книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики

ВВЕДЕНИЕ

Как только ни характеризуют переживаемый сейчас период раз­ вития цивилизации! Это и космический век, и атомный, и век элект­ роники, и кибернетики... Каждое из этих определений имеет свои глубокие основания. Но среди различных характеристик нынешнего периода можно выделить одну, также не вызывающую сомнений: это век всеобщей математизации. Самые разнообразные математи­ ческие структуры 1 стремительно внедряются в различные научные дисциплины, технику, экономику, управление и другие сферы человеческой деятельности, причем не только в традиционные области приложения математики, но и туда, где математика исполь­ зуется совсем недавно.

Применяемый математический аппарат стал несравненно разнооб­ разней, чем это было еще совсем недавно. Если А. Н. Крылов писал [169], что математика для инженера «есть инструмент такой же, как штангель, зубило, ручник, напильник для слесаря», то совре­ менная «работающая» математика подстать и нынешней технике и нынешним средствам наблюдения и эксперимента. Еще каких-ни­ будь 40—60 лет назад мало кому из прикладников требовались сведения, лежащие за пределами школьной математики, дифферен­ циального и интегрального исчислений, элементов вариационного исчисления и простых уравнений математической физики. Как изме­ нилось положение с тех пор! Широкие слои инженеров успешно применяют аппарат, который раньше был известен лишь немногим знатокам; более того, за последние полвека были созданы новые математические дисциплины — такие, например, как линейьое про­ граммирование 2 — в первую очередь, с практическими целями.

Существенно повысились требования к математическому образо­ ванию инженера, значительно увеличился выпуск инженеров с уси­ ленной математической подготовкой, а многие инженеры вынужде­ ны систематически повышать свой математический уровень. Быстро растет число факультетов и отделений прикладной математики при университетах и технических вузах.

Вера в мощь математики приобретает порой столь наивный ха­ рактер, что математику пытаются внедрить туда, где без нее вполне можно обойтись.

М.Кац и С. Улам в книге [144, с. 222—223) пишут по этому поводу:

«... мы являемся свидетелями «математизации» всех видов интеллектуальной

деятельности. Такая тенденция, конечно, далеко не всегда оправдана. Можно назвать множество примеров, когда «математизация» тривиальна или претенциозна, и даже таких, когда она страдает обоими этими недостат­ ками». На вреде искусственного внедрения математики подробно останав­ ливается также Л. Дойл [ 117].

Оставляя в стороне такие, к сожалению, нередкие случаи, необходимо заключить, что «мода» на математику, особенно на при­ кладную математику, имеет глубокие причины. Многие дисциплины достигли такого состояния, что отсутствие в них сильно развитого математического аппарата послужило бы серьезным препятствием для их прогресса; решение ряда сложных задач, возникающих в этих дисциплинах, стало возможным только с помощью такого аппарата, причем особую роль здесь сыграло появление ЭВМ. Более того, в ряде случаев сама формулировка фундаментальных понятий и постановка основных задач сейчас подсказываются математикой. Все справедливее становится давнее, впрочем, несколько утрирую­ щее высказывание: «Во всяком знании столько науки, сколько в нем математики». Нет сомнения в том, что процесс математизации, развитие и применение математических моделей и математического аппарата будут в ближайшие годы еще более усиливаться *).

Естественно, что за последние годы возрос интерес и к принци­ пиальной стороне самого процесса применения математики — к то­ му, как создаются математические модели, как они исследуются, как интерпретируются и т. д. Однако эта сторона пока еще изучена далеко не достаточно — мы имеем в виду не многочисленные кон­ кретные случаи применения математики, а формулировку и изучение

годы. Так, некоторые общие и особенно конкретные вопросы мате­ матического моделирования рассмотрены в книгах и статьях 13, 70, 115, 133, 204, 222, 224, 233, 237, 255, 261, 295, 297, 311, 324,' 326, 336, 338, 346, 359, 373, 420, 455, 459, 481, 485, 514, 5491 и неко­ торых других (см. также литературу, указанную на с. 135). При этом соображения, высказываемые по поводу конкретной области прило­ жения математики, порой значительно выходят за рамки этой обла­ сти. Однако проблема требует всесторонней, детальной и систе­ матической разработки.

