книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики

ствует о недостаточной разработанности соответствующей проблемы, вынуждающей использовать модели типа «черного ящика» (см.

п.4.2) *).

7.Определяющие параметры и число степенен свободы. Одним из важнейших вопросов при построении модели является вопрос

овыборе системы независимых величин (постоянных или перемен­ ных; скалярных, векторных, тензорных 38 и т. п.), достаточно полно характеризующих состояние моделируемого объекта или протека­ ние изучаемого процесса. Такие величины (в широком смысле слова) часто называют определяющими параметрами. Удачный (неудачный) выбор определяющих параметров может предопределить успех (неуспех) исследования.

Набор определяющих параметров можно расширять за счет вве­ дения качественно новых величин. Так, для повышения адекватно­ сти описания поведения ряда материалов при определенных услови­ ях приходится наряду с чисто механическими величинами вводить в рассмотрение величины, характеризующие тепловые, электро­ магнитные или химические свойства и явления. При этом неучет какой-нибудь из существенных величин такого рода — пренебре­ жение важным «скрытым» параметром — может привести (и часто приводит!) либо к потере адекватности модели, либо, в лучшем слу­ чае, к ее неоправданному усложнению. В других случаях удовле­ творительная адекватность модели обеспечивается выбором достаточ­ но большого числа однотипных параметров, характеризующих процесс — обобщенных координат, коэффициентов в разложениях, координатных функций и т. п.

Л. И. Седов пишет [288, с. 57—58]: «Понятие об определяющих параметрах и об их числе в общем случае является непосредствен­ ным обобщением понятия о степенях свободы и о независимых коор­ динатах для механических систем в аналитической механике и клас­ сической термодинамике». Таким образом, термин «число степеней свободы» можно толковать в широком смысле, понимая под ним общее число определяющих параметров. Ниже, однако, говоря о числе степеней свободы, мы будем для простоты иметь в виду число при­ влекаемых к рассмотрению однородных определяющих скалярных параметров.

Число определяющих параметров модели может быть как конеч­ ным, так и бесконечным. В подавляющем большинстве реальных задач предположение о практически конечном (т. е. не слишком большом, см. п. 2.4) числе степеней свободы представляет собой идеализацию, и потому в принципе, чем больше степеней свободы

*) [203, с. 12]: «Как сказал однажды один инженер, «всякое уравнение длиной более двух дюймов (« 5 ,0 8 см.— Авт.) скорее всего неверно». Отме­

симых величин, которые теория может предсказать, а п — число подгоноч­ ных параметров.

в модели, тем с большей точностью можно описать исходный объект. Однако при слишком большом числе степеней свободы модель мо­ жет оказаться столь сложной и не наглядной, что проанализировать с ее помощью интересующие нас характеристики может оказаться затруднительно («за деревьями можно не увидеть леса»). Оптималь­ ным может оказаться весьма небольшое число степеней свободы (во многих задачах даже одна степень!), зависящее от изучаемых ха­ рактеристик объекта и от схемы модели. Уменьшение числа степе­ ней свободы в модели, не приводящее к заметной потере адекватно­ сти, может потребовать большого искусства и оказаться весьма су­ щественным для возможности доведения исследования до конца *).

Так, Земля в небесной механике, как правило, принимается за материальную точку (или абсолютно твердое тело), т. е. объект с тремя (шестью) степенями свободы, а в геофизике — за упругое или упруго-пластическое тело, т. е. объект с бесконечным числом степеней свободы. Примером из области техники может служить проблема колебаний корабля. Если возмущения являются низко­ частотными (например, рассматривается действие морского волне­ ния), то корабль с удовлетворительной точностью считают твердым телом и приписывают ему шесть степеней свободы. Если же рассмат­ ривается действие на корабль высокочастотных возмущений, возни­ кающих при работе силовой установки, то корабль принимают за упругую систему и считают, что эта система имеет бесконечное чис­ ло степеней свободы. (В первом случае говорят о качке, а во вто­ ром — о вибрации корабля.)

