книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики

чем с однбй верной цифрой или даже с точностью до порядка вели­ чины (при /?«1 имеется в виду точность значения 1—р). Поэтому часто для характеристики степени достоверности предпочитают пользоваться словами, качественно передающими соответствующее психологическое состояние. Например, можно было бы охарактери­ зовать значение р —0,9 словами «довольно правдоподобно», значе­ ние р=0,$9 — словами «весьма правдоподобно», р=0,9999 — «поч­ ти наверняка», р= 1—10"8 — «практически достоверно» (см. п. 2.5) ит. п., хотя, конечно, тут нет четких граней и к тому же для раз­ ных людей и разных ситуаций эти характеристики могут несколько различаться. В связи с этими оценками отметим некоторую двусмыс­ ленность термина «правдоподобное утверждение»: иногда подразу­ мевается «скорее да, чем нет», т. е. что р > 0,5. Однако мы для общ­ ности предпочитаем не вводить подобных ограничений в определе­ ние понятия рационального утверждения.

(Отменим попутно, что переход от субъективных оценок степени достоверности к общезначимым можно пытаться осуществить с по­ мощью метода экспертных оценок, т. е. по существу с помощью ос* реднения «статистики мнений» — проще говоря, опроса, при кото­ ром оценки специалистов должны, конечно, входить с большим весом, чем оценки профанов. Было бы интересно в виде эксперимента произвести тарификацию специалистов в какой-либо области, на­ пример в спортивных прогнозах, причем так, чтобы оправдываю­ щиеся прогнозы соответственно повышали вес, а неоправдывающиеся — понижали, наподобие того, как это делается при тарификации шахматистов по так называемой системе Эло.)

Итак, степень достоверности относится к той же категории раз­ мытых величин, как степень удовольствия, талантливости, боли и т. п. *), хотя и имеет естественную шкалу, основанную на анало­ гии с вероятностью. Математический анализ подобных размытых величин представляет огромные очевидные трудности, и скорее всего навязывание таким величинам точных численных значений (или хотя бы точных законов распределения или точных правил пред­ почтительности) автоматически приводит к неадекватности. Поэто­ му и дальнейшие рассуждения, относящиеся к численным значениям степени достоверности, надо воспринимать лишь как весьма грубое отражение истинной ситуации **).

*) Дети особенно склонны пользоваться количественными оценками в подобных случаях («мороженое в сто раз вкуснее супа», «я люблю маму в тысячу раз больше, чем соседку» и т. д.). Мы не знаем, отмечалась ли эта склонность в литературе по детской психологии, но в последнее время она все чаще встречается у взрослых дядей — см., например, наш рис. 12 и от­ носящийся к нему текст.

**) По поводу теории и методов психологического шкалирования, т. е. измерения субъективных характеристик качества, см., например, [399, 400}; по поводу проблемы оценки ситуации — [4841; см. также [269, 303, 412, 417, 543|, где содержатся дальнейшие указания. Изучать все эти теории в общем виде гораздо легч^, чем применять их в конкретных случаях.

92 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

Говоря образно, можно сказать, что с позиций чистой математи­ ки все утверждения являются «черно-белыми», релейными: они мо­ гут быть точными или неточными; точные — доказанными или недо­ казанными, верными или неверными. «Анри Пуанкаре в своих глу­ боких изысканиях в области философии науки подчеркивал то об­ стоятельство, что с точки зрения математика ошибки не имеют гра­ даций и что любое неверное равенство надо рассматривать как тяг­ чайшим образом неверное, сколь бы мала ни была ошибка, ибо из него можно вывести любое другое неверное равенство» [54, с. 58]. Чистая математика в этом как бы следует известному евангельскому положению: «Но да будет слово ваше: «да, да», «нет, нет»; а что сверх этого, то от лукавого» (Евангелие от Матфея, гл. 5, стих 37). В от­ личие от этого в прикладной математике утверждения допускают «серые» оттенки любой насыщенности, мерой которой и служит сте­ пень достоверности *). (Пожалуй, даже правильней говорить не только о серых, но о любых цветах, сравнивать насыщенность которых на глаз довольно затруднительно, равно как и сте­ пень достоверности утверждений, относящихся к различным об­ ластям.)

