это уточнение, конечно, не дедуктивно, но оно и не бесполезно, так как помогает правильной ориентировке. По-видимому, подавляющее большинство определений понятий за пределами математики имеет характер подобных уточнений; это не определения в смысле чистой математики, а скорее неформальные описания, разъяснения, освещение объектов с различных позиций.

Висследованиях, связанных с размытыми понятиями, невоз­ можно применять далекие результаты математической логики» Мы упоминаем об этом в связи с распространившейся в последние годы модой ссылаться на теорему Геделя (см. 17) для обоснования невоз­ можности полного завершения физики (и для других подобных утверждений). Эти ссылки неуместны: теорема Геделя не имеет никакого отношения к физике.

В1965 г. Л. Заде ввел (см. [125]) понятие размытого множества, которое служит дедуктивной моделью размытых понятий. В размы­ том множестве каждый элемент снабжен коэффициентом, который принимает значение от 0 до 1 и трактуется как степень принадлеж­ ности этого элемента множеству. Так, в статье [33] приводится де­ дуктивное уточнение размытого понятия «несколько»: это множество чисел (3; 4; 5; 6; 7; 8} с соответствующими коэффициентами 0,6;

0,8; 1; 1; 0,8; 0,6. Другими словами, по мнению авторов этой статьи, о множестве с пятью элементами можно сказать с полным основани­ ем, что оно содержит «несколько» элементов; при числе элементов, равном девяти, этого сказать никак нельзя, а при четырех элемен­ тах это утверждение как бы истинно на 80 %.

Идея Заде получила широкий резонанс, и сейчас имеется уже много работ, в которых на дедуктивном уровне изучаются размытые отображения, размытые графы и т. д.; появились и применения по­ добных понятий (см., например, [106, 126, 216, 246, 250, 300, 411, 427, 452]). Думается, что развитие этого направления может ока­ заться полезным для прикладной математики, во всяком случае при качественном описании ситуаций, в которых размытость поня­ тий играет существенную роль. Количественные выводы в реальных задачах обычно затруднительны из-за необходимости придания коэф­

фициентам принадлежности конкретных значений, тогда как эти коэффициенты в действительности сами являются размытыми вели­ чинами. (Чтобы убедиться в этом, достаточно критически продумать приведенную выше модель понятия «несколько».) Поэтому «навязы­ вание» указанным коэффициентам конкретных числовых значений производит впечатление принципиально неадекватного действия, нарушающего некий «принцип неопределенности», свойственный размытым понятиям. Тем не менее, смещение неопределенности на более элементарный уровень может оказаться полезным, как и во многих реальных задачах, решаемых вероятностными методами, когда исходные вероятности не поддаются однозначному указанию: хорошо известно, что и в таких задачах применение развитой систе­ мы идей и методов теории вероятностей порой приводит к выводам, полезным не только в качественном, но и в количественном отноше­ ниях. (О связи теории Заде с теорией вероятностей см. [249].)

10. О применении содержательных понятий и рассуждений.

Один из основных принципов чистой математики состоит в том, что все свойства любого изучаемого понятия должны строго логически вытекать из его формального определения, они как бы потенциально заключены в этом определении. (На этом, в частности, подробно останавливается Г. Штейнгауз [353, с. 281—297]; говоря об особен­ ностях математического метода, автор здесь имеет в виду только чистую математику.) Соответственно все утверждения должны вклю­ чать только формально определенные понятия, логические соотно­ шения между которыми полностью предопределяют справедливость или ложность каждого такого утверждения. В частности, в чистой математике все свойства решений задачи полностью предопределя­ ются ее формулировкой. Любое изменение формулировки означает переход к новой задаче (конечно, в некоторых случаях эта новая задача может оказаться равносильной предыдущей), поэтому при исследовании задачи нельзя привлекать предположений и других уточнений, которых не было в ее формулировке.