Еще один пример. Пусть рассматриваются продольные вынужденные колебания вертикального стержня, один конец которого закреплен непод­ вижно, а к другому приложена периодическая возмущающая сила. Пусть сначала частоты гармонических составляющих внешнего воздействия (во всяком случае, существенных для данного процесса) значительно ниже ос­ новной частоты свободных колебаний этого стержня. Тогда адекватной мо­ делью может служить невесомая пружина, незакрепленный конец которой может совершать только продольные колебания, т. е. эта модель квазистатична и с формальной точки зрения имеет нуль степеней свободы. Если верх­ няя граница частот внешнего воздействия простирается до величины порядка указанной основной частоты, то модель, адекватную относительно всех воз­ действий этого класса, можно представить в виде точечного груза, висящего на невесомой пружине и совершающего вертикальные колебания, т. е. эта модель имеет одну степень свободы. Если верхняя граница внешних частот отодвигается далее, то адекватной моделью служит система из двух, трех и т. д. грузов, связанных пружинами, т. е. система с двумя, тремя и т. д. сте­ пенями свободы. В сущности, это соответствует выбору двух, трех и т. д. координатных функций при использовании метода Галер кина. Наконец, моделью, адекватной относительно произвольных внешних возмущений, по поводу частот составляющих которых не делается никаких априорных

*) Как справедливо замечает Л. И. Седов (288, с. 58]: «Основные успехи, добытые в механике и физике, связаны с рассмотрением объектов, для кото­ рых число задаваемых опытных и теоретических определяющих характерис­ тик конечно и вообще невелико».

ском отыскании наибольшего значения функции одного или боль­ шого числа переменных совершенно различны и, возможно, долж­ ны принадлежать различным разделам прикладной математики *).

Возвращаясь к вопросу об увеличении числа степеней свободы, укажем еще на принципиальное различие между задачами эволю­ ционного (отвечающего развитию системы во времени из заданного начального состояния) и неэволюционного характера. Задачи перво­ го вида в математическом отношении сводятся к решению началь­ ной задачи Коши для системы из п обыкновенных дифференциаль­ ных уравнений или интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра 39 и т. п., где п — число степеней свободы модели. Такая модель описывается совокупностью п функций одной переменной — времени, и число К (я) действий, необходимых для построения этой совокупности, зависит от п степенным образом. Например, для ли­

нейной системы общего вида без последействия К(п) ~ С ~ я2, где

С — некоторый коэффициент пропорциональности, зависящий от избранного метода интегрирования, L — длина временного интер­ вала, на котором строится решение и который предполагается не слишком большим, a h — шаг интегрирования, зависящий от вы­ бранной степени точности. В отличие от этого задачи неэволюцион­ ного характера часто сводятся к построению и исследованию одной или нескольких функций п переменных. Число К (п) действий, не­ обходимых для этого, выражается через п по экспоненциальному закону, т. е. здесь сказывается «проклятие размерности». Поэтому объем вычислений в таких задачах гораздо более чувствителен к увеличению числа степеней свободы, чем в эволюционных.

Специального внимания требует переход от системы с конечным числом степеней свободы к сплошной среде и обратно (каждый из этих двух объектов может служить моделью другого), так как такой переход может качественно изменить картину. При переходе как

вту, так и в другую сторону картина может упроститься: системы

сконечным числом степеней свободы обычно в целом проще по струк­ туре, более приспособлены к применению методов дискретной мате­ матики, а в эволюционном случае приводят не к уравнениям с част­ ными производными, а к обыкновенным дифференциальным уравне­ ниям; с другой стороны, переход к непрерывной модели часто при­ водит к «сглаживанию», а сами такие модели более приспособлены к применению аналитических средств (например, асимптотических разложений и специальных функций) и численных методов типа Галеркина, в которых решение ищется в виде функции непрерывно­ го аргумента. Поэтому на практике в зависимости от типа задачи,

*) По поводу разбиения задач на классы с точки зрения оптимальных вычислительных алгоритмов см. § III.7 книги Н. С. Бахвалова [281. По-ви­ димому, в ближайшие годы важную роль будет играть диалоговая система оптимизации вычислительных алгоритмов; см. книгу Н. Н. Моисеева [222).

