книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики

ной точки зрения представляются довольно заметными. Так, сфор­ мулированные Евклидом определения понятий точки, линии и т. д. по существу определениями не являются («Точка есть то, что не имеет частей» и т. д.), и к тому же им не используются. Аксиомы относятся только к соотношениям между величинами, да и то далеко не ко всем тем, которые применяются при построении теории. Совершенно отсутствуют определения и аксиомы, связанные с поня­ тием следования (порядка) точек на прямой или окружности, т. е. это понятие как бы относилось к категории тех слов (наподобие «пусть дано» и т. п.), понимание которых подразумевается при построении теории. Кроме того, интересно отметить, что греки вычис­ ляли длины, площади, объемы различных, иногда довольно слож­ ных линий, фигур, тел, но вопрос о самом с у щ е с т в о в а н и и такой меры у них даже не возникал и т. д.

Греки (в частности, Архимед) пользовались и доказательствами, основанными на механических аналогиях; однако такие доказатель­ ства считались нестрогими, пропедевтическими, а полученные утверждения надо было обязательно обосновать последующим «стро­ гим» (в их понимании) доказательством.

По-видимому, отчетливое отделение чистой математики от при­ кладной характерно также для стран средневекового ислама и алгеб­ раистов средневековой Европы. При этом теория и практика ре­ шения алгебраических уравнений, а также комбинаторика все в большей степени врастают в чистую математику; в частности, крупнейшие математические открытия той эпохи — биномиальные коэффициенты, формулы для решения уравнений 3-й и 4-й степеней полностью принадлежат чистой математике.

3.Научное Возрождение. Положение принципиально меняется

сначалом научного Возрождения — с работ Г. Галилея, И. Кепле­

ра и других ученых, для которых математика и математический способ мышления становятся одним из основных орудий естество­ знания. Мощное давление естествознания весьма благотворно сказа­ лось на. развитии математики. В XVI—XVIII вв. оба направле­ ния — прикладное и теоретическое — непрерывно взаимодейство­ вали и оплодотворяли друг друга. Стало типичным, что возникнове­ ние и первоначальное развитие того или иного математического понятия диктовались задачами естествознания или геометрии (при­ ложения к которой в тот период порой мало отличались от прило­ жений к механике или оптике), затем это понятие получало самостоя­ тельную жизнь и его развитие продолжалось по внутренним мате­ матическим законам; некоторые из результатов «чистого» развития вновь применялись к естествознанию, что приводило к появлению новых математических понятий и задач и т. д. (ярким примером служит создание дифференциального и интегрального исчислений).

В этот «героический» период гармонического развития матема­ тики различение, а тем более противопоставление чистой математики и прикладной потеряло смысл. Этому способствовало и то, что круп­

нейшие ученые рассматриваемого периода — И. Ньютон, Л. Эйлер, Ж. Лагранж и другие — были не только математиками, но и фи­ зиками, механиками; в трудах каждого из них развивались как теоретическое, так и прикладное направления математики (см., в частности, [521]). (Впрочем, последнее характерно и для многих выдающихся математических умов более позднего времени: доста­ точно вспомнить К. Гаусса, О. Коши, Б. Римана, А. Пуанкаре,

П.Л. Чебышева...)

4.Период доминирования теоретико-множественного направ­ ления. Переход к следующему периоду растянулся на десятилетия, и потому его начало лишь условно можно датировать серединой XIX в. Он связан с рядом блестящих работ по теории множеств (Г. Кантор) и теории функций (К. Вейерштрасс), по построению первых абстрактных алгебраических структур и анализу аксиом геометрии. Эти глубоко прогрессивные для своего времени работы превратили значительную часть математики в единую науку, с едиными требованиями к определениям, утверждениям и доказа­ тельствам, с едиными нормами строгости.

Основная объективная причина для этого перехода состояла в том, что к концу предыдущего периода в математике накопились многочисленные недостаточно увязанные друг с другом факты и возник ряд теорий, мало согласованных между собой и еще не имев­ ших надежного обоснования, которое дало бы возможность их

уверенно развивать. Дальнейшее развитие аналитических дисцип­ лин, в которых стихийно возник подход, основанный на применении актуальной бесконечности — бесконечных рядов, бесконечно ма­ лых величин и т. д.,— требовало уточнения понятий функции и предельного перехода; это по необходимости повлекло за собой появление теории вещественного числа и числовых множеств и т. д. Теоретико-множественный подход дал возможность отчетливо сфор­ мулировать важнейшее понятие группы 8 в алгебре, привел к удов­ летворяющему современников логическому построению геометрии.