Нужно иметь в виду, что в зависимости от объема информации оценки степени достоверности могут различаться своей обоснован­ ностью, и поэтому известный смысл имеет понятие «степень обосно­ ванности оценки степени достоверности». Эта громоздко названная характеристика в какой-то мере аналогична дисперсии, и ее можно также назвать «степенью компетентности».

Рассмотрим две сходные ситуации, характеризуемые различными объемами информации: 1) в урне содержатся шары, каждый из кото­ рых может быть только красным или черным (в частности, не исклю­ чено, что все шары одного цвета); 2) в урне содержится равное число красных и черных шаров. Допустим, что в обоих случаях ставится один и тот же вопрос: «Какого цвета окажется наугад взятый из урны шар?» и в обоих случаях получен ответ: «Шар окажется крас­ ным». Степень достоверности этого утверждения в обоих случаях равна 0,5 из-за отсутствия информации, позволяющей предпочесть один цвет другому, однако степень обоснованности этой оценки во

*) Д. Пойа пишет [263, с. 275]: «Математический закон напоминает «дли­ ну без ширины», разделяющую черное и белое. Однако существуют и вполне разумные правила, которые оставляют некоторую свободу, известное про­ странство для последующих маневров; здесь нет резкой разграничительной линии, а иногда нет ни черного, ни белого, а имеются лишь разные оттенки серого». Любопытно, что это же сравнение было независимо применено в вы­ ступлении О. Шмитта [350] и в статье [43]. Дедуктивными моделями «серой» логики служат теория вероятностей на логических исчислениях, которую на­ чали развивать Е. Лось и X. Гэйфмен в 50—60-е годы нашего столетия, логи­ ка предпочтений [550], логика «небулярностей» [176] и т. д. Кстати, уже фи­ лософ XIV в. Жан Жанденский, наряду с истиной и ложью, различал виды правдоподобных рассуждений — «вероятное» (probabile), «весьма вероятное» (verisimile), «возможное» (possibile) [180, с. 66—67]. (См. также [122, 517].)

втором случае существенно выше, чем в первом. Приписывать сте­ пени обоснованности численные значения еще трудней, чем степени достоверности, так что ее, по-видимому, можно характеризовать только эмоциональными эпитетами.

В ряде случаев оказывается возможным повысить степень компе­ тентности путем сбора добавочных сведений или путем осреднения мнений по методу экспертных оценок. Впрочем, такое осреднение далеко не всегда приводит к цели: десять тысяч специалистов вряд ли смогут более компетентно, чем десять, сказать, посещали ли Землю посланцы внеземных цивилизаций.

Действия с малокомпетентными исходными суждениями, как и с малодостоверными утверждениями, требуют особой бдительности и критицизма. Известны ошибочные работы, авторы которых, не располагая достаточными данными для сколько-нибудь обоснован­ ного вывода, пытались такое «обоснование» получить, привлекая произвольные допущения и производя их математическую обработ­ ку, порой весьма сложную и создающую иллюзию обоснованности. Так, если в первом примере с урной отождествить (некомпетентную) степень достоверности с вероятностью, то мы приходим к неверному категорическому выводу: при достаточно большом числе попыток по крайней мере один раз будет извлечен красный шар. В более сложных случаях ошибочность (или во всяком случае необоснован­ ность) может быть далеко не столь очевидной.

2. Типы рациональных рассуждений. Отметим, прежде всего, что если в сложном рассуждении часть этапов имеет чисто дедуктив­ ный характер, но хотя бы один существенный этап собственно ра­ ционален (не дедуктивен), то и все рассуждение в целом имеет ра­ циональный характер, так как в сложном дедуктивном рассуждении в с е существенные этапы должны быть дедуктивными. Это простое обстоятельство резко расширяет сферу действия рациональных рассуждений в прикладной математике, так как в подавляющем большинстве случаев полное исследование реальной задачи, даже после ее математической формулировки, получается в результате комбинации дедуктивных и недедуктивных рациональных элемен­ тов. Конечно, отсюда не следует, что в подобных ситуациях дедук­ тивные элементы излишни, напротив, во многих случаях они быва­ ют необходимы; мы еще вернемся к этому.