от предполагаемых методов исследования и вычислительных проце­ дур применяются переходы в обе стороны.

Однако указанные в предыдущем абзаце переходы, хотя обычно и не вызывают затруднений и недоразумений, иногда могут повлечь за собой потерю адекватности по тем или иным характеристикам. Приведем примеры этого.

Пусть прямолинейный упругий стержень моделируется дискретной последовательностью материальных точек, соединенных между собой безмассовыми пружинами. Если число этих точек принято достаточно большим, то после внезапного приложения постоянной продольной силы F0 к крайней левой материальной точке график усилий в пружинах модели через неко­ торое время t будет примерно таким, как показано на рис. 14 сплошной ли­

нией. Этот график аппроксимирует штри­ ховую «ступеньку», соответствующую модели стержня с распределенными па­ раметрами (значение а равно скорости распространения возмущений в стерж­ не). Как видно, формально при как

i

Г

Рис. 15

угодно малом / в с е усилия в дискретной модели оказываются отличными от нуля, т. е. скорость распространения возмущений в этой модели формально бесконечно велика. Таким образом, дискретная модель получилась неаде­ кватной по отношению к скорости распространения возмущений. Адекват­ ность может быть восстановлена, если предпринять необходимые корректи­ рующие меры, например пренебречь слишком малыми значениями усилий, считая, что возмущение дошло до какой-то точки, если приложенное к ней усилие составляет не слишком малую долю от F0-

Вкачестве другого примера неадекватного перехода рассмотрим задачу

одействии мгновенного импульса S, приложенного к одному концу цепочки из материальных точек, последовательно соединенных одна с другой безы­ нерционными пружинами (рис. 15). Ясно, что эта задача имеет смысл и может быть решена с помощью системы дифференциальных уравнений дви­ жения при учете соответствующих начальных условий. Однако допустим, что для упрощения анализа решено заменить цепочку на прямолинейный упругий стержень с непрерывно распределенной массой. В других случаях подобный переход обычно делается без сомнений и приносит существенную пользу, однако в данной задаче он приводит к противоречиям с естествен­ ными представлениями: формальное решение обнаруживает бесконечно большие скорости частиц и разрывы в смещениях частиц по длине стержня; непрерывная модель в данной задаче явно непригодна. Дело здесь в том, что непрерывная модель стержня не допускает задания внешней нагрузки в виде силы, сосредоточенной как по координате х, так и по времени /, т. е. определяемой произведением двух дельта-функций 6(х)6(/).

Для того чтобы можно было пользоваться моделью с распределенными параметрами, необходимо отказаться от предположения о мгновенности приложения внешней нагрузки или от предположения о сосредоточенном

характере ее приложения к стержню. В первом случае мы придем к задаче о действии сосредоточенной в пространстве, но «растянутой» по времени силы, а во втором — к задаче о действии внешнего мгновенного импульса, распределенного на некотором участке длины стержня вблизи от торца;

обе эти постановки задач вполне корректны, и теперь при решении не воз­ никает никаких абсурдных или неприемлемых разультатов.

Нетрудно привести примеры неправильных качественных выво­ дов, получающихся при аппроксимации трансцендентного уравнения алгебраическими, которая может отвечать неосторожному конечно­ мерному моделированию бесконечномерной системы. Рассмотрим уравнение

которое будем трактовать как характеристическое уравнение для некоторой линейной автономной системы с бесконечным числом сте­ пеней свободы, поскольку это уравнение имеет бесконечное число корней. При 2а<Оф все они имеют отрицательную вещественную часть, т. е. система устойчива. Однако если мы перейдем к аппрок­ симации уравнения (22), воспользовавшись отрезком ряда Маклорена для экспоненты, т. е. к уравнению

корни с положительной вещественной частью. Это может привести к неверному выводу о неустойчивости исходной системы. Причина кажущегося противоречия состоит в том, что лишь часть корней уравнения (23) аппроксимирует корни уравнения (22), тогда как остальные, «паразитные», корни уравнения (23) никакого отношения к корням уравнения (22) не имеют. С ростом N число аппроксими­ руемых корней становится все больше и больше, но паразитные кор­ ни остаются (они уходят при N -+ оо в бесконечность, пропадая лишь в пределе); паразитные корни и порождают неустойчивость аппроксимирующей конечномерной системы.