Особенно слабо обсуждены принципы изучения математической модели в прикладном исследовании (под прикладным здесь и далее понимается любое исследование, применяющее математику, пред­ мет которого лежит за ее пределами). Обычно молчаливо подразу­

*) А. Ю. Ишлинскин [135, с. 216} пишет: «Основной тенденцией разви­ тия наук следует считать усиление в них удельного веса количественной стороны (полнее — «структурной стороны».— Авт.) и, как следствие, все большее привлечение к конкретным исследованиям математических методов. Последние сами непрерывно изменяются, совершенствуются и пополняются как в результате потребностей естественных наук, так и в силу внутренних законов самой математики». См. в связи с этим также [53, 94].

мевается, что если задача сформулирована на математическом язы­ ке, то она полностью переходит в сферу математики, глубоко разра­ ботанной и строго обоснованной науки, и о дальнейшей судьбе зада­ чи беспокоиться не нужно, если только она не окажется непомерно трудной. Однако в действительности дело обстоит совсем не так про­ сто, причем отнюдь не только из-за чисто математических трудно­ стей. Уже беглый анализ подавляющего большинства прикладных исследований показывает, что применяемые в них математические рассуждения часто существенно, а порой и принципиально отли­ чаются от рассуждений, применяемых в «ортодоксальной», класси­ ческой математике.

Так, в самой постановке математической задачи в прикладном исследовании ортодоксальные компоненты часто сочетаются с неор­ тодоксальными. Например, довольно часто возникает такой вопрос: для решения задач некоторого класса предлагается определенный метод; требуется выяснить, является ли этот метод приемлемым, удовлетворительным. Скажем, речь может идти о каком-либо конк­ ретном варианте метода сеток для построения плоского стационар­ ного потока вязкой жидкости, обтекающего заданное препятствие. В сущности само понятие «приемлемость» здесь неортодоксально и неформально; оно включает в себя соображения и о мощности ЭВМ, на которых будут производиться вычисления, и о разумной точно­ сти, которую желательно достичь, и т. п. Кроме того, даже если ме­ тод описан совершенно точно, то упомянутый выше класс обычно за­ ранее не вполне определен, так как в процессе исследования можно уточнять, какие типы препятствий и какие диапазоны чисел Рей­ нольдса 3 будут рассматриваться.

Но даже если задача поставлена вполне ортодоксально, то в процессе ее решения часто встречаются переходы типа логических скачков, совершенно неприемлемых с точки зрения формальной логики и классической чистой математики. Приведем типичные при­ меры таких переходов.

1.Доказательство сходимости бесконечного процесса, входящего

вконструкцию решения, или проверка выполнения условий соот­ ветствующей теоремы о сходимости, если такая теорема имеется, заменяются выяснением практической сходимости этого процесса. Другими словами, совершается лишь конечное, часто весьма неболь­ шое число шагов процесса; если при этом обнаруживается отчетли­ вая тенденция к сходимости и нет явных признаков того, что даль­ нейшие шаги нарушат эту тенденцию, то их и не совершают, заме­ няя, таким образом, бесконечный процесс набором проведенных шагов. Например, если вычисляется сумма числового ряда, то зак­ лючение о практической сходимости, и тем самым о возможности прервать вычисления, делается с помощью сравнения частных сумм этого ряда; если применяется численное интегрирование или какойлибо вариант метода сеток, то для этой же цели сравнивают резуль­ таты вычислений при разном выборе шага сетки; если применяют

14 ВВЕДЕНИЕ

методы Ритца или Галеркина, то сравнивают результаты вычисле­ ний при различном числе координатных функций и т. п. При этом, если производится серия однотипных вычислений (например, когда формулировка задачи содержит параметры), а описанный контроль практической сходимости трудоемок, то заключение о числе необ­ ходимых шагов делается на основе такого контроля в одном или нескольких типичных случаях.

Описанный прием чрезвычайно распространен, хотя отчетливо видна его нестрогость с точки зрения чистой математики.

2. Менее очевидной бывает нестрогость следующего перехода, который также широко распространен и до некоторой степени обра­ тен предыдущему. Речь идет о том, что строгое доказательство сходимости бесконечного процесса используется как довод в пользу достаточности ограниченного (и часто весьма небольшого) числа его шагов, например числа итераций в итерационном методе, числа координатных функций в методе Галеркина и т. п. Если же такое доказательство сочетается с проверкой практической сходимости, то даже искушенные исследователи часто воспринимают указанный переход как совершенно строгий.