Перечислим — без претензий на полноту и систематичность — несколько типов рациональных рассуждений, наиболее распростра­ ненных в прикладной математике.

а) Применение утверждений, справедливых в реальных случаях, хотя и допускающих построение искусственных противоречащих примеров (единственная цель которых состоит в показе дедуктивной неполноценности соответствующего утверждения). Такое примене­ ние составляет важную характерную особенность стиля, языка прикладной математики, которая в отличие от чистой математики видит за каждым понятием не просто логическое следствие из при­

94 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

нятой системы аксиом, а (сказано это явно или нет) модель некото­ рого реального объекта ?).

Приведем примеры. Пусть рассматривается функция f(x) на конечном отрезке а^.х< Ь , причем известно, что она на нем не обра­

щается в бесконечность. Тогда — скажет прикладник — можно

ь

пользоваться интегралом § / (A:) dx\ этот интеграл принимает конеч­

а

ное значение, которое в отдельных случаях можно вычислить точно и всегда — приближенно с удовлетворительной степенью точности, например с помощью ЭВМ, применяя стандартные программы. Од­ нако это заключение с точки зрения чистой математики несостоя­ тельно и допускает разнообразные противоречащие примеры.

Так, функция

определена в каждой точке отрезка [0, 1], т. е. принимает в каждой точке конечное значение, которое только и допускается (бесконеч­ ность не есть число!), тем не менее интеграл от нее от 0 до 1 расхо­ дится к бесконечности. У функции

при Х--+- 0 нет ни конечного, ни бесконечного пределов, однако ин­ теграл от нее расходится колебательным образом. Функция Дирихле /з (*) (O ^ x ^ l) (см. п. 2.7) ограничена, однако определение интеграла по Риману, которое обычно подразумевается, не приводит к цели, и потому приходится воспользоваться более широким определением «интеграла по Лебегу», совершенно не приспособленным для при­ менения стандартных программ. Наконец, применяя аксиому Цермело, легко доказать существование ограниченной функции f t (x) (O^JC^ I ) , для которой никакой процесс интегрирования, удовлетво­ ряющий естественным требованиям, не может привести к цели.

Однако — хотя это и может шокировать приверженцев чисто де­ дуктивного подхода — все эти примеры с прикладной точки зрения не противоречат приведенному выше общему заключению. Действи­ тельно, с этой точки зрения значение Д (0)—0 является искусственно «привешенным», тогда как истинное, предельное значение Д(0)=оо, т. е. функция Д н а с а м о м д е л е обращается на интервале интегрирования в бесконечность. Функция Д является типичным искусственным противоречащим примером; к тому же, если восполь­ зоваться применяемым в рациональных рассуждениях уточнением формулировок в ходе рассуждения (тип б), см. ниже), то можно за­

*) Как справедливо пишет В. В. Налимов [232], в прикладной матема­ тике, «решая вопрос о границах применимости формулы, мы привлекаем ту информацию, которая в ней не записана».

менять условие конечности в каждой точке на более сильное усло­ вие ограниченности в каждой точке, что вообще снимет вопрос о функции / 2. Кстати, в подавляющем большинстве прикладных во­ просов это тонкое различение является излишним, так что понятия «функция неограничена в точке» и «функция обращается в точке

вбесконечность» можно отождествлять. Формально определенная функция /3 с прикладной точки зрения вообще не является функ­ цией, так как она не удовлетворяет требованию устойчивости, что уже отмечалось в п. 2.7. Возможно, что при рассмотрении какихлибо важных в прикладном отношении вопросов, например при об­ суждении полноты функциональных пространств 81, интеграл Ле­ бега окажется действительно необходимым; однако тогда вступает

вдействие «принцип продолжения», согласно которому интеграл Лебега можно считать подразумевающимся во всех случаях, когда функция не интегрируема по Риману. Наконец, с прикладных по­ зиций определение функции /4 некорректно даже в формальном от­ ношении из-за примененной в этом определении аксиомы Цермело (п. 2.2).

