книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики

тонические выводы. Однако известно (см., например, [192, с. 138]), что захват может быть только для начальных условий, образующих в фазовом пространстве множество нулевой меры. А так как любые начальные условия могут реализоваться лишь приближенно, то и «захват» реально будет иметь вид лишь длительного пребывания системы внутри S. Думается, что из-за этого любые ответственные космогонические выводы нельзя делать без хотя бы самой грубой прикидки этого интервала времени с учетом возможного влияния возмущений.

Аналогичное осложнение возникает при ответе на более простой вопрос: возможно ли попадание случайно брошенного шара в зара­ нее заданную точку плоскости? Конечно, если речь идет о чисто ма­ тематической постановке вопроса, то ответ зависит от соглашения о терминологии; обычно в теории вероятностей говорят, что такое попадание возможно, но имеет нулевую вероятность. Если же речь идет о реальном опыте, то надо иметь в виду, что, с одной стороны, реальная зона контакта шара и плоскости имеет конечные размеры (хотя бы из-за неизбежных деформаций), а с другой — ре­ альный порог «невозможности» определяется формально положи­ тельной вероятностью (п. 2.5). Соотношение между этими двумя малыми размытыми величинами и определяет (также размытый) ответ на поставленный вопрос.

Приведенные примеры лишь частично иллюстрируют изложен­ ное в настоящем параграфе; квалифицированный читатель сможет привести большое число, быть может, гораздо более ярких иллюст­ раций из области своей конкретной деятельности.

15. Еще цитаты. В заключение параграфа приведем высказывания различных авторов, непосредственно связанные с изложенным материалом, в основном с материалом пп. 2.10—2.12 (и частично — с § 3).

X. Розенброк и С. Стори, говоря о математическом решении приклад­ ных задач, пишут [279, с. 29—30): «...математик-теоретик начинает с фор­ мулировки задачи, которую он потом не подвергает сомнению. Его единст­ венной целью на протяжении последующих манипуляций является обосно­ вание своих аргументов. Ни одну важную задачу в технике нельзя поставить таким образом. Любое формулирование технической задачи является ус­ ловным, и если некоторое следствие формулировки задачи неверно или не­ приемлемо, то задача должна быть переформулирована. Если любой проме­ жуточный шаг в математической аргументации отображает физически невер­ ное положение, то результат, полученный с помощью строгих рассуждений из, по-видимому, обоснованной точки зрения, будет тем не менее ошибочным.

Математик-прикладник, следовательно, должен учитывать как мате­ матическую, так и физическую сторону задачи, связывая одну с другой».

Д. Хорафас [336, с. 13]: «В самом широком плане математику можно разделить на две области. Ученые, работающие в одной из них, имеют дело с символами, их комбинациями и свойствами в формализованном виде. Ма­ тематики, ведущие исследования в другой области, интересуются значением символов, т. е. смысловым содержанием теории, связанной с реальным ми­ ром». Это и есть схематическое определение чистой и прикладной математики.

О. Хевисайд (цит. по [52, с. 139— 1401): «Нужно по возможности полнее избегать вошедшего в обычай избавления от физики путем сведения задачи к чисто математическому упражнению. Следует все время не упускать из вида физику, чтоб*»! придать задаче жизнь и реальное значение и чтобы по­

лучить большую помощь, которую физика дает математике. Это не всегда может быть сделано, особенно в деталях, которые требуют больших вычис­ лений, но этот общий принцип следует проводить в жизнь по возможности полнее, уделяя особое внимание движущим идеям». Он говорит о введенных им без полного математического обоснования операторах сопротивления (там же, с. 141): «Их использование часто ведет к большим упрощениям и избав­ ляет от необходимости проводить сложные вычисления определенных инте­ гралов. Но при этом строгая логика дела не ясна! Ну и что из того? Буду ли я отказываться от обеда потому, что не понимаю полностью процесс пищева­ рения? Нет, не буду, если я удовлетворен результатом. Подобным образом и физик может применять нестрогие процессы с удовлетворением и пользой, если он, проводя проверки, убеждается в точности своих результатов».