Таким образом, переход в математике к теоретико-множествен­ ному подходу, основанному, как теперь принято снисходительно говорить, на наивной теории множеств *), был необходим и потому прогрессивен. В то же время приведение в порядок основ науки, от­ крывшиеся в связи с этим новые широкие возможности, в частности значительно усилившиеся возможности взаимодействия между различными математическими дисциплинами **), привели к сущест­

*) Ему противопоставляется более современный подход, основанный целиком на методах математической логики.

**) Так, только на теоретико-множественной основе удалось дать аксио­ матическое обоснование теории вероятностей, находящееся на уровне других областей чистой математики. Исходя из этих успехов, Д. Дуб [119, с. 7] пишет: «Теория вероятностей — это просто одна из ветвей теории меры, отли­ чающаяся особым вниманием к некоторым специальным понятиям этой тео­ рии и своей особой областью приложения» . Однако с тем же основанием мож-

венному повышению роли теоретического направления в математи­ ке, которое в описываемый период (продолжавшийся примерно до второй мировой войны) стало преобладающим и определяющим стиль всей математики в целом.

После работ Кантора чистая математика, основанная на наивной теории множеств, решительно стала на позицию признания актуаль­ ной бесконечности и идеи как бы объективного существования ма­ тематических понятий (чисел, функций, множеств и т. п.), восхо­ дящей еще к Платону *).

Прикладное направление в этот период продолжало развиваться прежде всего в связи с прогрессом физики и небесной механики, однако какого-либо радикального переворота здесь не произошло. Открывались новые каналы, через которые шли приложения, на­ пример векторные алгебра и анализ, тензорные алгебра и анализ, позже — операционное исчисление, теория обобщенных функций и т. п., но сам характер приложений некоторое время оставался в принципе тем же. Классический математический аппарат в сочета­ нии с глубокими физическими идеями привел к ряду выдающихся открытий, сделанных, как пишут в популярных книгах, «на кончике пера». Таковы предсказание электромагнитных волн Дж. Максвел­ лом, открытие планет Нептуна и Плутона, предсказанное П. Дира­ ком существование позитрона и т. д. На указанной основе возникла одна из важнейших областей современной науки — теоретическая физика.

Следует особо упомянуть о зарождении теории автоматического регулирования в трудах Максвелла (1868), И. А. Вышнеградского (1877) и других. Эта теория, находящаяся на грани между матема­ тикой и техникой, ввела в математику ряд принципиально новых «управленческих» идей, которые в дальнейшем послужили одним из основных источников кибернетики и стали характерными для зна­ чительной части современной математики. Операторные методы, порожденные теорией автоматического регулирования, также ока­ зали существенное воздействие на дальнейшее развитие математики (в особенности, прикладной). Интересно, что хотя эти методы сна­ чала не имели должного математического обоснования, это не поме­ шало им сразу же принести замечательные плоды.

но было бы сказать, что литературоведение — это одна из ветвей лингвисти­ ки, «отличающаяся особым вниманием и т. д.»...

*) И сейчас подавляющая часть чистых математиков находится по суще­ ству на этой позиции. Например, когда математик говорит: «Существует натуральное число, обладающее таким-то свойством», он представляет себе как бы некую неподвижно стоящую очередь, среди которой имеется конкрет­ ный участник, обладающий указанным свойством. При таком подходе не вызывает сомнения, что утверждение, приведенное в кавычках, или верно или нет,— ничего другого не может быть. Курьезно, что сейчас почти все чистые математики, склонные к общим размышлениям, теоретически пони­ мают неправильность сформулированной позиции, но в своей повседневной научной работе безоговорочно на нее опираются.

Успехи теоретического направления в математике, создание еди­ ного уровня строгости всей математики привели к тенденции решать и математические задачи, возникшие в приложениях, также на уров­ не строгости теоретического направления; наиболее отчетливо эту тенденцию выразили Д. Гильберт и А. М. Ляпунов, о чем мы подроб­ но скажем в п. 5.1. В тех случаях, когда названную тенденцию ока­ залось возможным реализовать, это привело к двойственности решения прикладной задачи в целом: постановка задачи и интерпре­ тация решения проводились на физическом уровне строгости (по­ пытки аксиоматизации отдельных разделов физики на теоретико­ множественной основе физиками не были поддержаны), математи­ ческое же решение осуществлялось на математическом уровне строности. (Такое раздвоение характерно именно для рассматриваемого периода, так как в «героический» период уровни строгости были су­ щественно ближе, если не совпадали.) В более сложных случаях, а также если прикладную математическую задачу решали физики, к решению часто привлекались и физические соображения; однако математики считали такое решение неполноценным и стремились заменить его решением, находящимся полностью на установившем­ ся к XX в. «вейерштрассовском» уровне строгости. Так сложи­ лось еще одно «профессиональное» раздвоение между требованиями

вуровне строгости решения прикладной математической задачи у математиков и прикладников.