В отличие от этого, в прикладной математике понятия и рассуж­ дения часто имеют такой же характер, как в нематематических дисциплинах и даже в обыденной жизни,— хотя бы уже из-за того, что исходные реальные объекты, свойства которых изучаются мате­ матическими средствами, неформальны. Мы уже говорили в п. 2.9 о привлечении размытых понятий, не допускаемых в чистой матема­ тике. Но если в прикладном исследовании применяется даже, каза­ лось бы, чисто математическое понятие, то за ним все время скры­ вается тот неформальный объект, который оно идеализирует: оно как бы служит меткой этого объекта и потому по существу включает в себя больше, чем содержится в формальном определении. Напри­ мер, когда в прикладном исследовании говорится «произвольная функция», то подразумевается «произвольная функция, встречаю­ щаяся в данной области приложений» (этим и объясняются различ­ ные подходы к понятию функции, о которых говорилось в п. 2.7)

64 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

и т. п.*). Даже такие логические термины, как «никогда», «утверж­ дение справедливо», «ошибка» и т. п., трактуются по-разному в за­ висимости от рассматриваемой области приложений. Это дает воз­ можность в процессе исследования по мере необходимости привле­ кать дополнительные сведения о рассматриваемых понятиях (см. п. 3.26). Поэтому такие неформальные понятия и рассуждения часто называют также содержательными. (О соотношении между фор­ мальными и неформальными понятиями см. также [355, 425; 57, с. 30; 236, § IV.4J.)

Применение содержательных понятий непосредственно основано на интуитивной убедительности рассуждения или утверждения. Но интуитивная убедительность, будучи неформальным понятием, безусловно отвергается, как основа доказательства, чистой математи­ кой, тогда как в прикладной математике именно интуитивная убеди­ тельность часто является важным свидетельством правильности,— конечно, с учетом совета «руководствоваться интуицией, но не дове­ рять ей» (А. Б. Мигдал [212, II, с. 107]). Действительно, чистая ин­ туиция или так называемый здравый смысл могут порой привести к ошибочным или даже совершенно абсурдным результатам; ряд примеров этого можно найти в книге Г. Биркгофа [34] (см. также [196, 497]). Поэтому интуитивные выводы должны сочетаться с ло­ гическим анализом, который, впрочем, в прикладной математике редко имеет чисто дедуктивный характер **).

Конечно, уровень интуиции не является чем-то абсолютным, он существенно зависит от степени изученности данной области зна­ ний, и чем эта степень меньше, тем к более грубым ошибкам может привести интуиция. В результате накопления знаний, анализа оши­ бок уровень интуиции повышается, а набор и характер интуитивно ясных утверждений и переходов может значительно измениться.

Здесь уместно обратить внимание на относительность и самого понятия доказательства. Доказательство — это убедительная мо­ тивировка справедливости утверждения; но нет, не может быть и не должно быть какого-то абсолютного понятия убедительности, при-

*) В книге [306, с. 52—с3] приведен пример того, как утверждение, истинное в смысле формальной логики, в житейском звучании становится ложным, так как в обыденной жизни мы за логическими терминами видим больше, чем содержится в их формальном определении: «Представим себе, что один из наших знакомых на вопрос, когда он уедет из города, ответит, что он собирается сделать это сегодня, завтра или послезавтра. Если мы впо­ следствии убедимся в том, что еще до нашего вопроса им было уже решено уехать в тот же день, у нас, вероятно, создастся впечатление, что мы были на­ меренно введены в заблуждение и что он солгал нам».

**) IB. В. Налимов [232]: «Высказывания, сделанные на математическом языке в прикладных задачах, всегда и прежде всего должны обладать инту­ итивной убедительностью... Здесь особенно четко проходит линия разграни­ чения между чистой и прикладной математикой». С другой стороны, в строго построенной дисциплине чистой математики «интуиция была и остается ис­ точником (полнее — основным источником постижения.— Авт.), но не ко­ нечным критерием истины» [179, с. 316].