А. Б. Мигдал [214, с. 22 и 24]: «Физика немыслима без математики и математических понятий, но не сводится к ним. Более того, главное в физике не формулы, а их интерпретация — понимание, именно оно питает интуи­ цию... Эти утверждения трудно понять физику математического происхож­ дения, который рассматривает теоретическую физику как раздел прикладной математики». «Физическая картина явления и его математическое описание дополнительны. Создание физической картины требует пренебрежения де­ талями и уводит от математической точности. И наоборот: попытка точного математического описания явлений затрудняет ясное понимание».

М. Кац и С. Улам [144, с. 167— 168] говорят о тенденции «современной математики: игнорировать и отвергать все, что не формализовано логически. Именно эта тенденция (начинающая проникать в начальное и среднее обу­ чение) в большой степени ответственна за растущее отделение математики от физики. Физик, применяющий математические методы, вполне может поло­ житься на внутреннюю согласованность своих построений и, что самое важ­ ное, на совпадение полученных результатов с экспериментом. Подобно ше­ стикласснику, он будет рад воспользоваться рациональными числами, не зная во всех подробностях, как их можно объединить в формальную систему, н, подобно Хевисайду, будет счастлив жонглировать операторами, не дожи­ даясь, когда логика даст ему разрешение на это». !

Кстати, именно Хевисайду удалось найти решения практически важных задач в случаях, когда применить логически полностью обоснованную в то время методику оказалось затруднительно. Позже аналогичная история произошла с обобщенными функциями (п. 2.7), которые физики ввели и на­ чали использовать раньше, чем математики дали им формально совершенное обоснование.

Г. Ван Трис пишет в предисловии к книге [63, с. 11— 12]: «Уровень ма­ тематической строгости книги невысок, хотя в большинстве разделов полу­ ченные результаты могут быть доказаны и строго, если мы будем просто более скрупулезны в наших выкладках. Мы намеренно приняли такой под­ ход с тем, чтобы обилием деталей не обременять существенные идеи и сделать материал удобочитаемым для той инженерной аудитории, которая найдет его полезным. К счастью, почти во всех случаях мы можем удостовериться, что наши выводы являются интуитивно логичными. Следует заметить, что эта способность проверять выводы интуитивно была бы необходима, даже если бы выкладки были весьма строгими, поскольку наша конечная цель — по­ лучить ответ, который соответствует некоторой рассматриваемой физической системе. Не представляет труда найти физические задачи, в которых правдо­ подобная (но неадекватная, см. п. 4.3.— Авт.) математическая модель и кор­ ректные математические методы приводят к нереалистическому решению исходной задачи».

Л. де Бройль [58, с. 326]: «Математический язык является чисто дедук­ тивным, он позволяет строго выводить следствия из посылок. Эта строгость, являющаяся его силой, является также его слабостью, поскольку она замы­ кает его в круг, за пределы которого он не может выйти. Математическое рассуждение должно установить следствия, которые уже содержатся в по­ сылках, не будучи еще очевидными: следовательно, оно не может дать в своих

Итак, не чистые дедукции, а смелые индукции и оригинальные представ­ ления являются источниками высокого прогресса науки».

Ю. А. Манин [198, с. 39—40]: «Предметом логики не является внешний мир, но лишь системы его осмысления. Логика одной из таких систем — ма­ тематики — в силу своей нормализованности представляет собой подобие жесткого трафарета, который можно накладывать на любую другую систему. Соответствие или расхождение этого трафарета с системой, однако, не служит критерием ее пригодности либо мерилом ценности. Физик не обязан быть ни последовательным, ни непротиворечивым — он должен эффективно описы­ вать природу на определенных уровнях. Тем менее логичны естественные языки и непосредственная работа сознания. Вообще логичность как условие эффективности появляется лишь в узко специализированных сферах чело­ веческой деятельности». Отметим весьма интересное обсуждение различных подходов к смыслу математического текста, содержащееся там же на с. 150— 160.

