книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики

т. п., в ней определяются отнюдь не своими «полными» десятичными разложениями.

Итак, математический континуум (числовая прямая) при чрезмерном продвижении в область малого становится неадекватным физическому *). Конечно, это замечание нельзя рассматривать как упрек по адресу теории вещественного числа! В с я к а я логи­ ческая схема упрощает описываемый ею объект и потому не вполне адекватна ему, что в том или ином должно проявиться. Теория ве­ щественного числа логически достаточно проста, основанный на ней математический анализ внутренне согласован и имеет огромное число приложений, следствий, правильно описывающих реальность. Цен­ ность этой теории не вызывает сомнений.

Однако здесь, как и при рассмотрении чрезмерно больших чисел, проявляется важная черта, свойственная всякой чисто дедуктивной теории. Содержательная дедуктивная теория отталки­ вается от той или иной реальной структуры и заменяет ее некоторой формальной структурой, которую затем развивает по формально­ логическим законам. Так как эти две структуры не вполне эквива­ лентны, то в дедуктивной теории наряду с выводами, адекватными реальности, могут появиться своего рода «монстры» — паразитные результаты, имеющие характер чисто логических следствий и не допускающие реальной интерпретации; при этом на получение та­ ких паразитных результатов могут затрачиваться значительные усилия. И если не привлекать соображений, лежащих за пределами возводимой теории, то нет возможности различать эти два типа след­ ствий, между которыми, кстати, нет четкой границы. (См. 1310,

с.34—35J.)

Вэтом состоит, возможно, основная трудность в развитии чис­ той математики. В связи со все большей разветвленностью изучае­ мых логических структур, все больше увеличивается объем, а воз­ можно, также и доля результатов паразитного характера, которые совсем не просто отсечь **) из-за отсутствий внутреннего критерия «паразитности». К этому нужно добавить, что такое отсечение сопря­ жено с некоторым риском: не раз оказывалось, что вопросы, казав­ шиеся ранее сугубо отвлеченными, в дальнейшем приобрели вполне реальное значение; в качестве примеров можно сослаться на такие, первоначально чисто абстрактные построения, как комплексные чи­ сла, матрицы, неевклидовы геометрии, гильбертово пространство 24.

Сэтой особенностью связана сложность оценки актуальности мате­ матических исследований, так как для чисто дедуктивного исследо­ вания трудно указать иной критерий ценности работы, кроме непро­ тиворечивости.

*) На этом, в частности, останавливается М. Борн [56, с. 312J.

**) Паразитные следствия могут возникнуть не только в математике. Таковы, например, бесконечно большие скорости при решении некоторых задач гидромеханики или бесконечно большие напряжения в некоторых задачах теории упругости.

52ГЛ. I. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

5.Замечание о невозможных событиях. Из п. 2.4 вытекает су­ щественный вывод, относящийся к предсказанию, основанному на

подсчетах или оценках вероятностей. Известно, что если формально подсчитанная вероятность некоторого события оказывается положи­ тельной, хотя бы и чрезмерно малой в смысле п. 2.4, то такое собы­ тие часто объявляют хотя и крайне мало вероятным, но все же воз­ можным. Думается, что такая терминология противоречит разумно­ му применению слова «возможность»; следуя ей, пришлось бы приз­ навать возможным всякий вздор, вроде того, что дважды два — пять.

Действительно, в качестве прописного примера заведомой истины обычно приводится равенство 2 x 2 = 4 . Но хотя истинность этого равенства ни у кого сомнений не вызывает, можно формально оценить вероятность (лучше сказать — степень, меру возможности) того, что на самом деле 2X2=5, а стандартное утверждение 2X 2=4 есть результат постоянно повторяющейся арифметической ошибки. Примем для этого, что каждый человек при вы­ полнении умножения в пределах первого десятка может с вероятностью 10~в ошибочно уменьшить ответ на единицу, что соответствует нескольким ошиб­ кам подобного рода за его жизнь. Поэтому, если принять, что за всю ис­ торию человечества 1010 людей выполняли умножение 2X2 по 10е раз за свою жизнь каждый, то вероятность того, что они всякий раз ошибочно,