для С, и т. д. Но в каком отношении эти условия находятся к собы­ тию Л?*)

Естественно, что тенденции прикладника в решении математи­ ческой задачи должны быть существенно иные. (Мы пишем «должны быть», поскольку прикладники порой становятся на позиции чистых математиков.) Главным для него является реальное следствие из этого решения, формальные обобщения чаще всего не представляют особой ценности. Столкнувшись с трудной математической задачей, прикладник предпочитает не искать элегантное решение («Я твердо придерживаюсь рецепта гениального теоретика Л. Больцмана — оставить изящество портным и сапожникам» — сказал по этому поводу А. Эйнштейн [357, с. 167]) и не решать произвольную фор­ мально близкую задачу; он попытается так видоизменить математи­ ческую формулировку исходной задачи, чтобы ее решение оказалось возможным и еще лучше — простым. Такое решение, если оно обес­ печивает нужную точность, получено быстро и экономными сред­ ствами, тоже обладает некими эстетическими достоинствами, и его можно признать элегантным, но в прикладном смысле.

Г. Штейнгауз пишет по этому поводу [353, с. 395]: «Чем проще приме­ няемый на практике математический метод, тем лучше. Удивительно, сколько скрытых возможностей еще таят в себе элементарные математические соот­ ношения. Поэтому речь идет о том, как увидеть «физический» смысл таких соотношений, а отнюдь не о том, как усложнить математический вопрос, бывший сначала понятным и единственным».

Проблема различия тенденций отчетливо видна в математической ста­ тистике, где происходит как бы непрерывная конкуренция прикладного и теоретического направлений. В. В. Налимов пишет [233, с. 4—5}: «Матема­ тическая статистика, или, точнее, ее теоретические основы, развиваются, как правило, математиками, совсем плохо знающими эксперимент. Их ло­ гические концепции часто оказываются мало понятными экспериментатору. Сложный, вполне современный математический аппарат, делающий задачи статистики столь привлекательными для математиков, часто только отпуги­ вает экспериментаторов. С позиций экспериментатора нередко наиболее важными и интересными оказываются те аспекты математической статистики, которые с позиций математика кажутся совсем второстепенными. Матема­ тики, занимающиеся разработкой математической статистики, подчас бывают совсем мало озабочены возможностью практического применения их идей и методов».

Аналогично высказывается Т. МакРей по поводу применения матема­ тики к проблемам управления предприятиями [483, с. 28]: «Если научное управление удалится в математическую раковину, оно превратится в от­ расль математики, а не управления. В настоящий момент имеется тревожная тенденция в этом направлении».

Подобный перекос возникает и в других областях, даже в художествен­ ной литературе, где, по словам А. В. Луначарского, «часто случается так: возникает иллюзия, что главное — фонарь, а не то, что он освещает» (цит. по [185, с. 83]).

Отметим, что здесь, как и в других пунктах § 2, мы сознательно

*) По этому поводу вспоминается следующая шутка. Продавец: «Горячо рекомендую этот гребешок из перлона — Вы можете гнуть его в разные стороны, опускать в кипяток, наступать на него ногой...». Покупатель: «Простите, а расчесывать волосы им можно?».

упрощаем картину. В действительности, как нет ни абсолютно чистой и прикладной математики, так нет и абсолютно чистых и прикладных математиков. Между «крайне правой» и «крайне левой» имеется целый спектр промежуточных ориентаций, определяющих направление и характер исследований. Таким образом, здесь скорее идет речь о тенденциях.

12. О математической строгости. Думается, из предыдущего ясно вытекает — это хочется подчеркнуть еще раз,— что нет и не может быть ни абсолютной строгости, ни абсолютной точности.

