книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики

Грустно, что это говорит один из руководителей группы «Бурбаки», оказывающей значительное влияние на лицо всей современ­ ной чистой математики...*). Ныне эта точка зрения редко высказы­ вается вслух, но «неофициально» она довольно распространена; между прочим, она представляется «удобной» для многих препода­ вателей математики у нематематиков.

В действительности названная точка зрения, неправомерно и значительно суживающая границы Великой Науки Математики, приносит вред в первую очередь самой математике (и, конечно, делу подготовки молодых математиков, внушая им заблуждение, что математика может проявляться только в ортодоксальных рассужде­ ниях). Вот что пишут по этому поводу М. Кац и С. Улам: «Попытки— к сожалению, довольно частые — изолировать «чистую» математику от всей остальной научной деятельности и заставить ее вариться в собственном соку могут лишь обеднить и математику и прочие нау­ ки» [144, с. 234]; Дж. фон Нейман: «Некоторые из лучших идей сов­ ременной математики (я думаю, что самые лучшие) вполне опреде­ ленно имеют своим первоисточником естествознание» [487].

Приведя ряд примеров таких идей и процитировав Фурье («Глу­ бокое изучение природы — вот самый обильный источник математи­ ческих открытий»), Г. Биркгоф [35, с. 87—88] отмечает, что в даль­ нейшем такими источниками, наряду с физикой и техникой, будут химия, биология, экономика, административные науки. Он пишет: «...я предсказываю, что исследование этих предметов, стимулируе­ мое показаниями всех наших чувств, внешних и внутренних, а не только нашим чувством логики, приведет к новым и важным мате­ матическим понятиям».

Те же мысли высказывались Ф. Клейном: «Чисто логические кон­ цепции должны составить, так сказать, жесткий скелет организма математики, сообщающий ей устойчивость и достоверность. Но . сама жизнь математики, важнейшие ее линии развития и продуктив­ ность относятся преимущественно к ее приложениям, т. е. к взаим­ ным отношениям ее абстрактных объектов со всеми другими обла­ стями. Изгнать приложения из математики — это то же, что искать живое существо с одной только костной основой, без мускулов, нервов и сосудов» [154, с. 33]. Процитируем, наконец, и А. Пуан­ каре, который убедительно подчеркивал пользу взаимосвязи мате­ матики и физики для обеих сторон: «Физика не только дает нам (ма­ тематикам — Авт.) повод к решению проблем; она еще помогает найти к этому средства. Это происходит двояким путем. Во-первых,

*) Любопытно, что в одной из недавних проблемных статей (см. [463]) Дьедонне говорит о желательности синтеза математики и физики, но видит трудность в том, что физики плохо знают современную математику. Вспоми­ нается изречение: «Врачу, исцелися сам»!

34 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

своим склонностям, и на работников, обслуживающих их. Подобная «ка­ стовость» — в лучшем случае симптом человеческой ограниченности» [201, с. 27]. На вреде такого снобизма останавливается Н. Бейли [30, с. 138] в связи с приложениями математики к биологии и медицине, а также Г. Штейнгауз [353, с. 389—392].

В. В. Новожилов пишет: «К сожалению, теоретик до сих пор нередко рассматривает «прикладника» как математика второго сорта, как ученого, который не способен работать предельно строго, разменивается на частности в ущерб общности. Легко обнаруживая у «прикладников» промахи в стро­ гости рассуждений, теоретик часто остается равнодушным к их основному достоинству — умению с достаточной для пиитических целей точностью решать такие актуальные задачи, которые он сам строгими методами решить не может» («Известия» от 17 января 1971 г.).

Даже фантаст А. Кларк высказался по этому поводу [153, с. 84]: «Про­ фессор был не из тех ученых, чаще всего математиков, которые искренне огорчаются, поняв, что их работа в области чистой теории, оказывается, представляет и практическую ценность».

В этих цитатах достаточно ярко освещена психологическая сто­ рона вопроса. Но независимо от этого нужно подчеркнуть, что ныне все чаще признается объективное существование прикладной мате­ матики *). Однако и за подобным признанием скрываются различ­ ные точки зрения.

Так, некоторые отождествляют прикладную математику с вы­ числительной и машинной математикой. Эта точка зрения представ­ ляется узкой и создающей одностороннюю ориентацию.

Другие считают, что прикладная математика — это «ширпотребная», в дурном смысле, часть математики, существующая в виде логически недоработанного и несовершенного (возможно, из-за низкой математической культуры специалистов в этой области?) набора некоторых приемов, рецептов и правил. Указанные недостат­ ки прикладной математики должны быть преодолены, в результате чего эта «субматематика» возвысится до нормального математиче­ ского уровня.