независимо друг от друга, уменьшали ответ на 1, равна (10~в)1о16> 10~х°17Этот подсчет можно уточнить, но при любом уточнении результат получится формально положительным и, по-видимому, не далеким от приведенного*

Вкачестве «значительно более вероятного» события укажем на пример

вкниге Дж. Литлвуда (192, с. 112). Пусть с чемпионом мира играет в шах­ маты человек, который совершенно не знает правил игры, но знает только, что, делая очередной ход, он должен переставить одну из своих фигур или на какое-либо — безразлично какое — свободное поле, или на поле, занятое какой-нибудь фигурой противника (предварительно сняв эту фигуру). Ка­ кова вероятность того, что этот «игрок» не только ни разу не нарушит шах­ матных правил, но и случайно будет делать столь хорошие ходы, что в конце концов победит? По приведенной в книге оценке, она не меньше 10 “122.

Иногда говорят (и это правильно!), что абсолютно невозможны события, противоречащие фундаментальным законам физики, на­ пример закону сохранения энергии. Однако нетрудно оценить веро­ ятность того, что при установлении этого закона все исследователи допускали грубую систематическую ошибку. Эта вероятность ока­ зывается положительной, заведомо «большей», чем оцененная выше вероятность равенства 2 x 2 = 5 .

Думается, что возможными, но крайне мало вероятными следует называть (и считать) события с вероятностью, скажем, 10*"6*—10"®; это вероятность выпадения только гербов при 20—30 бросаниях идеальной монеты *). По мере уменьшения вероятности эпитеты, характеризующие степень неожиданности, надо усиливать. Что же

*) Отметим любопытное психологическое обстоятельство. Почему мы при бросании правильной монеты крайне удивимся, увидев, как герб выпал 20 раз подряд, и не удивимся, увидев, что герб и решетка выпали, например, в последовательности грггррргрррггргррргр? Ведь вероятности обоих этих событий одинаковы, они равны 2~20. Конечно, если мы заранее предсказываем

касается событий с вероятностью 10~200 и тем более 10~1о17э лишь формально положительной, то их естественно относить к полностью невозможным по статистическим соображениям *). Словом, дважды два — все-таки четыре, а не умеющий играть в шахматы заведомо не выиграет у чемпиона мира **).

Именно такая трактовка понятий «возможность» и «невозмож­ ность» отвечает свойствам мира, в котором мы живем, хотя она и не совпадает с типичным для чистой математики «стерильным» понима­ нием этих терминов.

Этому вопросу специально посвятил свою книгу [54] Э. Борель, который, в частности, написал (с. 7—8): «До сих пор в моих писаниях... я пользовался общеупотребительными у физиков выражениями, когда речь шла о физиче­ ских явлениях, вероятность которых крайне мала. В таких случаях огра­ ничиваются утверждением, что в высшей степени невероятно осуществление таких явлений, но спешат добавить, что это не достоверно.

Мне представляется в итоге размышлений, что такой подход не реали­ стичен, что он не учитывает совокупности наших сведений о Вселенной, и я пришел к выводу, что не следует бояться применить слово «достоверность» для обозначения вероятности, которая отличается от единицы на достаточно малую величину.

...дело здесь в вопросе не чисто формальном, и стало быть, не праздном. Такое изменение терминологии соответствует лучшему пониманию универ­ сальной роли вероятности в научном познании, и оно может позволить рас­ смотреть с иной точки зрения космологические и биологические проблемы, интересующие не только философов, но и всех людей, чье любопытство не ограничивается повседневной жизнью».

А. Б. Мигдал [213, с. 64]: «Мы всегда понимаем достоверное как спра­ ведливое с вероятностью, близкой к единице».

вторую последовательность и она реализуется, то это в высшей степени уди­ вительно; но ведь выпадение 20 гербов мы не предсказывали заранее?

Думается, что здесь дело в подсознательных экстраполяционных навы­ ках: наиболее простые закономерности чередования событий являются в нашем сознании как бы заранее зафиксированными, эталонными. Для случая бро­ сания монеты такими эталонными чередованиями служат гггггг..., рррррр..., гргргр... и другие сходные последовательности, которых совсем не так много. Будучи внутренне настороженными ?^зможности появления подобных эта­ лонов, мы естественно удивляемся, если он появляется в ситуациях, когда интуитивно ощущаемая вероятность его появления весьма мала.