Строгость того или иного рассуждения есть средство избежать ошибочных выводов, так что она подчинена неформальным целям это­ го рассуждения. Поэтому уровень строгости различен в различных областях знания; он меняется с развитием этих областей, стихийно складываясь (в редких случаях более сознательно, например в ма­ тематической логике) в связи с их задачами и методами. Этот уро­

вень устанавливается постепенно в результате проб, проверок и уточнений, по существу — на основе компромисса: проведение рассуждений должно быть не слишком трудоемким и в то же время не приводить к существенным ошибкам. Сказанное полностью относит­ ся и к математике. Общий тезис об относительности знания проявля­ ется не только в изменении областей познанного и непознанного, но также и в изменении характера самого познания — в том, что п р и ­ з н а е т с я познанным, какие средства рассуждения при этом допускаются, какие утверждения считаются правильными или ошибочными и т. п. Это общее положение приобретает особенную актуальность при сравнении методов рассуждения в чистой и прик­ ладной математике.

Формулировки и доказательства Евклида — эти высшие дости­ жения античной строгости и точности — оказались недостаточны­ ми в современной чистой математике, хотя уровень их строгости и сейчас, по-видимому, чрезмерен для школьного курса. Евклид не уточнял понятие «между», он считал его само собой разумеющимся, и всякий раз, когда современный геометр сослался бы на аксиомы порядка, аксиому Паша *7, аксиомы непрерывности, Евклид рассуж­

дал на основании здравого смысла. Это не приводило его к противо­ речиям, и соответствующие логические пробелы, обнаруженные бо­ лее чем через две тысячи лет, оказались несущественными при по­ строении античной геометрии, равно как несущественны они в школьном курсе математики.

Математику XVIII в. не приходило в голову, что может потре­ бовать доказательства такое, например, утверждение, как теорема Жордана «замкнутая линия, не имеющая самопересечений, разби­ вает плоскость на две части». Он свободно обходился без современ­ ных уточнений понятий «линия», «поверхность» и т. п., поскольку наглядное представление об этих понятиях было вполне достаточно для решения ставившихся в то время задач. Вполне достаточно такое

з*

а также для школы *).

Подобно этому современная чистая математика, основанная на наивной теории множеств, не уточняет важнейшее, центральное для всей этой науки понятие «существует», считает его «само собой разу* меющимся»; пользуется понятием завершенной бесконечности на ос­ новании «здравого смысла» и т. п. Эти логические пробелы оказа­ лись несущественными при построении грандиозного здания чистой математики, они, как выяснилось э м п и р и ч е с к и , не приводят к противоречиям. Привычка к этим пробелам привела к тому, что многие их перестали замечать — это и привело к ложному представ­ лению об абсолютной строгости чистой математики.

По этому поводу И. С. Сокольников [299, с. 13) писал: «Понятие стро­ гости зависит всецело от условностей, диктуемых господствующим вкусом, которому и дано на определенный хронологический период утверждать меру требовательности в определении степени математической строгости. Плодо­ творные интуитивные концепции преобразуются обычно в строгие формы либо путем четко выраженного соглашения о том, какие понятия следует относить в категорию концепций, допускающих определение, и какие ос­ таются неопределенными, либо путем введения в математические теории новых формально логических процессов, по возможности свободных от про­ тиворечий».

Добавим, что в одном хронологическом периоде в разных разде­ лах математики могут быть приняты несовпадающие представления о строгости — в соответствии с традициями и целями этих разделов. Так было в период научного Возрождения с геометрией и математи­ ческим анализом; до XX в. ослабленные требования строгости были в теории вероятностей; сейчас различные уровни строгости имеются в математической логике, в основной части чистой математики **) и в прикладной математике.

*) История уточнения понятия многогранника описана в книге И. Ла­ катоса [184]. Сравнивая это уточнение с затачиванием карандаша, автор пи­ шет (с. 73): «...ни один карандаш не является абсолютно острым (и если мы переострим его, то он сломается)». Отметим одну из высказываемых им точек зрения (с. 76): «Не все предложения будут или истинными, или ложными. Есть и третий класс, который я хотел бы теперь назвать «более или менее строгими». Говоря подробно об эволюции понятия строгости, автор отмечает (с. 80): «Различные уровни строгости отличаются только местом, где они про­ водят линию между строгостью анализа доказательства и строгостью дока­ зательства, т. е. местом, где должен остановиться критицизм». См. также [353, с. 376—3871.