Подобные паразитные корни могут появляться и в других конечномер­ ных аппроксимациях, например при вычислении собственных значений ли­ нейного оператора по методу Галеркина. Эмпирически установлено правило (кем, нам неизвестно), согласно которому для достаточно хорошей аппрок­ симации первых 6 собственных значений следует воспользоваться приближе­ нием 26-го порядка, т. е. системой с 26 степенями свободы *). Более точно вопрос о необходимом числе степеней свободы решается обычно на рациональ­ ном уровне путем сравнения результатов вычислений для приближений различных порядков.

Аналогичная ситуация может возникнуть и при физических аппрокси­ мациях. Так, в работе М. Д. Дольберга [118) подробно разобрана задача о критических угловых скоростях вращающегося гибкого вала с распределен­ ной массой при учете гироскопического эффекта. Оказывается, что, хотя система обладает бесконечно большим числом степеней свободы, здесь имеется лишь конечное число критических скоростей. Для соответствующей Af-ди­

*) Укажем на аналогию этого положения с теоремой, известной в теории интерполяции как теорема Уиттекера, а в теории информации — как теорема Котельникова: для получения достаточной информации о непрерывном сигна­ ле частота его дискретных измерений должна быть, по крайней мере, вдвое выше наибольшей частоты, содержащейся в спектре сигнала.

сковой аппроксимации имеется N таких скоростей, но при N -*■ оо конечное

число их стремится к предельным значениям для сплошного вала, а осталь­ ные стремятся к бесконечности. С математической точки зрения эта ситуация подобна той, которая возникает при N-мерной аппроксимации интеграль­ ного уравнения Вольтерра: аппроксимационное уравнение имеет N собствен­ ных чисел 40, причем все они стремятся к бесконечности при N -*■ оо, так что

предельное интегральное уравнение собственных чисел не имеет.

Потеря адекватности может произойти и при конечномерной ап­ проксимации дифференциальных уравнений в процессе их числен­ ного решения. Так, при аппроксимации уравнений, описывающих эволюцию консервативной системы, если не принять соответствую­ щих мер предосторожности, может появиться фиктивная положи­ тельная или отрицательная вязкость, которая совершенно исказит качественную картину явления (см. также конец п. 5.7).

Выявлению числа степеней свободы родственно выявление сим­ метрии изучаемой модели, точнее — выявление группы преобразо­ ваний, относительно которой эта модель инвариантна. Наличие такой группы позволяет, например, перейти от пространственной задачи к плоской или осесимметричной, от произвольных эволюцион­ ных систем к автономным и т. п. Это порой дает возможность суще­ ственно упростить исследование, как аналитическое, так и числен­ ное, в частности потому, что снижение пространственной размер­ ности задачи на единицу обычно сокращает объем вычислений на два-три порядка. Отметим, что здесь мы имеем в виде п о л н у ю симметрию модели, т. е., например, если речь идет о дифференциаль­ ных уравнениях, то инвариантность не только этих уравнений, но и искомого решения; об ошибках, проистекающих из-за неучета по­ следнего обстоятельства, мы говорили в п. 3.26 в связи с выбором рабочих гипотез.

Знание симметрии задачи в ряде случаев приводит к законам сохранения и к другим полезным выводам; в частности, с этим свя­ зана роль теории групп в физике.