Аналогичная ситуация может возникнуть, если, например, при случай­ ном выкладывании букв образуется длинное осмысленное заранее не пред­ сказанное слово.

*) Последнее замечание относится и к встречающимся порой утверж­ дениям типа: «Наукой доказано, что если заставить стадо обезьян печатать на машинках, то среди получающихся при этом наборов букв в конце концов можно будет найти и собрание сочинений Шекспира». Это — нелепое заблуж­

события: например, на днях я и мой старинный знакомый, которого я не ви­ дел 20 лет, независимо взяли в театр билеты на соседние места», надо ощутить полную несравнимость вероятностей этого и указанных выше событий. В дан­ ном случае не следует уподобляться свахе из «Последней жертвы» А. Н. Ост­ ровского, которая о каждом женихе говорила: «У него миллион», и просто­ душно пояснила: «Для меня все, что больше тысячи, то миллион».

По поводу формально положительных вероятностей см. также [407, 482J.

54 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

6. Скорость сходимости приближенного метода. Со сказанным в пп. 2.3—2.4 непосредственно связан вопрос о скорости сходимости того или иного приближенного метода. Пусть, например, сумма S некоторого сходящегося ряда находится с помощью непосредствен­ ного вычисления его частных сумм S n и последующего перехода к пределу при п->оо. Тогда с точки зрения чистой математики во­ прос о быстроте приближения S n к 5 обычно представляется сугубо маловажным. Если же такой вопрос и ставится, то только в асимпто­ тической форме: например, из двух рядов с общими членами ап=^ =Сп~Р(р> 1) и bn=Dqn(\q\<il) второй всегда считается сходящим­ ся быстрее первого, независимо от значений параметров.

Вотличие от этого, понятие практической сходимости включает

всебя, в частности, возможность достижения полной суммы с разум­ ной точностью за практически реализуемое число шагов. Поэтому здесь фундаментальную роль играет вопрос о скорости сходимости, обеспечивающей эту возможность. В большинстве случаев асимпто­ тически лучшая скорость является и практически лучшей; однако так бывает не всегда, и в примере, приведенном в предыдущем аб­ заце, при некоторых сочетаниях параметров соотношение между практическими скоростями сходимости может оказаться обратным указанному.

Если точное решение теоретически достигается за конечное число шагов, то в чистой математике понятие скорости сходимости во­ обще отсутствует; однако в прикладном плане оно сохраняет смысл, если это число шагов практически не реализуемо.

Приведем в этой связи выразительное высказывание А. Пуан­ каре (цит. по [168, с. 224—2251):

«... между математиками и астрономами (сейчас бы мы сказали — между чистыми и прикладными математиками.— Авт.) имеет место своего рода не­ согласие по поводу слова «сходимость». Математики, озабоченные полной строгостью и зачастую относящиеся безразлично к длинноте неисполнимых

ворят, что ряд сходящийся, когда сумма его членов приближается к опреде­ ленному пределу, хотя бы первые его члены и убывали весьма медленно. Наоборот, астрономы имеют обыкновение называть ряд сходящимся, когда, например, первые двадцать его членов весьма быстро убывают, хотя бы даль­ нейшие члены и возрастали неопределенно.

Так, рассмотрим простой пример; из двух рядов, коих общие члены суть 100(WH ! и л !/1000п, математики назовут первый сходящимся и даже весьма

быстро сходящимся, потому что миллионный член гораздо меньше 999 999-го; второй же ряд они рассматривают как расходящийся, ибо его общий член может беспредельно возрастать.

Астрономы, наоборот, примут первый ряд за расходящийся, потому что первые его 1000 членов идут возрастая; второй ряд они сочтут за сходя­ щийся, потому что первые 1000 членов идут убывая и вначале это убывание весьма быстрое».

Совершенно замечательно завершение этого текста: «Оба воззрения законны: первое — в исследованиях теоретических, второе — в численных приложениях. Оба воззрения должны господствовать, но в двух различных областях, которые важно точно разграничить».