Иногда подобная точка зрения является реакцией на те, отнюдь не редкие работы, в которых математическое легкомыслие приводит к прямым ошибкам или, что гораздо хуже, математическая малогра­ мотность которых «компенсируется» претенциозными ссылками на якобы прикладную значимость результатов. К сожалению, эта точка зрения порой проникает и в сознание прикладников, вызывая у них некий комплекс неполноценности. Это, в свою очередь, при­ водит к самым нелепым, часто комическим наукообразным упражне­ ниям математического характера **).

*) Самый убедительный довод в защиту существования прикладной ма­ тематики мы услышали на одной дискуссии. «Как можно сомневаться в этом» — сказал выступающий,— «если приказом по Минвузу СССР введена подготовка по специальности «Прикладная математика»?» Кстати, говорят, что во Франции был приказ по министерству образования: «Считать нуль натуральным числом».

**) «Наряду с образцами подлинной творческой деятельности в области прикладной математики нередко приходится встречаться с «псевдопр ихлад­ ными» работами, где традиционный, иной раз весьма замысловатый и тонкий

36 ГЛ. I. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

было предложено определение прикладной математики как науки об оптимальных или просто о практически приемлемых методах решения математических задач, возникающих вне математики.

Таким образом, прикладная математика — это математика, опо­ средствованная практикой, это как бы составная дисциплина наподо­ бие технической термодинамики или прикладной теории упругости.

летворяющие в какой-то мере этому требованию.

По данному поводу можно напомнить афоризм: «Чистая матема­ тика делает то, что можно, так, как нужно, а прикладная — то, что нужно, так, как можно». Он в целом правильно передает тенден­ ции, хотя слово «нужно» здесь употреблено в различных смыслах. Имея в виду только второй смысл, скажем, что прикладная матема­ тика призвана делать то, что нужно, и так, как нужно.

Представляется привлекательной и точка зрения, высказываемая рядом авторов: прикладная математика — это наука о математи­ ческих моделях; более подробно можно сказать — о построении, исследовании, интерпретации и оптимизации математических моде­ лей реальных объектов. Это определение, выделяющее объект науки, на наш взгляд, не противоречит предыдущему, которое имеет более функциональный характер. Таким образом, если проводить анало­ гию — в целом, довольно глубокую — между математикой и язы­ ком, то чистая и прикладная математика будут напоминать грамма­ тику и семантику 17 соответственно [247].

Ситуацию схематически иллюстрирует рис. 1. Математика непо­ средственно применяется не к реальному объекту, а к его математи­ ческой модели. Прикладная математика не только в определенной степени охватывает переходную область между реальным объектом и его моделью, но, что специфично для нее, при самом изучении модели все время «помнит» о ее происхождении и о цели этого изу­ чения. (Отметим, что весьма многие прикладные исследования оттал­ киваются не от реального объекта, а от его физической, механиче­ ской и т. п. модели (подробнее об этом см. в п. 4.2). В самом деле, когда мы начинаем статью с «Рассмотрим балку и т. д.», мы, как

правило, имеем в виду не какую-то конкретную, «эту» балку, а балку «вообще». Но и тогда схема рис. 1 полностью сохраняет силу.)

Порой приводят изречение Хаксли, которое любил повторять А. Н. Крылов, что математика (конечно, имеется в виду прикладная математика) подобна жернову: засыплешь хорошее зерно, получишь хорошую муку, засыплешь зерно пополам с плевелом — и результат будет плачевный. При этом несомненно верную мысль нередко трак­ туют слишком прямолинейно *). Однако сводить роль современной прикладной математики лишь к механическому «перемалыванию» моделей и исходных положений, лежащих в их основе,— значит существенно преуменьшить ее значение. Если воспользоваться образом плевела, то, помимо перемалывания, прикладная математи­ ка может и призвана делать следующее.

До перемалывания — проанализировать содержимое мешков; установить наилучший способ отсеивания плевел до разумного уров­ ня (кстати, и уточнить этот уровень); произвести отсеивание; вы­ брать оптимальный способ помола; создать необходимые приспособ­ ления для этого, если их еще не было.

После перемалывания — оптимально расфасовать муку; уточ­ нить, какие блюда можно изготовить из нее и как это лучше всего сделать; какие потребуются добавки и т. п.

Таким образом, прикладная математика — не только жернов, а прикладной математик — не только мельник, но также и инженер, и товаровед, и кулинар. Показать, что это так (и должно быть так),— одна из задач нашей книги.