Искусственные противоречащие примеры можно построить и к утверждениям «При разбиении тела и перемещении его частей их суммарный объем не меняется», «Поверхность тела имеет нулевой объем» и ко многим другим практически достоверным утверждениям.

Конечно, сказанное не означает, что формулировки в приклад­ ной математике не нуждаются в ясных оговорках и отчетливых пред­ положениях. Но это должны быть оговорки об обстоятельствах, не­

соблюдение которых на самом деле в р е а л ь н ы х случаях из рассматриваемой области приложения математики может привести к ошибкам. Так, в приведенном примере с интегрированием совер­ шенно естественно были оговорены конечность интервала интегри­ рования и конечность подынтегральной функции — невнимание к этим требованиям может привести к несобственным интегралам, требующим особого рассмотрения. Подобным образом, при разло­ жении в ряд Фурье периодической функции, описывающей реаль­ ный процесс, оговорка о выполнении так называемых условий Ди­ рихле является лишней; однако указание на наличие или отсутствие разрывов совсем не лишнее, поскольку такие разрывы влияют на скорость сходимости ряда. Таким образом, с позиций прикладной математики нужно различать оговорки по существу (подлинные) и оговорки в каком-то смысле паразитные, нужные для отсечения контрпримеров, не имеющих никакого прикладного значения *). Впрочем, совершенно четкого разделения тут не может быть; по мере развития науки и даже при переходе из одной области приложений в другую оценка роли одних и тех же оговорок может меняться:

*) Сравните с рассуждениями, приведенными в конце п. 2.4. Паразитные примеры напоминают «Бяку-Закаляку Кусачую», которую, по свидетель­ ству Корнея Чуковского, выдумала одна маленькая девочка и сама же ее испугалась.

например, типичный искусственный контрпример — непрерывные нигде не дифференцируемые функции — приобрел прикладное зву­

чание при описании реальных случайных процессов. (См. об этом

[477].)

(Ненужные оговорки иногда имеют и не чисто математический характер. Например, нам встретилось описание работы прицела, где автор оговаривал, что он пренебрегает временем прохождения света от цели; в действительности он без оговорок пренебрегал го­ раздо более существенными факторами! В одной диссертации, посвя­ щенной колебаниям упругих оболочек, всерьез написано, что по­ скольку скорости рассматриваемых колебательных процессов малы по сравнению со скоростью света, автор не будет учитывать реляти­ вистский эффект переменности массы.)

Паразитные контрпримеры могут появляться также из-за неудач­ ного выбора математической модели, в частности, из-за излишнего расширения класса задаваемых и искомых функций. Отметим в свя­ зи с этим, вообще, что многие дедуктивные теоремы и рассуждения значительно проигрывают в своей эффективности из-за того, что они ориентированы на универсальность, т. е. на справедливость во всех случаях, в том числе самых неблагоприятных. Это приводит к не­ желательному смещению акцентов: патологические случаи приоб­ ретают большее значение, чем основные. Здесь полезно помнить слова А. Эйнштейна: «Господь бог изощрен, но не злонамерен». В отличие от людей, природа не занимается построением противо­ речащих примеров с единственной целью опровергнуть рациональ­ ное утверждение.

На необходимости игнорировать ситуации, которые в изучаемой области должны быть признаны патологическими, останавливается М. А. Айзерман [1], вводя специальный термин: «СДП-верные»

(т. е. верные с точностью до пренебрежения патологическими слу­ чаями) утверждения или доказательства. Такие доказательства ши­ роко применяются в теоретической физике, где выработана плодо­ творная интуиция, подсказывающая, когда требуется и когда не обязательно (и даже невозможно, добавим мы) проводить рассужде­ ния на уровне строгости чистой математики. Развитие подобной интуиции, причем но возможности общезначимой, в других приклад­ ных областях с сильно развитым математическим аппаратом (та­ ких, например, как теория управления), хотя и вносит определен­ ные трудности при оценке достоверности результатов, может суще­ ственно способствовать прогрессу этих областей.