функция Хевисайда

0 (* < 0 ),

1 (л: > 0),

которая описывает внезапное включение какого-либо воздействия или переход из одной среды в другую и т. д. С помощью единичной функции легко записать любую кусочно-аналитическую функцию: например, функцию, равную ft (х) при х < а и / 2 (х) при х> а, можно записать единой формулой:

f (х) Чг (х)Н (а—х )+ /2 (х)Н (х—а).

Место подобных функций стало еще более ясным после введения в XX в. обобщенных функций — импульсной дельта-функции Ди­ рака 6 (х )= # '(х ) и связанных с ней функций (см., например, [130, гл. VI]), которые сразу же нашли прочное место в приложениях (более того, они и возникли в связи с формулировкой прикладных задач).

Отметим, что в теории случайных процессов типа броуновского движения важную роль играют непрерывные, но нигде не дифферен­ цируемые и потому не аналитические функции, описывающие тра­ ектории частиц. Однако эти траектории непредсказуемы и неповто­ ряемы, и потому такие функции имеют только статистическую, а не индивидуальную значимость.

Таким образом, думается, что сейчас в прикладной математике индивидуальную значимость имеют т о л ь к о аналитические, ку­ сочно-аналитические и простые обобщенные функции.

До сих пор мы говорили о формальной структуре функции. Но различие подходов проявляется и в неформальном аспекте. Яркий пример такого различия приводится в [247, с. 254]. Записывая ежед­ невно суммарный выпуск автомобилей на каком-либо заводе, на­ чиная с 1 января 1989 г., и замеряя уровень воды в реке Москве в те же дни, а затем сопоставляя полученные числовые последователь­ ности, мы найдем, что этот уровень воды представляет собой функ­ цию числа выпущенных автомобилей. Такой пример с позиций чис­ той математики законен, но с точки зрения прикладной математики, для которой функция является отражением причинной связи, он воспринимается как вопиющая нелепость.

Для XX в. характерен еще один подход к понятию функции, общий как для чистой, так и дугя прикладной математики. Речь идет о трактовке функции как элемента функционального простран­ ства, например пространства Гильберта (см. *4), т. е. как члена функционального коллектива. Такой подход имеет во многих задачах разнообразные теоретические и прикладные преимущества, на кото­ рых мы здесь, однако, не будем останавливаться.

8. Устойчивость относительно изменения параметров. Имеется еще одно важное обстоятельство, которое может послужить препят­ ствием для переноса понятий и методов чистой математики в при­

кладную. Оно происходит из возможности лишь приближенного задания всех непрерывных параметров, входящих в формулировку любой прикладной задачи.

Пусть речь идет, например, о каком-либо методе решения не­ которой прикладной задачи. Для того чтобы считать этот метод эф­ фективным, необходимо, чтобы он обладал известной универсаль­ ностью, точнее, сохранял свою силу при изменении (хотя бы доста­ точно малом) параметров задачи: это свойство метода можно назвать его устойчивостью. (Здесь термин «устойчивость» применяется в наиболее широком смысле.) Отметим, что параметры — это не обя­ зательно скаляры, это могут быть векторы или даже элементы функ­ ционального пространства; грубо говоря, параметры — это все, что задается при постановке задачи. Например, для дифференциаль­ ного уравнения dxldt=f(x, t) всю правую часть можно рассматри­ вать как функциональный параметр, хотя это и не вполне отвечает традиционной терминологии. Поэтому метод, применяемый к реаль­ ной задаче, описываемой указанным дифференциальным уравне­ нием, должен быть устойчивым относительно произвольной доста­ точно малой вариации правой части.

Однако многие методы в алгебре, в чистом анализе, в теории аналитических функций нередко опираются на конкретные арифме­ тические и функциональные соотношения типа равенств между уча­ ствующими параметрами, т. е. в указанном смысле неустойчивы.

