книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики

схема движения материальной частицы вокруг неподвижной точки при ньютоновском законе притяжения. При уточнении этой модели учитываются подвижность центрального тела, затем влияние дру­ гих планет, в первую очередь наиболее близких и тяжелых. Еще бо­ лее тонкими являются релятивистские эффекты и т. п.

Вопрос о разделении переменных по темпу их изменения с целью упрощения системы подробно разобран в книге [141]. Думается, что он весьма важен не только в многочисленных задачах естествозна­ ния и техники, но даже в человеческих отношениях.

Следующие два пункта иллюстрируют изложенное в п. 4.7 и 4.8, но имеют более специальный характер. Читатель, далекий от рассматриваемых в них вопросов, может перейти к п. 4.11.

9. О механике систем со скрытыми движениями. С идеологией установления существенных степеней свободы, выделения опреде­ ляющих и основных параметров, а также установления иерархии переменных тесно связана концепция, которую можно назвать ме­ ханикой систем со скрытыми движениями [40]. Элементы этой кон­ цепции можно обнаружить в динамике относительного движения, а также в классических трудах Рауса, Томсона и Тэта, относящихся к динамике систем с циклическими координатами (см., например, [209]); из последних работ нами заимствуются и некоторые термины, употребляемые здесь, однако, в расширенном смысле.

Суть концепции состоит в следующем. Пусть движение динами­ ческой системы описывается дифференциальными уравнениями

рожденная nX n-матрица инерционных коэффициентов, b(q, q) — некоторый вектор, a Q — вектор обобщенных сил. Положим

тыми движениями'обобщенные коордднатыдк+1 , ..., Яи+tи соответ­ ствующие степени свободы назовем явными, qu •••, Як — частично скрытыми, a qk+[+x, .... qn — скрытыми обобщенными координата­ ми. В терминах п. 4.8 явным движениям соответствуют основные, а скрытым — уточняющие переменные.

Перейдем по формулам (28) к новым обобщенным координатам Х и ..., Хг;ф г+1, ..., ф„, а избыточные величиныфь ...,фь будем счи­ тать либо заданными функциями времени, либо удовлетворяющими некоторым k дополнительным соотношениям

ственно /- и (п—/)-мерные векторы. Соотношения (29) можно зада­

асимптотически устойчивые по переменным ф и ф при любых X и X из рассматриваемой области. В этом случае можно «почти забыть» о существовании в системе'скрытых движений, поскольку система с течением времени «забывает» соответствующие начальные усло­ вия; величины ф и ф в уравнении (31) становятся конкретными функциями t. Уравнения (31) или (32) при этом приобретают вид

Скрытые движения представлены в этих уравнениях только вы­ ражениями для дополнительных сил W; отметим, что при наличии нескольких таких асимптотически устойчивых движений выраже­ ния W различны для каждого из них. Преимущества перехода от исходных уравнений (27) к уравнениям для явных движений в этом случае особенно значительны: здесь действительно может иметь место понижение размерности изучаемой системы.

Уравнения типа (31) — (33) мо&но назвать основными уравне­ ниями механики систем со скрытыми движениями. Они свидетель­ ствуют о следующем почти очевидном, но существенном положении:

дифференциальные уравнения явных (основных) движений отлича­ ются от уравнений упрощенной системы, т. е. системы, в которой не учитываются скрытые (дополнительные) движения, наличием дополнительных сил, зависящих в общем случае от скрытых коорди­ нат или только от явных движений и соответствующего числа по­ стоянных интегрирования; для асимптотически устойчивых скры­ тых координат эта зависимость с течением времени становится несущественной и можно считать, что дополнительные силы за­ висят только от явных движений.

Подчеркнем, что появление в уравнениях явных движений дополнительных сил не поддается объяснению, если не учитывать наличия скрытых движений. Естественно, что при наличии скрытых движений основные законы и положения механики для основных движений, если не учитывать в соответствующих уравнениях до­ полнительных сил, не будут выполняться или же будут выполняться лишь приближенно. Это обстоятельство не раз служило поводом для парадоксов и ошибок, вплоть до выражения сомнений в спра­ ведливости законов механики. С другой стороны, сознательное игнорирование мало существенных движений и степеней свободы позволяет значительно упростить исследование; оно, как отмеча­ лось, является, в сущности, необходимым (и даже неизбежным) элементом при построении модели системы. При игнорировании же существенных степеней свободы возможны не только количествен­ ные погрешности, но и неверные заключения качественного харак­ тера, например, устойчивые движения могут быть приняты за не­ устойчивые и наоборот (см., например, [209, 2521).

Итак, в связи с изложенным возникают следующие вопросы, в другой форме уже обсуждавшиеся выше в связи с проблемами вы­

бора основных переменных и числа степеней свободы при построе­ нии моделей механических систем:

1. Допустимо ли не учитывать скрытые движения, в частности, скрытые степени свободы, т. е. вместо уравнений (27) или (31) —

(33)рассматривать более простые уравнения (30)?