Наличие в самой математике различных уровней строгости выяваяется уже практикой вычислений, которые почти никогда не прово­ дятся полностью на «вейерштрассовском» уровне строгости. Однако, отойдя от традиций Эйлера и других корифеев «героического» пе­ риода, математики теоретико-множественного направления, попро­ сту говоря, перестали вычислять и потому, как правило, игнориро вали отмеченное несоответствие, которое сохранялось как аномалия

впарадигме 9 математики. Вычислительная деятельность была npt* доставлена астрономам, артиллеристам и т. п., а также небольшой группе специалистов, которые считались находящимися где-то между математиками и инженерами. Достижения в этой области подавляющим большинством математиков не принимались всерьез; во всяком случае они считались совершенно не сравнимыми с пора­ жающими воображение достижениями в новых направлениях.

Книга К. Ланцоша [188] начинается словами: «В течение многих лет автор занимался исследованиями в тех областях математического анализа, которые интересуют в первую очередь инженеров и физиков. То обстоятель­ ство, что эта область «рабочей математики» не вызывала в течение XIX сто­ летия такого же интереса, как классические работы анализа, является, пожалуй, плодом исторического недоразумения. Вплоть до эпохи Гаусса и Лежандра «рабочие» методы анализа привлекали к себе пристальное вни­ мание лучших математиков. Блестящее открытие теории пределов изменило положение. С тех пор считалось достаточным указать бесконечный процесс приближения, с помощью которого можно установить правильность опре­ деленных аналитических результатов, независимо от того, выполним ли примененный процесс в данной задаче или нет. В результате произошло

матики сейчас является преобладающим, задающим тон.

Однако в последние десятилетия обнаружились и слабые стороны рассматриваемого направления *). Это проявилось по двум ли­ ниям — математической логики и приложений, впрочем связанным между собой. Прежде всего, «абсолютная» строгость наивной теории множеств и основанных на ней теорий оказалась, как и можно было ожидать из общих соображений, совсем не абсолютной — она отнюдь не устраивает логиков. (См., например, [310, с. 50—53 и 229—238; 152J.) Выяснилось, что в основе наивной теории множеств нет доста­ точно последовательной системы аксиом, она опирается на «очевид­ ность» и произвольные запреты; например, разрешается рассматри­ вать совокупность всех натуральных чисел, но запрещается рассмат­ ривать совокупности всех порядковых (трансфинитных) или всех кардинальных чисел — мощностей 14. Предложенная логиками си­ стема аксиом теории множеств навела в этом некоторый порядок; но анализ этой системы показал, что отдельные «само собой разумею­ щиеся» важнейшие положения — например, аксиома выбора (ак­ сиома Цермело 15) — на самом деле могут быть либо приняты, либо нет, что может привести к равноправному сосуществованию различ­ ных «теоретико-множественных математик», неэквивалентных между собой, наподобие различных геометрий. Возможные последствия этого трудно себе представить, поскольку предложения, доказанные с помощью аксиомы Цермело, в современной математике, системати­ чески применяются 16. Еще более эффектна обнаруженная в резуль­ тате работ К. Геделя и П. Коэна (1960 г.) независимость гипотезы континуума от остальных аксиом теории множеств: это означает, что при построении такой теории можно либо принять эту гипотезу как добавочную аксиому, либо принять как аксиому противоположное утверждение; но отсюда следует, что вопрос о том, верна ли «на са­ мом деле» гипотеза континуума, бессмыслен! (См. по этому поводу [165].) Это выдающееся открытие убедительно показывает, в ча­ стности, что понятие существования, на которое безраздельно опирается наивная теория множеств, отнюдь не является само собой разумеющимся.

Еще важней с развиваемой в этой книге точки зрения слабая сторона теоретико-множественной математики по отношению к при­ ложениям. Не будем сетовать на то, что ее утверждениями можно пользоваться лишь тогда, когда прикладная задача уже полностью

*) На опасности для современной математики перекоса в сторону наи­ более абстрактных разделов останавливается У. Спон в статье [302], заклю­ чая ее так: «Давайте вернем математику в основное русло так, чтобы она стала всеобщим достоянием и заняла соответствующее ей место в качестве домини­ рующей силы в нашем обществе». Из откликов на эту статью отметим [238), Об опасности изоляции математики от жизни см. также [152, 328, 371, 388, 474, 488, 546]. На ущербе, который понесли как математика, так и физика из-за их недостаточного взаимодействия, подробно останавливается Ф. Дай­ сон [109]. (См, также [528].)