Аналогичная ситуация возникает при проведении оценок. Стрем­ ление к универсальности приводит к ориентации на самые неблаго­ приятные случаи, которые могут, даже не имея патологического ха­ рактера, просто быть сравнительно редкими! Здесь была бы жела­ тельна разработка оценок, справедливых «в среднем» с достаточно высокой степенью достоверности и игнорирующих неблагоприятные

к реальному смыслу математической задачи, оказывается возмож­ ным ее видоизменять и уточнять, порой даже меняя саму цель ис­ следования.

К рассматриваемому типу рациональных рассуждений примы­ кает еще один, которым, впрочем, надо пользоваться с большой осторожностью. Речь идет о рабочих гипотезах, относящихся к ожи­ даемым свойствам решения задачи и выдвигаемых в процессе ее исследования. Такие гипотезы могут относиться, например, к струк­ туре искомой зависимости — периодичность, автомодельность 32, стационарность и т. п.; и если они опираются на реальную интер­ претацию математической задачи и делаются с соблюдением требова­ ний здравого смысла, то могут оказаться решающими. С другой стороны, эти гипотезы могут порой открыть возможность для необос­ нованных выводов. Поэтому применение рабочих гипотез должно отчетливо осознаваться, а на их априорную мотивировку и апостери­ орное обоснование должно быть обращено особое внимание *).

Рассмотрим пример. Пусть исследуется равновесие столба жид­ кости, «подвешенного» в капиллярной трубке с круговым сечением в однородном поле тяготения напряженности g, направленном вдоль оси цилиндра; равновесие поддерживается силами поверхностного натяжения (рис. 4). На основании элементарных наблюдений, здра­ вого смысла **) и некоторых аналогий представляется естественным ввести рабочую гипотезу о том, что осесимметричность условия зада­ чи влечет за собой осесимметричность ее решения. С помощью этой гипотезы отыскание формы равновесной поверхности приводится к краевой задаче для нелинейного о б ы к н о в е н н о г о диффе­ ренциального уравнения, что позволяет найти эту форму с помощью численного интегрирования с высокой точностью. Однозначная раз­ решимость краевой задачи, обнаруживаемая при сравнительно малых значениях безразмерного числа Бонда N B—gpR2/a (р — плот­ ность жидкости, о —коэффициент поверхностного натяжения,

*) Любопытно, что даже такая дисциплина, как математическая ло­ гика, не чуждается рабочих гипотез, причем относящихся не только к обще­ понятности первичных терминов, таких, как «мы», «рассматриваем» и т. п. Приведем, например, отрывок из курса [105, с. 120]: «Мы начнем с того, что в ка естве рабочей гипотезы примем предположение, что рассмотренные нами ранее ординально-рекурсивные функции включают все виды функций, кото­ рые можно считать вычислимыми, т. е. всякую функцию, значение которой для произвольного заданного аргумента может быть определено в конечное число шагов. Основания для принятия такого предположения носят чисто эвристический, а не математический характер, так как, конечно, нам прихо­ дится считаться с тем обстоятельством, что никто еще не обнаружил такой вычислимой функции, которая не была бы ординально-рекурсивной». На нашем языке это не что иное, как рациональное допущение высокой степени достоверности.

**) Напомним общий рациональный принцип Д. Пойа [263, с. 355]: «Из всех a priori допустимых возможностей ни одной не должно оказываться предпочтение, если для того нет достаточного основания».

рабочей гипотезы для малых значений NB. Кроме того, удается до­ казать, что найденная равновесная форма реализует минимум по­ тенциальной энергии среди всех близких форм, а потому является устойчивой.