2.Как получить выражения, хотя бы приближенные, для до­ полнительных сил W ?

Первый вопрос тесно связан с проблемами идентификации и декомпозиции динамических систем. Его эффективное рассмотрение часто может быть достигнуто на основе использования методов ма­ лого параметра, в частности, методов теории сингулярных возму­ щений, метода Пуанкаре и методов усреднения.

Отметим, что частный случай, когда k —ti, а ф1( . . ., фь — за­ данные функции времени, соответствует основной теореме дина­ мики относительного движения. Другой случай соответствует уже упоминавшимся системам с циклическими координатами. Наконец, системы, в которых явные движения являются «медленными», а скрытые «быстрыми», подробно изучаются в п. 4; 10.

Заметим в заключение, что в ряде случаев уравнения типа (33) записываются в виде

[а0 (* ) + « ' ( * ) ] * + * ,( * , X) Q0(X, X, t ) — W 3(X, X , t),

где матрица а 0+ а ', как и а 0,— положительно определенная, причем

а ' может быть названа матрицей присоединенных масс, а дополни­ тельная сила W3, в частности, может быть равной нулю. Иными словами, оказывается, что наличие скрытых движений приводит не только к появлению дополнительной силы W z, но также и к изменению инерционных свойств системы. Такая ситуация харак­ терна, например, для ряда задач о движении твердых тел в жид­ кости и для динамики систем с квазициклическими координатами. Нетрудно видеть, что и в этом случае уравнения явных движений можно представить в форме (33), причем

W= W - a' (« » + « ')- 1(ft„-Qo+ W3).

Таким образом, и данный случай не выпадает из сформулированного выше общего положения.

10. Пример: иерархия переменных в задачах о действии вибра­ ции в нелинейных системах. Вибрационная механика как механика систем со скрытыми быстрыми движениями. Убедительной иллюст­ рацией изложенного в пп. 4.7—4.9 могут служить задачи о дей­ ствии вибрации в нелинейных механических системах; такие задачи вызывают значительный интерес исследователей в связи с развитием вибрационной техники и технологии. В сущности, можно говорить о возникновении в последние годы нового раздела прикладной теории нелинейных колебаний — теории вибрационных процессов и устройств. Особую роль в этой теории играет идея разделения

движений на быстрые и медленные *). Наиболее законченное во­ площение и строгое обоснование эта плодотворная идея получила в методе осреднения, ставшем уже классическим.

Математическая модель изучаемого объекта или явления имеет вид некоторой системы дифференциальных или родственных с ними уравнений, которые описывают достаточно широкий класс движений системы, как «быстрых», так и «медленных», однако обычно оказы­ ваются сравнительно сложными для решения и исследования. Задача состоит в том, чтобы из этих уравнений в конечном счете получить уравнения только для основных (медленных) составляю­ щих,— эти уравнения обычно оказываются значительно более про­ стыми, чем исходные. Забегая вперед, отметим, что в уравнения для определения медленных составляющих быстрые составляющие обычно входят под знаками осреднения, и поэтому первые могут быть приближенно найдены независимо от вторых.

Для чистого математика указанная задача обычно ставится как задача изучения некоторой системы уравнений, содержащих малый параметр. Однако для механика или математика-прикладника труд­ ности начинаются на более раннем этапе, когда необходимо принять гипотезу о возможности рассматривать определенные конечные па­ раметры в уравнениях как малые. Часто это вообще сделать за­ труднительно, и приходится исходить из допущения о том, что разыскиваемое движение может быть с достаточной точностью пред­ ставлено в виде определенной комбинации медленных и быстрых движений; малый параметр вводится затем с использованием этого допущения. Так, например, в ряде случаев исходной является рабочая гипотеза о близости искомого решения к гармоническим колебаниям с медленно изменяющимися амплитудами и частотами; о близости движения к вращению с медленно изменяющейся угло­ вой скоростью и т. д. Естественно, что этот исходный этап иссле­ дования, а значит, и все исследование в целом, носят рациональ­ ный характер.

Мы рассмотрим здесь случаи, когда рабочая гипотеза состоит в том, что возникающее в системе движение может быть представ­ лено в виде суммы

тать составляющую ф периодической по т с периодом 2л и для опре­

*) В настоящем пункте, следуя традиции, установившейся в данной об* ласти, мы называем медленными те движения, которые согласно классификации пп. 4.8—4.9 следовало бы отнести к основным, а быстрыми — к уточняю­ щим переменным и скрытым движениям.

Покажем, как почти все эти эффекты могут быть естественно и просто описаны посредством перехода к упрощенной модели (37) для медленной переменной, в то время как «увидеть» их на исход­ ной модели весьма затруднительно.