**) Интересны высказывания по поводу значительных отклонений в уровнях строгости даже внутри чистой математики Ф. Севери [2861 — главы итальянской школы алгебраической геометрии; эту школу одно время упре­ кали в недостаточной строгости.

(С. ИЗ, о критическом пересмотре основ математического анализа) «Этот пересмотр, который приобрел в наши дни относительную завершенность, не имеет, однако, той определенной ценности, в которую верят многие уче­ ные. В самом деле, строгость сама по себе есть функция совокупности знаний в каждый исторический период, соответствующая способу научной обработки истины».

Утверждение об абсолютной строгости и точности допускает также следующее курьезное самоопровержение. В п. 2.4 была оце­ нена вероятность того, что равенство 2 x 2 = 4 есть результат ариф­ метической ошибки. Тем же способом можно оценить вероятность и того, что в с е утверждения чистой математики содержат подоб­ ные ошибки; эта вероятность с точки зрения чистой же математики отлична от нуля.

Математическая логика находится, конечно, на существенно бо­ лее высоком уровне строгости, чем основная часть чистой матема­ тики. Однако и этот уровень не является абсолютным *). Более того, чтение вводных глав иных книг по математической логике мо­ жет произвести впечатление, что интуиция в ней играет большую роль, чем в «наивной» чистой математике; но дело в том, что многие вопросы, которые в чистой математике считаются само собой разу­ меющимися, а на самом деле основаны на интуиции, в математиче­ ской логике специально обсуждаются. Но и в логике многое остается «само собой разумеющимся», хотя грань необъясненного отодвигает ся вглубь. Так, это относится уже к первым словам курса «рассмот рим», «пусть» ит. п., которые должны быть одинаково поняты всеми читателями, но насколько универсально понятие «понятности»?**). Логические формулы, преобразованиями которых занимается мате­ матическая логика, должны быть как-то материально реализованы (записаны на бумаге и т. п.) и распознаваемы, что в систему аксиом не входит. Однако эти и другие подобные пробелы не мешают мате­ матической логике развиваться и успешно решать естественно воз­ никающие в ней проблемы, многие из которых оказываются сущест­ венными для математики в целом.

Еще более важно обратить внимание на следующее. Уровень строгости и весь образ мышления, принятые в математической логи­ ке, несомненно, не пригодны для чистой математики в целом, задачи которой выходят за рамки логики (впрочем, на некоторые из них

(С. 116, об уверенности без строгого доказательства в несомненности основ) «Нам могут возразить: откуда же берется эта несомненность? Ее источник заключается в согласии заключений ученых, проистекающем от использова­ ния общей интуиции и всегда взаимосвязанных результатов этого использо вания. «Вперед, вперед, и вы уверуете!» — сказал бы Даламбер».

(С. 131) «Строгость не есть средство открытия, ее место — в критическом анализе после совершения открытия». (По поводу упомянутых выше упреков) «Можно утверждать, что это было счастливой виной — иначе открытие мно­ жества важных свойств было бы задержано на несколько лет». Далее Северн приводит исторический пример ошибочности доказательства, основанного на логическом исчислении — «одном из самых грозных орудий строгости».

*) В книге [152] ярко описаны эволюция понятия строгости в матема­ тике и смятение, наступившее после того, как развеялись надежды на дости­ жение «абсолютной» строгости путем завершения построения оснований ма­ тематики.

**) Еще в двадцатых годах текущего столетия А. Тарский отметил, что любое доказательство, использующее один из естественных языков (русский, английский и др.), не может быть вполне строгим, поскольку грамматики всех таких языков не обладают необходимой для этого степенью однозначности.