Однако при заданном угле смачивания а (см. рис. 4) эксперимен­ ты подтверждают правильность полученного решения лишь при за­ метно меньших значениях числа Бонда, чем это сле­

11.5.1]. Таким образом, бесконтрольное применение рабочей гипотезы приводит в задаче об отыскании критического значения числа Бонда к прямой ошиб­ ке. Этой ошибки можно избежать, если задуматься над реальным характером потери устойчивости столба жидкости при увеличении числа iVB, напри­ мер при увеличении напряженности поля (как по­ казано штриховой линией на рис. 4), либо на осно­ вании аналогий. В самом деле, во многих раз­ делах теории устойчивости форм равновесия ме­

ханических систем сейчас уже хорошо установлено, что если усло­ вия задачи и соответствующая форма равновесия обладают опреде­ ленной симметрией, т. е. инвариантны относительно определенной группы преобразований, то наиболее опасные формы потери устой­ чивости все же могут этой симметрией не обладать: плоскопарал­ лельная форма равновесия может потерять устойчивость неплоско­ параллельным способом, осесимметричная — неосесимметричным способом и т. д.

В качестве другого примера укажем на кольцеобразные (торовидные) фигуры равновесия вращающейся невесомой жидкости, обладающей поверх­ ностным натяжением. В курсе П. Аппеля [15, с. 301—312] изложены резуль» таты Шаррюо, который пришел к заключению, что в определенном диапа­ зоне параметров задачи эти формулы устойчивы. Однако Шаррюо рассмат­ ривал только осесимметричные возмущения осесимметричной формы, и лишь более позднее исследование, проведенное Л. А. Слобожаниным [20, п. II. 7. 2], показало, что эти формы всегда неустойчивы относительно неосесимметрич­ ных возмущений.

Справедливо и обратное — в системах с косой симметрией решающей формой потери устойчивости может быть симметричная. Вот пример такого рода, заимствованный из книги [253, с. 76—80]. Пусть рассматривается внецентренное сжатие стержня по кососимметричной схеме, изображенной на рис. 50 Несложное решение линеаризованной задачи показывает, что при этом ось стержня принимает форму, кососимметричную относительно сере­ дины пролета (линия I на рис. 5). С ростом сжимающей силы Р прогиб рас­ тет, и при Рг—4п2Е1112 он обращается в бесконечность (Е! — жесткость стержня при изгибе). Отсюда можно было бы сделать вывод, что при ука­

4*

Однако даже небольшой опыт решения подобных задач указывает на ошибоч­ ность этого результата, поскольку при е ~ 0 получается известная задача Эйлера с критической нагрузкой Р0~ п 2Е1/Р. И действительно, более тща­ тельный анализ рассматриваемого примера показывает неправильность рабочей гипотезы о том, что при потере устойчивости ось стержня принимает

куляциям, отвлекающим внимание от изучаемой проблемы, и потому не делается. Сейчас мы перейдем к рациональным рассуждениям, бо­ лее глубоко затрагивающим структуру исследования. Эти рассуж­ дения могут иметь различную степень достоверности (п. 3.1), и до­ вольно часто с помощью их разумной комбинации может быть дос­ тигнута практически полная достоверность.

в) Доводы, основанные на аналогии или эксперименте. В книге [262] подробно обсуждается общее утверждение (с. 237): «Предпо­ ложение становится более правдоподобным, когда оказывается ис­ тинным аналогичное предположение». Для рассматриваемых там примеров чисто математического характера аналогии не могут за­ менить доказательство, хотя и способствуют открытию. В отличие от этого в прикладной математике, где утверждения часто имеют не столь однозначный характер, а достаточно высокая степень досто­ верности равносильна полной, разумная аналогия, тем более под­ крепленная другими рациональными соображениями, может слу­ жить доказательством.

Таким путем часто удается распространять утверждения, спра­ ведливые для одномерных задач, на двумерные и трехмерные; с не­ большого (одна-две) числа степеней свободы на любое конечное и даже бесконечное число; с одних классов задач теории сплошной среды на другие и т. д. Впрочем, при проведении таких аналогий важно отчетливо представлять себе особенности, отличающие рас­