Дифференциальное уравнение, отвечающее такой исходной мо­ дели, т. е. уравнение движения маятника с осью подвеса, совершаю­ щей вертикальные гармонические колебания амплитуды А и часто­ ты to, имеет вид

где м и / — соответственно масса и момент инерции маятника; / — расстояние от оси до центра тяжести маятника; k — коэффициент вязкого сопротивления; угол q> отсчитывается от нижнего положе­ ния равновесия. Пусть со значительно превышает частоту

ю0 = V mglII малых свободных колебаний маятника вблизи положе­

ния устойчивого равновесия, а амплитуда А имеет порядок V g//co. Тогда, предполагая, что движение маятника может быть представ­ лено в виде ф = а(/)+ ф (/, со/), где а — медленно, а ф — быстро из­ меняющиеся переменные, вместо уравнения (38) получим следующее дифференциальное уравнение относительно а:

1а -}- ka + mgl sin а -f- sin 2a = 0. (39)

Переход от уравнения (38) к значительно более простому урав­ нению (39), т. е. к уравнению типа (37), может быть осуществлен либо путем применения известных асимптотических методов нели­ нейной механики [48, 217], либо посредством описываемой ниже более простой процедуры.

Последнее слагаемое в уравнении (37) представляет собой вибра­ ционный момент W(a). Именно благодаря его наличию получается, что если учитывать только медленные движения а («смотреть сквозь

причем два последних положения равновесия существуют при вы­ полнении условия

Эти положения равновесия неустойчивы. Нижнее положение а х= 0 является, как и для маятника с неподвижной осью, устойчивым. Но вибрация оси, как мы видим, приводит как бы к увеличению восстанавливающего момента, вследствие чего колебания вблизи нижнего положения теперь происходят с более высокой частотой. Что же касается верхнего положения равновесия а 2= я , то при вы­ полнении условия (40) оно становится устойчивым; именно этой си­

туации соответствует рис. 19, б. (Интересная идея о возможности «вибрационной стабилизации» упругих систем на основе этого эф­ фекта принадлежит В. Н. Челомею 1343].)

Рассмотрим теперь случай, когда движение маятника с вибри­ рующей осью представляет собой наложение малых быстрых угло­ вых колебаний ф(/) на равномерное вращение с угловой скоростью ш, и мы в сущности имеем дело с вращающимся неуравновешенным ротором (рис. 19, в):

Для медленной составляющей а таким же путем, как и ранее, получается уравнение

/а -f ka + k<a= Y mlA®2cos a,

где в правой части снова фигурирует соответствующий вибрацион­ ный момент. Благодаря действию этого момента при выполнении условия

2Ы (т/Ль>)<1

существует устойчивое стационарное вращение маятника, поддержи­ ваемое вибрацией его оси [47]; на этом эффекте основана работа ряда вибрационных машин 138]. Таким же путем можно изучить и стацио­ нарное вращение с угловыми скоростями

ти нижнего положения равновесия мо­ жет происходить при относительно низких частотах и и относитель­

ют и такие области значений А и ю, в которых движение маятника имеет хаотический характер.

2. Самосинхронизация неуравновешенных роторов. Пусть два или несколько неуравновешенных роторов приводятся во вращение от независимых, номинально одинаковых асинхронных электродви­ гателей (рис. 20). Если платформа, на которой установлены роторы,

неподвижна, то установившееся вращение роторов происходит, вообще говоря, с несколько различными угловыми скоростями, вследствие неизбежных малых различий между двигателями (рис. 20, а). Однако если платформа обладает подвижностью, например благодаря упругости опор (рис. 20, б), то средние угловые скорости вращения роторов уравниваются — наступает самосинхронизация, а между фазами вращения устанавливаются вполне определенные соотношения.

Исходные дифференциальные уравнения, определяющие углы поворота роторов фх и ф2, весьма сложны. После же перехода к медленным переменным а г и а 2, связанным с фх и ф2 соотношениями вида (34), получается система

Здесь Lt и L 2— вращающие моменты, передаваемые роторам

стационарными угловыми скоростями «»! и to2, определяемыми из условия уравновешивания электрических моментов моментами сил сопротивления

^i(»i)=AiWi, L2(to2)=ft2to2.

При подвижности основания стационарное значение общей угло­ вой скорости to и разности фаз a t—a 2 определяются из уравнений

L1(to)=^1to+lF1(a1—a 2, w), L2(to)=ft2to+U^2( —a 2, ю).

Без особых затруднений из уравнений (42) получаются и условия устойчивости синхронных движений. Явление самосинхронизации неуравновешенных роторов нашло широкое промышленное при­ менение.

3. Груз на шероховатой вибрирующей плоскости. Пусть груз лежит на горизонтальной шероховатой плоскости. Если плоскости сообщить достаточно интенсивную несимметричную вибрацию, то груз начнет двигаться по ней со скоростью V, зависящей от частоты

и амплитуды вибраций (рис. 21). Этот эффект можно наблюдать, на­ пример, в салоне летящего самолета, когда положенная на столик