которое приводится к полному уравнению четвертой степени. Со­ ставители задачи предполагали, что экзаменующиеся путем анализа делителей свободного члена полученного уравнения сначала найдут два целочисленных корня х и 2=2, после чего дело сведется к реше­ нию квадратного уравнения. Этот ход выкладок совершенно не уни­ версален— достаточно заменить коэффициент 20 на 21 или 20,1 и т. д., и описанный прием становится неприменимым. К сожалению, последнее обстоятельство школьникам обычно не разъясняется, и многие из них остаются в ошибочной уверенности, что владеют об­ щим методом решения уравнений четвертой степени. Трудно ска­ зать, чего здесь больше — пользы от знания весьма специального приема или вреда от убеждения в его универсальности.

Вот еще пример того же рода, относящийся к технике интегриро­

основанный на замене 3у = х 2(и2—1), в результате которой получает­ ся весьма простое уравнение 4 (хи'+ц)2=1. Но эта подстановка

приводит к успеху лишь в случае, когда коэффициенты имеют только выписанные выше значения, и совершенно не продуктивна при произвольных изменениях этих коэффициентов.

Рассмотрим, наконец, так называемый третий случай интегри­ руемости системы уравнений вращения твердого тела вокруг не­ подвижной точки в однородном поле тяготения. Если принять ука­ занную точку за начало координат, оси которых направлены вдоль главных осей инерции тела, и обозначить через х0, у0, z0 координаты центра тяжести, а через Л, В, С — соответствующие моменты инерции тела, то названному случаю отвечают сугубо специальные соотношения: А= В = 2С , z0= 0, не выделяющие сколь-нибудь ин­ тересную или типичную ситуацию. Установленная для этого случая интегрируемость уравнения движения с помощью ультраэллиптических функций исчезает при любом нарушении выписанных соот­ ношений. Можно сказать, что используемый здесь метод неустойчив

вуказанном выше смысле.

Вприведенных примерах рассмотрены по существу вырожденные случаи, выделенные без физически осмысленной или иной нефор­ мальной мотивировки и, таким образом, приводящие к нецелесооб­ разным специализациям.

Выше речь шла об устойчивости математических м е т о д о в . Столь же важным является понятие устойчивости математической

м о д е л и ; коротко говоря, устойчивой является такая модель, малые изменения параметров которой не вызывают существенных качественных изменений ее свойств *).

Для адекватности математической модели необходимо, чтобы ее устойчивость (неустойчивость) соответствовала устойчивости (неустойчивости) реальной картины.

Большая гибкость логики прикладной математики по сравнению с логикой чистой математики также в значительной мере связана со свойством устойчивости. В открыто полемической статье [522] Дж. Шварц пишет: «Физик, вполне естественно, сторонится точных (чисто дедуктивных.— Авт.) рассуждений, так как рассуждение, убедительное только в том случае, если оно точно, полностью теряет силу, как только предположения, на которых оно базируется, слегка меняются; в то же время убедительное, хотя и не вполне точное рас­ суждение может быть устойчивым относительно малых возмущений основопол агающих аксиом».

Означает ли сказанное выше, что сугубо специализированный анализ частных и вырожденных случаев вообще не представляет ни­ какой ценности? Нет, не означает, если не ограничиваться т о л ь к о этим анализом. Прежде всего анализ специального случая часто не­ сет определенную информацию о всех случаях, достаточно близких к

*) В качественной теории дифференциальных уравнений 25 близкое по­ нятие называется грубостью (структурной устойчивостью) системы; мотиви­ ровка его введения близка к приведенной здесь мотивировке общего понятия устойчивости.

рассмотренному. В частности, специальное решение может быть принято за нулевое приближение при решении смежных (в отно­ шении параметров) задач методом возмущений.

Так, пусть в уравнении (2) свободный член равен 20,1, а не 20. Тогда мы можем принять, что его корни мало отличаются от корней исходного уравнения; например, корень, близкий к значе­ нию х=2, можно найти из соотношения

(2 + Д)2 + 4 (2 + Д) — 16 К 2(2 + Д) + 20,1 = 0,

где А — искомая поправка к значению х=2. Полагая, что А мало, и удерживая только члены второго порядка малости (линей­ ные члены в этом примере взаимно уничтожаются), найдем

А1(2 = Hr V0,05/ — Hr 0,224/,

т. е. искомая пара корней равна x lt >=2:4:0,224/. При необходимости можно продолжить итерации и найти дальнейшие приближения.