Можно было бы привести немало примеров того, как авторы приближенных решений, уделяя большое внимание доказательству сходимости использованного бесконечного процесса, совершенно не упоминают о том, что из наличия такого доказательства, в сущ­ ности, вовсе не вытекает право на приближенную замену названного процесса его вполне определенной конечной аппроксимацией. В са­ мом деле, сам по себе факт сходимости еще ничего не говорит о том, сколько надо взять шагов, чтобы достичь той или иной точности.

Недоразумения, связанные с этим переходом, доходят до курье­ зов. Так, в одной из технических диссертаций был предложен приб­ лиженный прием расчета, основанный на применении метода Галер­ кина с е д и н с т в е н н о й координатной функцией. Однако во время защиты оппонент сделал критическое замечание по поводу того, что сходимость соответствующего бесконечного процесса в работе не была доказана. (Самое забавное, что диссертант при­ знал разумность этого упрека.)

3. При решении задачи производятся приближенные вычисле­ ния, обычно на ЭВМ. Такой образ действий в принципе не строг не только из-за погрешностей попутно используемых численных ме­ тодов, но и из-за ошибок округления; эти ошибки свойственны почти каждому вычислению и обычно не принимаются во внимание (во всяком случае, если они не приводят к неустойчивости счета, см. п. 5.15), хотя в принципе они способны повлиять на окончатель­ ный ответ не только количественно, но даже качественно. В част­ ности, при вычислениях на ЭВМ особую роль играет то, какое наименьшее положительное число для выбранного алгоритма может быть записано в ячейках запоминающего устройства, так как любое меньшее положительное число представляет собой машинный нуль,

16 ВВЕДЕНИЕ

деле, в чистой математике нет понятий «не вполне доказанное утвер­ ждение», «не совсем строгое доказательство» и т. п., в ней все не вполне доказанное — не доказано, все не вполне строгое — не строго. Поэтому с точки зрения чистой математики появление в цепи рассуждений хотя бы одного такого перехода делает всю цепь лишенной доказательной силы, даже если все прочие звенья цепи находятся на высшем уровне строгости.

К сожалению, существует дурная традиция как бы не замечать эти очевидные формально-логические несовершенства и тем самым выдавать фрагментарную строгость исследования — при доказатель­ ствах сходимости, устойчивости и т. п.— за совершенство и стро­ гость прикладного исследования в целом. (Впрочем, не менее огор­ чительна и другая крайность — отрицание всякой ценности утверж­ дений, полученных с помощью таких переходов, поскольку они, как выясняется, «необоснованны». Отказ от таких «не доказанных» утверждений привел бы к почти полной невозможности применения математики к решению прикладных задач.)

Итак, объективно существует противоречие: исследование мате­ матической модели, ^казалось бы, осуществляется в рамках матема­ тики, но проводится средствами, которые строгой математикой не допускаются. Это противоречие вносит немало путаницы в оценку убедительности прикладных исследований; впрочем, заметить его, конечно, гораздо проще, чем разобраться в его истинных причинах и следствиях, в частности оценить положительное значение указанных выше переходов (оно вовсе не мало и будет подробно обсуждено ниже).

До последнего времени эта противоречивая ситуация замалчи­ валась; более того, ее публичное обсуждение считалось как бы неприличным. Однако замалчивание любого назревшего вопроса не заменяет его решения и не может продолжаться слишком долго.

Непоследовательность требований к строгости и доказательности в прикладных исследованиях, а также недостаточно открытое об­ суждение этих требований порой наносят прямой ущерб делу. Одни прикладники возводят математику в фетиш, выписывая сложные уравнения, и, поддавшись «террору дедукции» или искренне веря в его необходимость, доказывают теоремы о сходимости там, где без них вполне можно обойтись. Другие же избегают математики там, где она необходима, или, что особенно опасно, вульгаризируют ее.