X. Розенброк и С. Стори [279, с. 17, 31 и 41]: «Мы не против математи­ ческой строгости и, признавая, что математика имеет свои собственные внут­ ренние законы развития, возражаем против позиции, которая концентрируем внимание на математических тонкостях, возникающих при постановке за­ дачи и несущественных в определенном смысле, и в то же время игнорирует действительные трудности». «Инженер должен не гнаться за строгостью как вещью в себе и избегать большой борьбы за общность и краткость. Слишком общая формулировка обычно сводит решение к задаче, менее легкой и менее полезной. Краткость (или «элегантность») это хорошо, однако часто она получается только за счет искусственности». «Инженер... не позволяет ста­ вить в один ряд все те проблемы, которые представляют какой-либо интерес. Математические выкладки оправдываются в его глазах их практическим ус­ пехом таким же образом, как и физические теории, к которым эта математика применяется. Вследствие этого различия в подходе аксиоматический метод мало привлекателен для инженера. Он соглашается признать, что 2 + 2 = 4 , потому что это приводит к полезным результатам, и не чувствует необходи­ мости доказывать это утверждение с помощью ряда менее очевидных аксиом. В то же время он не возражает против введения новых фактов в задачу по мере решения. Если новый факт верен, то он не может быть источником ошибок в результате».

X. Альвен (о физике; [11, с. 35]): «Современная научная литература изобилует работами, не лишенными математической элегантности, но резуль­ таты этих работ часто не представляют интереса из-за неаккуратного выбора исходных предположений».

Аналогичные мысли высказал Н. Бейли [30, с. 144] в связи с приложе­ ниями математики к биологии: «Вполне возможно, что для решения урав­ нений нужны некоторые дополнительные условия или допущения, либо их трудно решить именно в той форме, в какой они представлены. В этом случае математик может ввести дополнительные ограничения или произвести не­ которые изменения, позволяющие решить эти уравнения. Но может ока­ заться, что произведенные им изменения не соответствуют духу первона­ чальной биологической задачи, и в результате будет затрачено много сил на сложные, но бесполезные математические расчеты в поисках точного решения ошибочной задачи. Для того чтобы математик узнал, что именно в конечном счете допустимо с точки зрения биологии, он должен проявить интерес к самой биологической задаче и познакомиться с ией во всех деталях».

У. Прагер [266, с.. 8]: «Прикладной математик должен относиться с по­ ниманием (но не слепо! — Авт.) к требованию строгости со стороны чистого математика, так же как и к стремлению ученых и инженеров использовать эвристические рассуждения».

Выступая на конференции Американской ассоциации экономистов, пре­ зидент этой ассоциации В. Леонтьев, говоря о резко возросшем увлечении формальными схемами экономики, в частности, сказал [190]: «Некритиче­

84 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

ское увлечение математическими формулами часто ведет к тому, что за вну­ шительным фронтом алгебраических символов скрываются положения, лег» ковесные с точки зрения сущности предмета». Он приводит слова одного из недавних президентов Общества эконометриков: «... есть что-то скандальное в зрелище, которое представляет такое большое количество людей, занятых оттачиванием анализа экономических ситуаций, относительно которых у них нет никаких оснований полагать, что они когда-либо будут иметь место в дей­ ствительности... Это неудовлетворительное состояние дел, в котором есть даже что-то бесчестмое». И добавляет: «Увлеченность воображаемой, а не данной в наблюдениях реальностью привела к искажению неофициальной шкалы ценностей, по которой в наших академических кругах оценивают научные достижения. Эмпирический анализ оценивается теперь ниже, чем формальное математическое доказательство... И все это происходит несмотря на то, что в очень многн случаях сложный статистический анализ осуществ­ ляется на базе массива данных, точное значение и надежность которых не­ известны автору или, напротив, так хорошо известны, что в самом конце он предупреждает читателя не принимать всерьез фактическую сторону вы­ водов данного «упражнения»... неудивительно, что экономисты младшего поколения, особенно те, которые заняты преподавательской деятельностью и теоретическими исследованиями, по-видимому, вполне удовлетворены нынешним состоянием дел: они могут демонстрировать свою доблесть (и, между прочим, делать карьеру), создавая все более сложные математические модели и изобретая все более изощренные методы статистических преобразо­ ваний, совершенно не принимая участия в эмпирических исследованиях. Время от времени раздаются жалобы на отсутствие необходимых первичных данных, но в них не заметно особой тревоги».