28 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

переведена на математический язык. Хуже то, что во многих случаях утверждение о решении имеет чисто экзистенциальный характер, т. е. доказывается теорема о существовании решения, но в этой тео­ реме ничего не говорится о том, как это решение может быть точно или приближенно найдено. Хотя иногда конструкцию решения мож­ но извлечь из доказательства теоремы, но часто это сделать не уда­ ется (причины этого обсуждаются в § 2), так что прикладник ока­ зывается как бы в положении радиста спасательной службы, кото­ рый принял сообщение с терпящего бедствие судна, но не смог рас­ слышать его координат и потому не знает, куда направить помощь и даже возможна ли она. По меткому выражению Г. Вейля, «матема­ тика представляется колоссальным богатством в бумажной валюте» [66, с. 106]. Во многих случаях конструкцией считается результат осуществления того или иного бесконечного процесса без анализа его конечной аппроксимации. Если приближенная формула для решения и сопровождается оценкой погрешности, то, за исключени­ ем самых простых или специально подобранных примеров учебного характера, такую оценку, как правило, не удается эффективно применить в реальном конкретном случае (тем более, что подавляю­ щее большинство оценок имеет асимптотический характер и включает неизвестные постоянные множители).

Жесткие нормы строгости современной теоретической математики способствовали нежелательной задержке исследования математи­ ческих понятий, первоначально не удовлетворявших этим нормам, таких, как дельта-функция, энтропия и т. п.

Все эти обстоятельства привели к тому, что в подавляющем боль­ шинстве прикладных исследований математические рассуждения отнюдь не находятся на чисто дедуктивном уровне, который требует чистая математика; они не могут находиться и, как мы будем об этом подробно говорить ниже, не должны находиться на этом уровне. Можно сказать, что развитие дедуктивных построений не успевает за ритмом современной жизни *), в процессе приближения к истине

*) «Если бы науку с самого начала развивали такие строгие и тонкие умы, какими обладают некоторые современные математики, которых я очень уважаю, то точность не позволила бы двигаться вперед»,— сказал Л. И. Ман­ дельштам [197, с. 51]. С этим перекликаются высказывания П. Л. Капицы [277, с. 30]: «Острое логическое мышление, свойственное математикам, при постулировании новых основ скорее мешает, поскольку оно сковывает вооб­ ражение» и В. В. Новожилова [247, с. 252]: «Требование «всей» математиче­ ской строгости в инженерных теориях и расчетах было бы равносильно не только полной остановке технического прогресса, но и объявлению незакон­ ными почти всех уже завоеванных достижений, поскольку подавляющее их большинство основывается на недостаточно строгих математических рассуж­ дениях». О том же говорит В. П. Маслов («Правда» от 9 июня 1987 г.): «Если бы математику с самого начала поставили «над» физикой, то многие физические теории, основанные на интуиции, эксперименте и аналогии, были бы забракованы на корню как математически некорректные». (Говоря о необхо­ димости интенсивного развития имитационного моделирования, он предосте­ регает против опасности централизации деятельности в этой области, «осо­ бенно если привлечь к руководству математиков, поскольку мы (математи­

они, как правило, имеют столь низкий коэффициент полезного дей­ ствия, что прикладники стихийно выработали значительно более эффективный способ математических рассуждений и даже свой спе­ цифический язык, к которому относятся термины «практическая сходимость», «качество вычислительного метода», «качество мате­ матической модели» и т. д. Приемы рассуждений на «физическом», «прикладном» уровне строгости для прикладников различных на­ правлений довольно схожи. Эти приемы и характеризуют стиль рассуждений прикладной математики; он столь же распространен среди прикладников, как дедуктивный стиль среди чистых матема­ тиков. Именно это и имелось в виду выше, когда говорилось о «двое­ властии» *).

В век всеобщей математизации и распространения ЭВМ приклад­ ная математика обогатилась новыми чертами, среди которых мы от­ метим следующие:

а) Значительное усиление делового характера. Гораздо шире, чем это бывало раньше, строятся и развиваются идеи, понятия, ме­ тоды, которые служат не просто математическими украшениями при­ кладного исследования, а действенными средствами для правильного понимания реального явления и получения важного в прикладном отношении количественного или качественного вывода.

б) Алгоритмизация. Вопрос «Как наилучшим образом довести решение до практически приемлемого результата?» становится постоянным спутником прикладного математического исследования. С влиянием этой тенденции, а также идей теории автоматического управления связано широкое распространение блок-схем.