8. Иерархия переменных. Существенное упрощение модели часто может быть достигнуто также и после того, как выбраны определяю­ щие параметры, характеризующие изучаемый класс явлений, и составлена связывающая эти параметры замкнутая система матема­ тических соотношений. Дело в том, что значимость различных оп­ ределяющих параметров, а также их изменения во времени или в пространстве для интересующей нас характеристики может быть существенно различной. Правильный учет этих обстоятельств дает возможность в ряде случаев, когда непосредственное изучение математичской модели является чрезмерно сложным, получить решение задачи шагами, путем последовательного усложнения модели. При этом в первом, наиболее грубом и зачастую наиболее ответственном рассмотрении стараются принимать во внимание по возможности меньшее число величин, наиболее существенных для предпринятого исследования; зависимости между этими величинами также прини­ маются по возможности более простыми. Эти величины и эти зави­

симости естественно называть основными; впрочем, во многих зада­ чах основные величины и основные зависимости, как и всю грубую модель, можно выбрать различными, неравносильными способами. Отметим, что к числу основных величин мы относим также и сущест­ венные физические постоянные; сюда же относятся время, если изучается процесс, развивающийся во времени, и пространственные координаты, если существенна протяженность изучаемой системы в пространстве.

Отбор и отбрасывание в грубой модели малых влияний и взаимо­ действий содержит ряд трудно формализуемых элементов и рацио­ нальных рассуждений; интуиция и основанные на исследовательском опыте разумные традиции позволяют производить такие отбрасы­ вания, не приводящие к существенным ошибкам даже без тщатель­ ного математического анализа в каждом конкретном случае. Оста­ новимся особо на учете темпа изменения переменных по временной и пространственным координатам в процессе формирования основ­ ных величин. С этой целью заметим, что обычно при постановке за­ дачи определяются некоторые характерные значения — основные масштабы соответственно временной t+ и пространственной /* про­ тяженностей. Эти масштабы, играющие важнейшую роль при по­ строении грубой модели, существенно зависят как от моделируемого объекта, так и от изучаемых характеристик. Если основные масшта­ бы известны, то могут быть выделены переменные с «нормальным», «медленным» и «быстрым» темпами изменения. Так, если некоторая переменная величина q, зависящая, например, от времени t, имеет характерный диапазон изменения Дq^, то за основной масштаб ско­ рости (нормальный темп) изменения величины q естественно принять

q ^ k q j t ^ ; такую скорость также будем называть основной. Вели­ чины того же смысла, что и q, скорость изменения которых значи­

тельно меньше q*, будем называть медленными, а величины, ско­

рость изменения которых значительно больше q*,— быстрыми. В основных зависимостях ведущую роль, естественно, должны иг­ рать величины, изменяющиеся с основными скоростями; медленно изменяющиеся в пространстве или во времени величины могут быть учтены чисто параметрически (т. е., по существу, приняты за по­ стоянные), а быстро изменяющиеся, например колеблющиеся, ве­ личины — своими осредненными по тому или иному правилу эф­ фективными значениями, меняющимися с основной скоростью.

Описанный процесс формирования основных переменных и ос­ новных соотношений схематически представлен на рис. 16. Там же указаны переменные, привлекаемые к рассмотрению при построе­ нии более точной модели, чем первоначальная, если, конечно, в та­ ком уточнении есть надобность. Эти уточняющие переменные могут относиться к следующим четырем типам:

б) Поправки к быстрым переменным, учитывающие отклонение их воздействия от среднего, принятого во внимание с помощью ос­ новных переменных.

в) Добавки к основным переменным, влияние которых на изу­ чаемую характеристику системы считалось столь малым, что при

Рис. 16

грубом рассмотрении они игнорировались; эти добавки, как и рас­ сматривавшиеся ранее, могут меняться во времени или в простран­ стве с основной скоростью, быстро или медленно.

г) Дополнительные определяющие переменные, привлекаемые для уточнения грубой модели.

Таким образом, устанавливается как бы некоторая иерархия переменных как по скорости их изменения, так и по их значимости в предпринятом исследовании. Конечно, эта иерархия, как и отне­ сение переменных к указанным выше классам, не имеют абсолютно-