Н. Винер [77J: «Успехи математической физики вызвали у социологов чувство ревности к силе ее методов, чувство, которое едва ли сопровожда­ лось отчетливым пониманием интеллектуальных истоков этой силы... По­ добно тому, как некоторые отсталые народы заимствовали у Запада его обез­ личенные, лишенные национальных примет одежды и парламентские формы, смутно веря, будто эти магические облачения и обряды смогут их сразу при­ близить к современной культуре и технике, так и экономисты принялись облачать свои весьма неточные идеи в строгие формулы интегрального и диф­ ференциального исчислений... Как ни труден отбор надежных данных в фи­ зике, гораздо сложнее собрать обширную информацию экономического или социологического характера, состоящую из многочисленных серий однород­ ных данных... В этих обстоятельствах безнадежно добиваться слишком точ­ ных определений величин, вступающих в игру. Приписывать таким неопре­ деленным по самой своей сути величинам какую-то особую точность беспо­ лезно, и каков бы ни был предлог, применение точных формул к этим слиш­ ком вольно определяемым величинам есть не что иное, как обман и пустая трата времени».

В. В. Налимов [233, с. 195]: «... нередко кафедры математической ста­ тистики занимают ученые, хорошо подготовленные в области математики, но не имеющие вкуса к эксперименту. Им нужно как-то проявить свою дея­ тельность. Нужно давать темы для дипломных и диссертационных работ. Появляются проблемы, сформулированные в терминах прикладных задач, но в действительности не имеющие прикладного значения. Разработка этих проблем требует высокого математического мастерства и может служить хорошим основанием для поддержания престижа на высоком уровне. Однако найденные решения не имеют большой ценности с позиций математики, так как они носят очень частный характер. Их пытаются представить как глу­ бокую теоретическую разработку практически важной проблемы. Но на самом деле они не имеют прикладного значения из-за нереалистичное™ в постановке задачи. Так возникает ненужная теоретизация».

М. Кац и С. Улам [144, с. 210—211): «Никакая из рассматривающихся до сих пор формальных систем не дает адекватного воплощения того пред­ ставления о бесконечном, которого бессознательно придерживаются мате­

матики: можно даже отважиться на гипотезу, что такая формальная система вообще невозможна». «Работа над основаниями всей математики в целом привела к отрицательному результату, ибо она выявила слабые стороны аксиоматического метода. (Мы бы не сказали, что это отрицательный резуль­ тат.— Авт.) В теории множеств она породила серьезные сомнения в суще­ ствовании формальных систем, способных дать такое описание, которое отвечало бы представлению математика о множествах». Противопоставляя этому конструктивные результаты работы над основаниями геометрии, названные авторы заключают: «Трудно избежать искушения и не сделать из этого вывод, что существует какое-то неопределяемое глубокое различие между проблемой аксиоматизации отдельной ветви математики, обязанной своим происхождением внешним стимулам, и проблемой аксиоматизации внутренних процессов мышления».

В.В. Налимов [232): «Если математика в прикладных задачах выступает

вроли языка, то математические структуры этого языка естественно рассмат­ ривать как грамматику этого языка».

Дж. Коул [160, с. 9): «Настоящая книга написана в основном с точки зрения математика-прикладника: внимание в ней в значительно большей степени уделено выявлению основополагающих идей теории возмущений, чем вопросам математической строгости; при этом использовались самые разнообразные средства. В частности, для выяснения существа различных вопросов часто приходилось обращаться к физическим рассуждениям. Они обычно помогают правильно поставить задачу и найти нужные приближе­ ния».