Дискуссии о том, образует ли прикладная математика самостоя­ тельную науку, представляются несколько схоластическими из-за многозначности выражения «самостоятельная наука». Пожалуй, более правильно говорить не о науке, а об определенном а с п е к т е математики, возникающем при ее приложениях, так сказать, о ре­ зультате своеобразного «проецирования» математики на природу и цивилизацию; важно, что при таком проецировании математика приобретает качественно новые черты. (Так, У. Прагер [266, с. 8] определяет прикладную математику как «мост, соединяющий чистую математику с наукой и техникой», подчеркивая, что «этот мост обес­ печивает двустороннее движение».) Это проецирование, эти черты и определяют прикладную математику **). Иначе говоря, математика

и моралиста Шамфора о том, что люди часто приписывают сентенциям, выска­ занным выдающимися личностями, гораздо более широкую область приме­ нимости, чем их авторы. (Впрочем, это суждение можно отнести и к мысли самого Шамфора.)

**) Аналогичная трудность возникает при определении понятия «кибер­ нетика». М. Аптер пишет поэтому поводу [16, с. 31]: «Конечно, не важно, упо­ требляется ли то или иное слово... Что представляется важным, так это то, что нужно какое-то слово для обозначения того важного начала, которое объе­ диняет исследования в этой обширной области».

38 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

имеет два аспекта (как бы два лица): математика как цель и мате­ матики как средство; эти аспекты и определяют схематически чис­ тую и прикладную математику.

Дополнительное осложнение возникает в связи с тем, что поня­ тия «прикладное исследование», «прикладной раздел» и т. д. явля­ ются относительными; это порой приводит к недоразумениям, на­ пример к тому, что прикладниками (соответственно теоретиками) называют себя люди, которые друг друга таковыми не считают. Целый ряд исследований, книг и т. д. можно назвать как приклад­ ными (если они рассматриваются с еще более абстрактных позиций), так и чисто математическими (скажем, с позиции инженера). Такая относительность понятия «прикладного» имеет место также в физике, механике и других дисциплинах.

По поводу понятия прикладной математики и перспектив ее раз­ вития см. также [45, 78, 92, 95, 148, 247, 321, 387, 390, 393, 401, 408, 433, 439, 454, 465, 472, 479, 493, 519, 533].

Итак, мы будем пользоваться словами прикладная математика как рабочим термином, определенным последними из приведенных выше точек зрения. По существу, говоря эти слова, мы будем иметь в виду те черты, которые приобретает математика в процессе ее при­ ложений. В отличие от этого, говоря о чистой математике, мы бу­ дем, в первую очередь, иметь в виду «ортодоксальную» математику от Вейерштрасса до Бурбаки, основанную на наивной теории мно­ жеств. В соответствии с дедуктивным способом изложения в чистой математике мы будем условно называть дедуктивными все понятия, рассуждения и т. п., находящиеся на «ортодоксальном» уровне.

Подчеркнем, что выделение чистой и прикладной математики никак не имеет абсолютного характера, так как это по существу раз­

ния — структурах, но и не только в этом). В каждом из этих аспек­ тов возникают свои глубокие активно взаимодействующие идеи (по­ этому представляется неудачным говорить не о «чистой», а о «теоре­ тической» математике); однако это взаимодействие далеко от опти­ мального!

Основное внимание мы уделим более конкретным вопросам: ка­ ковы характерные ситуации, возникающие при приложении мате­ матики; в чем специфика методов рассуждений прикладной матема­ тики, в частности, какие рассуждения признаются в ней доказатель­ ными и т. д. Обсуждение этих вопросов может оказаться полез­ ным, даже жизненно актуальным в исследованиях совершенно конкретного характера.

Приведем в заключение слова Р. Куранта [201, с. 27] о различии под­ кодов к проблемам чистой и прикладной математики; эти слова могут служить своеобразным введением к нашему последующему изложению.

«Одна и та же математическая проблема может быть решена по-разному; приверженец строгого математического подхода (а стремление к таковому временами возникает у всякого человека, склонного к научному мышлению)

требует бескомпромиссного совершенства. Он не допускает никаких про­ белов в логике мышления и в решении поставленных задач, а достигнутый результат, по его мнению, должен быть венцом неразрывной цепи безупреч­ ных рассуждений. И если сторонник такого подхода сталкивается с труд­ ностями, которые ему кажутся непреодолимыми, то он скорее попытается переформулировать задачу или даже поставить другую, родственную ей, трудности которой он может преодолеть («то, что можно — так, как нуж­ но».— Авт.). Существует и другой обходной путь: заново определить то, что считалось «решением проблемы»; в действительности подобная процедура иногда представляет собой довольно общепринятый предварительный шаг к подлинному решению задачи.