Примерно таким же образом обстоит дело и в других вырожден­ ных случаях. Короче говоря, результаты применения неустойчи­ вого метода приобретают некоторую ценность, если устойчива математическая модель.

Иногда из анализа вырожденных объектов можно сделать «ус­ тойчивые» выводы о невырожденных ситуациях: так, из рассмотре­ ния окрестностей точек покоя на фазовой плоскости можно сделать вывод о характере в с е х фазовых траекторий (см. 25). Аналогич­ ную роль играет рассмотрение характерных точек функции, точек ветвления 26 при продолжении решения по параметру, точек би­ фуркации (см. 26) какого-либо объекта и т. д. Кроме того, решение всякой изолированной задачи, даже полученное неустойчивым методом, может служить полезным эталоном для проверки точности каких-либо приближенных устойчивых методов решения задач того же класса.

Таким образом, специализации, приводящие к изучению вырож­ денных случаев, могут быть и целесообразными, приносящими су­ щественную пользу. В особенности это относится к достаточно ши­ роким классам практически важных случаев, которые формально следует считать вырожденными по самой постановке физической задачи. (Впрочем, любой, даже весьма широкий класс случаев можно считать вырожденным по отношению к еще более широкому классу.)

Напомним, что в рамках какой-либо общей ситуации, включаю­ щей произвольные параметры, различают разные степени вырожде­ ния; степень вырождения равна количеству независимых числовых равенств, связывающих эти параметры. Степень вырождения назы­ вается также коразмерностью вырожденной ситуации, т. е. размер­ ностью, недостающей до полной. Всякое функциональное равенство, если есть функциональные параметры, приводит к бесконечной степени вырождения.

60 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

Так, например, потенциальность системы есть по сравнению с общим случаем признак ее вырожденное™ коразмерности оо, так как для потенциальности правые части соответствующей системы дифференциальных уравнений должны удовлетворять определен­ ным соотношениям типа функциональных равенств. Но этот тип вырожденности физически осмыслен и охватывает широкий класс важных задач. При этом используемые методы должны быть устойчивыми относительно малых возмущений в классе п о т е н ­ ц и а л ь н ы х с и с т е м .

Другим примером содержательного анализа вырожденной ситу­ ации может служить случай действия периодического возбуждения на механическую систему. Здесь вырожденное™ состоит в том, что реальное воздействие на механическую систему не может быть точно периодическим как из-за наличия разного рода возмущений, так и из-за конечности времени этого воздействия. Тем не менее в по­ давляющем большинстве практических случаев оказывается воз­ можным пользоваться результатами исследования, проведенного в предположении точной периодичности воздействия. Эта возмож­ ность, которая часто принимается без специального анализа, зави­ сит от практической длительности переходного процесса, а также от структуры и величины возможных возмущений.

Одной из важных задач прикладной математики является широ­ кий анализ подобных возможностей для разных классов задач, а также последствий отклонений в реальной ситуации от сделанных предположений (см. п. 5.14).

В этой связи следует признать бесспорную ценность анализа первых двух интегрируемых случаев вращения твердого тела вокруг

Это также вырожденные случаи (коразмерности 3), но они очень близки многим реальным ситуациям. В первом случае центр тяже­ сти тела совпадает с неподвижной точкой, а во втором случае тело обладает осью «динамической симметрии», причем его центр тяжести и неподвижная точка лежат на этой оси. Анализ этих двух случаев позволил осуществить ряд полезнейших технических устройств гироскопического типа, в которых, разумеется, не достигается абсо­ лютно точное выполнение условий (3). Таким образом, эти вырож­ денные случаи выделяются не столько формальным свойством интегрируемости, сколько их подлинной практической важностью.

Эйлерова теория упругой устойчивости также в сущности отно­ сится к вырожденным системам (отсутствие «неидеальностей»), но ее ценность неоспорима. Анализ этих вырожденных случаев поз­ воляет предсказать свойства реальных систем, при условии, что «неидеальности» достаточно малы, как это в самом деле часто бывает.

Итак, исследование вырожденных случаев становится полно­ ценным в прикладном отношении только при отчетливом понимании