Н.А. Картвелишвили и Ю. И. Галактионов [141, с. 15|: «Нестрогое решение и неверное решение — принципиально разные вещи».

Дж. Смит [296, с. 10 и 13): «Я подхожу к математике, как подошел бы к

собом гарантировать себя от ошибок... Я рекомендую читателю, впервые знакомящемуся с понятием комплексного числа или с представлением функции sin 0 в виде бесконечного ряда, пользоваться этими понятиями, не слишком беспокоясь об их строгом обосновании. Исторически этими понятиями на­ чали пользоваться задолго до того, как появились строгие определения и

§ 3. Рациональные рассуждения

«Правда — настолько великая вещь, что мы не должны пренебрегать ничем, что ведет к ней».

М о н т е н ь 1

1. Понятие рационального рассуждения. Примеры рациональ­ ных рассуждений и их особенности. Одно из наиболее существен­ ных различий между чистой и прикладной математикой связано с характером применяемой логики. Хотя логика прикладной мате­ матики не столь канонизирована, как логика чистой математики, она обладает некоторыми стихийно установившимися, но достаточно характерными чертами — в способах доказательств, при выборе критериев достоверности и т. д.; при этом аналогичные способы и критерии, известные в чистой математике, в приложениях зачастую оказываются лишними или попросту отказывают.

86 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

Мы уже говорили о том, что прикладная математика, как, впро­ чем, и все дисциплины за исключением чистой математики, не может ограничиваться только дедуктивными рассуждениями. Стихийно выработался стиль рассуждений, который составляет логическую основу прикладной математики и состоит в сочетании дедуктивных рассуждений и рассуждений, быть может, неприемлемых с точки зрения чистой математики, но способных при разумном их примене­ нии приводить к правильным результатам. Рассуждения этого по­ следнего типа, примеры которых уже приводились во Введении, ниже будут называться рациональными. (Впрочем, подобно тому как, например, покой можно считать особым видом движения, так и мы во многих случаях без особой оговорки будем считать дедук­ тивные рассуждения особым, предельным случаем рациональных.) Конечно, слово «рациональный» нами применяется в смысле «ра­ зумный, целесообразный, обоснованный» и не должно пониматься как антоним слову «иррациональный» в любом его смысле.

Таким образом, содержание этого понятия близко к тому, кото­ рое в статье 1431 вкладывалось р термин «правдоподобные рассужде­ ния», заимствованный из книги Д. Пойа [262], с которой у нас имеется целый ряд точек соприкосновения (впрочем, книга Пойа нацелена, в первую очередь, на анализ процесса открытая в области чистой математики). Как показало обсуждение [83], мн|огие участ­ ники дискуссии сочли неудачным сам термин «правдоподобное», который на русском языке в сочетании со словом «рассуждение» вносит оттенок лживости, отсутствующий в термине «plausible» Пойа. Поэтому мы сочли целесообразным изменить терминологию. Новый термин взят из книги [263, с. 276], где он, правда, понимается в более узком смысле. Соответственно мы будем говорить о рацио­ нальных определениях, утверждениях, доказательствах и т. п. По отношению к утверждениям на равных правах со словом «ра­ циональное» будет употребляться термин «правдоподобное», что вполне отвечает и его житейскому смыслу *).

*) В книге Е. Л. Фейнберга [322], имеющей в логическом аспекте ряд соприкосновений с нашей, автор, резко критикуя фетишизацию формально­ логического подхода, убедительно обосновывает не только естественность, но и необходимость для любой науки дискурсивного мышления (от латин­ ского discursus— рассуждение, довод, аргумент). Он пишет (с. 34): «Понятие дискурсивного шире понятия формально-логического. Оно относится к любо­ му типу рассудочных, понятийных умозаключений, в частности и таких, когда в цепь этих умозаключений включаются внелогические утверждения». Таким образом, автор употребляет понятие дискурсивного в смысле, сходном с применяемым нами понятием рационального. Дискурсия противопостав­ ляется интуиции — «прямому усмотрению истины, т. е. усмотрению объек­ тивной связи вещей, не опирающемуся на доказательство» [19, с. 1]. (По этому поводу см. также с. 290 нашей книги).