В исследованиях прикладного характера все выглядит по-иному. Прежде всего, поставленную задачу нельзя с такой легкостью видоизменить или обойти. Здесь требуется другое: дать правильный и надежный с общечелове­ ческой точки зрения ответ. В случае необходимости математик может пойти на компромисс: он должен быть готов внести догадки в цепь рассуждений, а также допустить известную погрешность в числовых значениях. Однако даже задачи в основном практического направления, например о течениях с ударными волнами, могут потребовать фундаментального математического исследования, чтобы установить, корректно ли поставлена такая задача. В прикладных исследованиях могут понадобиться и доказательства чисто математических теорем существования, поскольку уверенность в том, что имеется решение, может гарантировать достоверность используемой мате­ матической модели. (Как мы попытаемся далее показать, дело здесь обстоит несколько сложнее.— Авт.). И наконец, в прикладной математике домини­ руют аппроксимации (приближения) — без них невозможно обойтись при переносе реальных физических процессов на математические модели.

Обращение с реальностью, преобразованной в абстрактные математи­ ческие модели, и оценка точности достигаемых при этом соответствий требуют интуитивных навыков, совершенствуемых опытом. Часто необходимо как-то преобразовать исходную математическую проблему, которая оказывается слишком сложной для решения современными методами. Это отчасти объ­ ясняет характер интеллектуального риска и удовлетворение, которое испы­ тывают математики, работающие с инженерами и естествоиспытателями над решением реальных задач, возникающих всюду, куда проникает человек в своем стремлении к познанию природы и управлению ею».

§2. О различии некоторых подходов в чистой

иприкладной математике

«Математическая, или логическая, «стро­ гость» с а м а по с е б е отнюдь не яв­ ляется еще гарантией истинности и надеж­ ности науки. Нетрудно привести примеры, где строгая последовательность выводов

С. А . Я н о вс к а я [306, с. 249]

1. Предварительные замечания. Имеется много математических понятий и утверждений, которые в чистой и ^прикладной математике трактуются одинаково или почти одинаково и потому могут быть бо­ лее или менее непосредственно перенесены из чистой математики в прикладную, если они представляют интерес для последней. К их числу относятся разнообразные тождественные преобразования, понимаемые в широком смысле (например, к ним можно отнести

40 ГЛ. I. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

формулу Грина); многие другие однозначно понимаемые формулы, например формулы дифференцирования, формула для решения квад­ ратного уравнения и т. п.; утверждения типа «все решения данного уравнения положительны», «данная задача не может иметь более од­ ного решения» и т. д.

Однако имеются понятия и утверждения, трактовки которых в чистой и в прикладной математике принципиально различаются. Здесь мы остановимся именно на таких случаях, когда понятия и утверждения чистой математики неприемлемы для прикладной мате­ матики и вынуждают последнюю искать свои пути, в свою очередь, неприемлемые с точки зрения чистой математики.

2. «Существование» в чистой и прикладной математике. В чис­ той математике понятию «существование» долгое время вообще не да­ валось ни определений, ни пояснений; как бы подразумевалось, что его содержание и так каждому ясно. Самими собой понятными счи­ тались выражения типа (а) «решение этой задачи существует» или

(б) «в множестве М существует по крайней мере один элемент х0, об­ ладающий свойством о». Впервые Г. Кантор, затем А. Пуанкаре и в наиболее отчетливой форме Д. Гильберт уточнили, что в рамках чистой математики понятие существования тождественно логической непротиворечивости. Тем самым термину было приписано вполне ясное содержание, причем одновременно обнаружилась и опре­ деленная бедность этого содержания с прикладной точки зрения.

Для прикладника математический объект всегда представляет собой схематизацию реального, например физического, объекта. Поэтому голое утверждение о существовании математического объек­ та, например утверждение «решение данной задачи существует», обычно для прикладной математики совершенно недостаточно. Правда, оно может иметь какое-либо вспомогательное, промежуточ­ ное значение *), либо может иметь наводящий характер для «под­ линного» утверждения о существовании, в котором математический объект ф а к т и ч е с к и конструируется с приемлемой точностью (например, в случае (а) находится решение, а в случае (б) указыва­ ется элемент х„).

Н. С. Бахвалов [28, с. 11]: «... есть разница в подходе «чистого» и «при­ кладного» математика к решению какой-либо проблемы. На языке первого понятие решить задачу означает доказать существование решения и пред­ ложить процесс, сходящийся к решению. (Даже последнее часто считается необязательным.— Авт.) Сами по себе эти результаты полезны для приклад­ ника, но, кроме этого, ему нужно, чтобы процесс получения приближения

*) Такой является, например, известная теорема Лагранжа о конечных приращениях, представляющая собой чистую теорему о существовании реше­ ния уравнения f(b)—f (a )= (b —a)f'(x) (а < х < 6 ). При ее применениях исполь­ зуется оценка /'(*) при в с е х х на (а, Ь), так что достаточно только знать, что такое х существует. Поэтому, если говорить о подобных применениях, то теорему можно переформулировать так: из c<f'(x)<.d (а < х < Ь ) вытекает, что с(Ь—a)< f(b)—f (a) <.d(b—а); это утверждение уже не содержит неконструк­ тивных объектов.