Конечно, вопрос о преодолении указанного противоречия далеко не прост и требуется длительное изучение его многими специали­ стами, чтобы можно было сформировать по этому поводу достаточно разработанную систему утверждений и тем более рекомендаций. Положение осложняется тем, что подобные утверждения и рекомен­ дации, выработанные (в основном стихийно) для многих конкрет­ ных областей приложения математики, непрерывно меняются и порой расходятся друг с другом. Чистых математиков этот вопрос непосредственно не затрагивает, а прикладники, применяющие

математику, заботятся, как правило, о результатах в своей специ­ альной области, а не о математической строгости. Вероятно, свое слово могли бы здесь сказать представители «прикладной матема­ тики вообще», но специалистов в этой области пока весьма мало...

В последние годы стали появляться явные упоминания о физи­ ческом (говорят также: техническом, прикладном) уровне строгости. Так, в предисловиях к книгам и статьям [29, 100, 121, 219,265] и некоторым другим указывается, что они полностью или частично написаны на этом уровне. Это отрадно уже потому, что признать существование какого-либо факта и даже просто назвать его — значит сделать первый шаг в его изучении. Такой физический уро­ вень и есть уровень строгости прикладной математики; он будет обсуждаться в главе 1 этой книги в связи с рассмотрением харак­ терных черт логики прикладной математики. Особенности приклад­ ной математики, связанные с выбором математической модели и ме­ тода ее изучения, будут рассмотрены в главе 2.

Г л а в а 1

ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

§1. Прикладное и теоретическое направления

вразвитии математики

«Установить еще раз органическую связь между чистым и прикладным знанием, здоровое равновесие между абстрактной общностью и полнокровной конкретно­ стью— вот так нам представляется задача математики в непосредственно обозримом будущем».

Р. Курант и Г. Роббинс [179, с. 19)

1. Два основных источника математики; прикладное и теорети­ ческое направления. Современное место прикладной математики становится более ясным, если хотя бы бегло проследить пути раз­ вития самой математики. Движущие силы развития математики имеют два основных объективно существующих источника. Один из них, внешний, связан с необходимостью решения математическими средствами задач, лежащих за пределами математики, т. е. задач дру­ гих наук, техники, экономики и т. д.; именно этот источник был исторически первым. Второй источник, внутренний, вытекает из необходимости систематизировать найденные математические фак­ ты, выяснить их взаимосвязи, объединить их с помощью обобщаю­ щих концепций в теорию, развивать и совершенствовать эту теорию по ее собственным законам, создавать методы для решения возни­ кающих при этом трудных математических задач; именно этот источ­ ник и привел в свое время к выделению математики как науки *). (См. [23, 1481.)

Эти источники иногда бывает трудно разграничить. Так, им­ пульсы, возникающие в процессе применения методов одной об­ ласти математики к другой, например при использовании матема-

*) В книге Р. Куранта и Г. Роббинса [179, с. 171 говорится: «Без сомне­ ния, движение вперед в области математики обусловлено возникновением потребностей, в большей или меньшей мере носящих практический характер. Но раз возникшее, оно неизбежно приобретает внутренний размах и выходит за границы непосредственной полезности. Совершающееся таким образом превращение прикладной науки в теоретическую наблюдается в историче­ ской древности, но не в меньшей степени также и в наши дни: достаточно принять во внимание тот вклад, который сделан в современную математику инженерами и физиками».

тического анализа в геометрии, иногда были очень похожи на те, которые получались при применении математических средств за пределами математики. С другой стороны, систематизация матема­ тических фактов может быть вызвана непосредственными практи­ ческими потребностями.

Таким образом, было бы рискованно слишком детально фикси­ ровать границы указанных двух источников. Тем не менее особен­ ности этих источников и их влияний в большинстве случаев легко просматриваются. Два направления в развитии математики, отве­ чающие этим двум источникам, естественно называть прикладным и теоретическим (чистым).

Конечно, здесь речь идет о преимущественных влияниях в созда­ нии и развития математических методов, понятий, утверждений. По отношению же к любой у ж е с о з д а н н о й математической сущ­ ности чаще всего бессмысленно ставить вопрос о том, к какому имен­ но — теоретическому или прикладному — направлению она при­ надлежит. К какому направлению следует отнести метод Галеркина? Понятие дельта-функции Дирака? Формулу Тейлора? На эти вопро­ сы можно отвечать лишь, если речь идет об истории возникновения этих понятий или о конкретных ситуациях, в которых они встре­ тились. Правда, некоторые разделы, такие, например, как гомоло­ гическая алгебра, сейчас полностью принадлежат теоретическому направлению, а немногие вопросы, как, например, методика выбора вероятности, определяющей практическую невозможность события, понятия практической сходимости или практической бесконечности, пока полностью принадлежат прикладному направлению. Здесь не случайны слова «сейчас», «пока»: уже в обозримом будущем положе­ ние может измениться.