Близкий смысл имеет термин «эвристическое рассуждение», широко распространившийся в последние годы, хотя разные авторы вкладывают в него несколько различное содержание. Так, В. Н. Тростников [310, с. 215— 219], обсуждая понятие эвристичности, определяет эвристический поиск как

Отметим сразу же, что одна из важнейших особенностей рацио» нальных Грассуждений, отличающих их от дедуктивных, состоит в том, что первые могут включать размытые понятия (п. 2.9). Полу­ чающаяся из-за этого неопределенность не препятствует тому, чтобы квалифицировать рассуждения как правильные, или частично пра­ вильные, или ложные и извлекать из них те или иные полезные вы­ воды, так как подразумевается, что такие рассуждения всегда воспринимаются с учетом возможных поправок на расплывчатость и субъективность.

Вспоминается, как после одного из докладов в МГУ Р. Веллман в ответ на вопрос: «Может ли машина мыслить?» — написал это предложение на доске, а затем сказал, что в нем вполне определен­ ным и понятным является только знак «?». В предложенной Р. Велл­ ману редакции вопроса видна его типично рациональная постановка, и ответ на него существенно зависит от разумного уточнения уча­ ствующих в ней понятий, которое, конечно, не является определе­ нием с позиций чистой математики (см. п. 2.9).

Можно привести много примеров эффективности предложений, включающих размытые понятия, даже в сочинениях математическо­ го характера. Вот типичный пример, взятый из книги Р. Хемминга (332, с. 353]. Сравнивая различные методы численного нахождения нулей функции, автор указывает, что это сравнение иллюстрирует «несколько неопределенный общий принцип: чем тоньше метод и чем лучше он кажется, тем хуже он может повести себя в случае осложнений с функцией». Ясно, что это —-рациональный принцип. Конечно, можно было бы попытаться перейти к дедуктивной форму­ лировке этого принципа, выбрав какую-либо точно определенную область его применения. Однако при этом сфера действия принципа оказалась бы весьма суженной, а сама формулировка — громоздкой и ненаглядной. К счастью, такое уточнение и не требуется, так как целью формулировки принципа является формирование правильной вычислительной интуиции, а для этого наглядная рациональная формулировка бесспорно предпочтительнее ненаглядной дедуктив­ ной. (Другие примеры такого рода см. в (441].)

По необходимости рациональными являются определения, отно­ сящиеся к неформальным объектам. Вот типичный пример (51, с. 1521: «Совокупность свойств, характеризующих полезные функции системы, будем называть ее качеством... Система будет эффективной только в том случае, если качество, заложенное в ее проектирование, будет сохраняться в течение всего времени, установленного для эксплуатации системы. В понятие эксплуатации мы включаем не только полезное функционирование системы, но и всю совокупность операций над нею, начиная от изготовления и кончая демонтажом

поиск, в котором участвуют такие элементы сознания, работу которых чело­ век, ими пользующийся, объяснить не может.

Отметим, что И, Грекова в рецензии {1021 на нашу книгу предложила вместо «рациональные» термин «убедительные» рассуждения.

88 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

и сносом. Качество может быть утрачено не только во время функ­ ционирования, но и, например, при возведении и транспортирова­ нии». С формальной точки зрения подобные определения и форму­ лировки, включающие не определенные ранее понятия, недопусти­ мы. Но ясно, что попытки формального определения понятий «по­ лезной функции», «сноса» и т. п. могли бы привести только к псев­ донаучной игре в слова, не влекущей за собой никаких полезных выводов *).

Упомянутые определения и утверждения говорят о рациональной структуре, связывающей рациональные понятия, поэтому любые полезные разъяснения и уточнения также, естественно, имеют ра­ циональный характер. При таком уточнении весьма существенно, что каждое рациональное понятие включает не только то, что о нем уже было сказано, но и то, что за ним р е а л ь н о скрывается.