в) Повышение роли общих математических структур, связан­ ных с такими понятиями, как линейное пространство, итерации, метод возмущений, устойчивость и т. д.

г) Анализ математических моделей. Модели применяются значи­ тельно менее догматично, чем раньше; уделяется постоянное внима­

ки — Авт), естественно, оцениваем работу с чисто математических позиций, а это неизбежно приводит к консерватизму».) В наиболее афористичной форме эту мысль высказали А. Эйнштейн (цит. по [174, с. 90)): «Если не грешить против разума, нельзя вообще ни к чему прийти» и П. Эренфест (цит. по (534)): «Последовательность всегда ведет к дьяволу».

Вспоминается шутливый рассказ о воздухоплавателях, которые на воз­ душном шаре попали в туман и потеряли ориентировку. Пролетая на неболь­ шой высоте мимо какого-то человека, они крикнули ему: «Где мы?». Тот, подумав, крикнул им вслед: «Вы на воздушном шаре!». Через некоторое время один воздухоплаватель сказал другому: «По трем причинам можно заклю­ чить, что это был математик. Во-первых, он ответил, лишь подумав. Во-вто­ рых, его ответ был совершенно точен. И, в-третьих, из этого ответа нельзя извлечь никакой пользы...». Авторы думают, что это был ч и с т ы й мате­ матик!

*) По поводу соотношений и взаимосвязей между математикой и дру­ гими дисциплинами в настоящее время, а также о перспективах развития математики см. [13, 36, 46, 75, 76, 148, 152, 163, 170, 173, 199, 200, 202, 208, 236, 264, 296, 316, 331, 334, 335, 356, 360, 372, 375, 396, 397, 404, 405, 413, 426, 450, 460, 461, 464, 510, 511, 524, 531).

ние изучению их адекватности реальным ситуациям, а также их практичности. Построение новых математических моделей входит в повседневную практику инженера-исследователя.

д) «Гуманитаризация», т. е. применение методов рассуждения, которые ранее были свойственны лишь гуманитарным наукам [101, с. 1061: «вербальный (словесный) способ построения исследова­ ния; широкое применение аналогий, убедительных рассуждений; пользование терминами, точное значение которых не формулируется; полемика, научный спор; апелляция к чувству, к воображению». И. Грекова подробно останавливается на этой черте в статье, из ко­ торой мы приведем еще две цитаты [101, с. 107 и 114]:

«Математика не только проникает в ранее чуждые для нее области, «завоевывает» их; она при этом и сама трансформируется, становится менее формальной, менее ригористичной, меняет свои методологические черты, в какой-то мере приближаясь к наукам гуманитарным...

Современная прикладная математика — наука особого рода, стоящая на грани между точными, гуманитарными и опытными науками, смело при­ меняющая методы и приемы, выработанные в каждой из этих групп наук, если они оказываются эффективными. Только такой она и может быть, если ее задача не созерцание отвлеченностей, а активное вмешательство в жизнь».

е) Усиление роли вероятностных концепций, которые широко проникают во многие прикладные исследования, а в ряде случаев (при обработке эксперимента, при контроле качества продукции и т. п.) становятся доминирующими. Создаются целые прикладные математические дисциплины, примыкающие к теории вероятностей и математической статистике,— такие, например, как теория массо­ вого обслуживания или теория надежности.

ж) Распространение идеи оптимальности, которая проникает сейчас в самые разнообразные области приложений.

з) Значительное развитие и широкое применение идей и методов дискретной математики.

Прикладные тенденции значительно повлияли и на теоретическое направление. В частности, именно этим объясняется пристальное внимание к проблемам алгоритмизации, а также оптимизации, ха­ рактерное для всей современной математики и накладывающее заметный отпечаток на многие ее области. (См. [386].)

Приведем в заключение яркую характеристику развития мате­ матики, начиная с эпохи Возрождения, содержащуюся во введении к книге Р. Куранта и Г. Роббинса [179].

«После периода медленного накопления сил — с возникновением в XVII веке аналитической геометрии и дифференциального и интегрального ис­ числений — открылась бурная революционная фаза в развитии математики и физики. В XVII и XVIII вв. греческий идеал аксиоматической кристалли­ зации и систематической дедукции потускнел и утерял свое влияние, хотя античная геометрия продолжала высоко расцениваться. Логически безу­ пречное мышление, отправляющееся от отчетливых определений и «очевид­ ных», взаимно не противоречащих аксиом, перестало импонировать новым пионерам математического знания. Предавшись подлинной оргии интуи­ тивных догадок, перемешивая неоспоримые заключения с бессмысленными