2. Начальный этап развития математики. На ранних стадиях развития математики оба направления прослеживаются особенно отчетливо. Так как эти направления вначале взаимодействовали слабо, то можно даже говорить о двух почти автономных ветвях математики — о прикладной и о теоретической (чистой) математике.

Так, математика в Древнем Египте была откровенно прикладной; она была непосредственно связана с задачами землемерия, вычисле­ ния объемов сосудов, практического счета, исчисления времени (в частности, в связи с предсказанием затмений) и т. д. Аналогичный характер носила математика в Древней Мексике и у некоторых дру­ гих народов. Чистая математика, по-видимому, возникла впервые в Древней Греции в связи с софистикой 4 и отчетливо отделялась от прикладной, считавшейся низменной областью. (Известен рассказ о Евклиде, который на вопрос ученика в том, что даст ему изучение геометрии, сказал рабу: «Дай ему обол (мелкая монета.— Лет.), ибо он хочет от геометрии что-то получить».) Именно древнегречес­ кая наука выработала дедуктивный способ построения теории, сог­ ласно которому все утверждения в той или иной области выводятся с помощью методов формальной логики из некоторых не доказывае­

20 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

мых утверждений — аксиом (см., например, [87]). С тех пор этот способ изложения считается одной из важнейших характерных черт математики (если не важнейшей чертой). Стройность дедуктивного способа произвела столь сильное впечатление на последующие поко­ ления, что были сделаны попытки — впрочем, безуспешные — при­ дать и другим областям знания строго дедуктивную форму. Извест­ на такая попытка даже в философии («Этика» Б. Спинозы).

Отметим замечательную тщательность, с которой древнегрече­ ская наука подходила к понятию бесконечности; эта тщательность позже была утеряна и вновь возродилась, причем на более высоком уровне, только в XX в. в работах по математической логике. Древ­ негреческая наука не признавала актуальной бесконечности ?, и ни в одной математической формулировке того времени нельзя найти того, что сейчас было бы названо бесконечным множеством или бесконечным процессом. Характерный пример: предложение, кото­ рое сейчас формулируется в виде «Множество простых чисел беско­ нечно», Евклидом формулировалось так [239, с. 89]: «Первых (про­ стых.— Авт.) чисел существует больше всякого предложенного (под­ разумевается — конечного.— Авт.) количества первых чисел». Здесь можно усмотреть прямую аналогию с понятием неограничен­ ной продолжимости, которое в одном из современных направлений математической логики призвано заменить понятие актуальной бесконечности.

Как известно, отказ от актуальной бесконечности повлек за собой определенные логические трудности (вспомним в этой связи апо­ рии Зенона ®), которые греки сумели, в основном, осознать и пре­ одолеть, отметив, в частности, что пространство и время безгранично делимы в возможности, но не безгранично разделены в действитель­ ности. Впрочем, как ниже будет пояснено, принятие актуальной бесконечности влечет за собой не только логические, но и практи­ ческие трудности.

Высшие проявления строгости в древнегреческой математике можно видеть в теории пропорций и методе исчерпывания 7 Евдокса, аналогичных современным теории вещественного числа и методу перехода к пределу, но отличающихся тем, что в греческих вариан­ тах не фигурировали бесконечные множества и бесконечные про­ цессы *).

Наряду с этими шедеврами строгости в логике древнегреческой математики имелись и существенные пробелы, которые с современ­

*) «Не исключено, что именно слишком раннее открытие трудностей, связанных с «несоизмеримыми» величинами, помешало грекам развить ис­ следование числовых операций, сделавшее в предшествующие эпохи значи­ тельные успехи на Востоке. Вместо этого они стали искать пути в дебрях чистой аксиоматической геометрии. Так началось одно из странных блужда­ ний в истории науки, и, может быть, упущены были при этом блестящие возможности. Почти на два тысячелетия вес греческой геометрической тради­ ции задержал неизбежную эволюцию идеи числа и буквенного исчисления, ставшего позднее фундаментом точных наук» [179, Введение).