Приведем еще один пример, относящийся к определению термина «колебания». Попытки связать понятие колеблющейся величины со свойством многократной смены знака оказались неудачными, по­ скольку такие величины, как, например, x ~ t —sin /, сточки зрения прикладников также естественно считать колеблющимися. Итог многолетних размышлений был недавно подведен в проекте термино­ логического стандарта Международной организации по стандарти­ зации, где колеблющейся называется величина, которая попере­ менно становится то большей, то меньшей некоторого отсчетного уровня. При этом допускается возможность того, что отсчетный уро­ вень н е п о с т о я н е н , т. е. возможность принять за такой уро­ вень наклонную прямую (как в приведенном выше примере) или какую-либо иную разумно выбираемую кривую. Последние слова делают определение в целом, очевидно, не дедуктивным, поскольку любую величину (даже постоянную!) можно формально назвать ко­ леблющейся, выбрав достаточно «пьяную» систему отсчета. Конечно, составители проекта сознательно уклонились от формального опре­ деления отсчетного уровня; только таким образом удается с помощью размытого понятия отразить многообразие реальных ситуаций, в которых возникает представление о колебаниях.

Несомненно рациональным является и приведенное в начале параграфа само определение рационального рассуждения из-за от­ сутствия и нецелесообразности формального определения понятия «способность», «разумное» применение и, конечно, «правильный» результат. Рациональным является подавляющее большинство рас­

*) В книге Н. Н. Моисеева [220], специально посвященной оптимальным системам, говорится (с. 10— И): «В технике возник термин «оптимальные системы». Это очень расплывчатое понятие, которое не имеет еще четкого ма­ тематического содержания. Однако когда инженеры говорят о конструирова­ нии оптимальных систем, то всем более или менее ясно, что это означает. Это означает, что на разных этапах конструирования системы выбор ее эле­ ментов определяется теми или иными оптимизационными соображениями». Аналогичные слова можно произнести по адресу «больших систем» (п. 5.6), вообще «систем» [223] и т. д.

суждений в естественных и социальных науках, в технике, житей­ ской практике — за исключением отдельных дедуктивных вкрапле­ ний; конечно, если эти рассуждения проводятся в соответствии со стилем, выработанным адекватно соответствующей области *).

Вкаждой области имеются свои понятия разумности, свои кри­ терии правильности. Различные науки, различные сферы человече­ ской деятельности как бы говорят на разных языках, включающих не только наборы понятий и соотношений между ними, но и опреде­ ленные черты применяемой логики. В этом смысле и прикладная математика имеет собственный язык или, точнее, несколько родствен­ ных языков, существенно отличающихся по характеру применяемой логики от языка чистой математики.

Взадачу этой книги не входит анализ способов рассуждения во всевозможных сферах человеческой деятельности — способов, столь различных в различных областях: достаточно сравнить, например, теоретическую физику и новейшую историю. Поэтому в дальнейшем мы ограничимся анализом рациональных рассуждений, свойствен­ ных прикладной математике.

Мы будем пользоваться понятием степени достоверности (прав­ доподобия, уверенности, надежности) правдоподобного утвержде­ ния, выражающим степень уверенности в его справедливости. Это, по существу, вариант понятия «субъективной вероятности» справед­ ливости утверждения, учитывающий возможное влияние нечеткости формулировок. Это размытая величина, представляющая собой субъективную характеристику психологического состояния, вы­ званного комплексом объективных причин; таким образом, эта ха­ рактеристика определяется не только самим утверждением, но и оце­

•) Само собой разумеется, что рациональные рассуждения, имеющие научный характер, надо отличать от встречающихся иногда наукообразных упражнений, в которых логическая нечеткость прикрывает отсутствие мысли или грубые ошибки. Крайним примером может служить описание теории вероятностей, данное П. А. Некрасовым в его книге [244, с. 3|, полной вопию­ щих нелепостей: «Теория вероятностей есть врожденная категорическая функ­ ция, мысленно предвосхищающая сменные явления природы, и многообразно согласуется с функциями души и тела. Роль вероятностей, т. е. условных

ибезусловных достоверностей, по вопросам жизни познавательная и много­ сторонне посредническая, между субъективная в регулировании течений бла­ га, строящая систему посредствующих, ограждающих и искупающих запасов, залогов, божков для умного выпуска явлений против многообразных типи­ ческих «огневых» народных бедствий и устанавливающая исчислением, измере­ нием, формулами и словом или иными знаками и графиками критерии сред­ ства и соотношение или связь, интеграцию, интерполяцию между состав­ ными частями, секциями и самостоятельными органами живого Всего (Це­ лого) и их функциями». Здесь уместно вспомнить палиндром: «Ум за рамки —

ик маразму».

Пародия на рациональное доказательство содержится в бессмертных сочинениях Козьмы Пруткова [301, с. 143J: «Дед мой родился в 1720 году, а кончил записки в 1780 году; значит: они начаты в 1764 году. В записках его видна сила чувств, свежесть впечатлений; значит: при деревенском воз­ духе он мог прожить до 70 лет. Стало быть, он умер в 1790 году!».

90 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

нивающим субъектом, а также конкретным моментом времени, т. е. фактически характером информации у субъекта, связанной с дан­ ным утверждением, и психическим состоянием субъекта *). Но так как эта характеристика основана на объективных факторах, то в определенных обстоятельствах она может стать общезначимой; тогда она представляет наибольший интерес.

Несомненны трудности, которые возникают при придании чис­ ленного значения степени достоверности так, чтобы значению 1 от­ вечала полная достоверность, а значению 0 — полная невозмож­ ность **). Правда, подчеркивание субъективности этой характери­ стики несколько упрощает дело. В самом деле, каждый человек мо­ жет более или менее отчетливо представить свое психологическое состояние при ожидании того, что из урны с п шарами будет извле­ чен один из содержащихся среди них т белых шаров — априорную степень достоверности такого извлечения естественно считать рав­ ной т!п — и сравнить соответствующую степень уверенности со степенью своей уверенности в справедливости какого-либо другого утверждения. (Впрочем, при этом бывает трудно освободиться от давления осознаваемых последствий неправильного предсказания, которые в разных случаях могут быть различными; существенно влияют также трудности, преодоленные при получении (утвержде­ ния.) По существу, так поступает человек, оценивая про себя спра­ ведливую ставку при заключении пари.

Думается, что из^за значительной расплывчатости оценки психо­ логического состояния определение степени достоверности р с по­ мощью непосредственного восприятия возможно вряд ли точней,

*) Концепция вероятности как степени правдоподобия выдвинута Кейн­ сом в 1921 г. и разрабатывалась Джефрисом [4511. Поэтому поводу В. В. Бо­ лотин пишет [51, с. 16}: «Вероятность есть объективная мера возможности наступления события независимо от того, является ли оно массовым или нет. В повседневной жизни мы постоянно (хотя и полуинтуитивно) применяем вероятностные оценки к событиям, которые заведомо не являются массовы­ ми, принимаем на основе этих оценок решения и добиваемся успеха. (Увы, не всегда.— Авт.) При этом вероятность приобретает смысл некоторой меры доверия к тем или иным утверждениям. Анализ этого вопроса является не технической, а скорее философской, логической и психологической пробле­ мой. Чтобы избежать связанных с нею затруднений, можно воспользоваться понятием мыслимого ансамбля, т. е. наряду с данной системой рассматривать

означало бы сделать гораздо больше, чем я могу. Я не знаю никого, кто смог бы это сделать, и никого, кто отважился бы это сделать. Я знаю некоторых философов, которые обещают сделать что-то в этом роде в чрезвычайной общ­ ности. Однако, встретив конкретную задачу, они уклоняются и увиливают и находят тысячу отговорок, объясняющих, почему нельзя решить именно эту задачу.

Возможно, эта задача является одной из тех типичных философских за­ дач, о которых вы можете много говорить вообще и даже проявлять подлин­ ную заинтересованность, но которые превращаются в ничто, когда вы сни­ жаете их до конкретных условий».