книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики

газета (карандаш, шляпа) вследствие вибраций всей конструкции медленно ползет в какую-то сторону. Другой типичный случай пред­ ставлен на рис. 22. Здесь груз, лежащий на неподвижной пло­ скости, связан с неподвижным упором посредством пружины, которая в положении равновесия груза недеформирована (рис. 22, а). На груз параллельно плоскости действует постоянная сила Р, меньшая предельной силы сухого трения. Если сообщить плоскости вертикальные колебания достаточной интенсивности, то сухое трение будет действовать подобно вязкому, и груз будет колебаться около нового положения относительного равновесия, для которого сила упругости пружины равна приложенной силе Р (рис. 22, б).

Вописанных случаях удается получить точное решение задачи

одвижении груза по шероховатой вибрирующей плоскости в виде

я= К(<)/+♦(/, со/)=Х(/)+ф(/, <*>*),

где V (/) — медленно хменякмцаяся функция времени (или постоян­ ная), зависящая от параметров колебаний, аф(£, Ш) — быстро из­ меняющаяся периодическая составляющая периода 2я/со; при этом величина V играет роль средней скорости движения. Простые вы­ кладки позволяют заключить, что в этих случаях уравнения мед­ ленных движений могут быть записаны соответственно в форме

а) m X ^ W b - k X ,

где в случае a) W=W<,—kX и в случае б) W = —f{X) — вибрацион­ ные силы, зависящие от частоты, амплитуды и характера вибрации плоскости, а с — коэффициент жесткости пружины, которая пред­

полагается такой, что ю0 = Vс/т ю. Из уравнений (43) видно, что в условиях рис. 21 установившимся состоянием груза является

его движение с постоянной средней скоростью X —WJk, г в усло­ виях рис. 22, б — равновесие по медленно меняющейся координате в точке Х=Р/'с.

Пример рис. 21 служит простейшей моделью процессов вибра­ ционного перемещения — возникновения направленного в «среднем» движения под влиянием ненаправленных в среднем воздействий. Эти процессы широко используются в технике (42, 74]; они встре­ чаются и в природе. Почти все такие процессы (вибрационное по­ гружение свай, разделение сыпучих смесей, своеобразное поведение сыпучей среды в сообщающихся вибрирующих сосудах, полет птиц, плавание живых организмов и т. п.) можно объяснить в рам­ ках концепции о медленных вибрационных силах [37].

Из других механических систем, на которые вибрация оказывает существенное влияние, укажем на гироскоп с вибрирующим основа­ нием. А. Ю. Ишлинский показал (см., например, 1134]), что эта виб­ рация может при наличии упругой податливости элементов подвеса и некоторых других неидеальностей приводить к весьма нежела­

тельному отклонению его оси от фиксированного направления. Здесь формула для медленного вибрационного момента непосредст­ венно получается по методу осреднения, а из нее вытекает выраже­ ние для средней угловой скорости возникающей прецессии. Отме­ тим, в частности, что направление этой прецессии оказывается зави­

сящим от знака разности ю— V с а1т, где ь» — частота вибрации, т — масса ротора гироскопа, с0 — жесткость элементов подвеса; замечательно, что этот исключительно просто и наглядно получен­ ный результат соответствует экспериментальным наблюдениям.

4. Кажущееся изменение механических свойств тел под действием вибрации. Виброредлогия. Для последних лет характерно интенсив­ ное накопление фактов и результатов, относящихся к действию виб­ рации на различные сложные среды — неоднородные твердые тела, сыпучие тела, полимерные материалы, бетонные смеси, суспензии, пульпы и т. п. При этом наибольший принципиальный и приклад­ ной интерес представляют случаи, когда под действием вибрации поведение системы резко изменяется.

Речь идет, разумеется, о кажущемся изменении макроскопиче­ ских свойств материалов по отношению к медленным воздействиям; характер этих изменений, как и выше, может быть объяснен появле­ нием соответствующих вибрационных сил в уравнениях, описываю­ щих поведение среды в медленных (основных) компонентах опреде­ ляющих переменных (т. е. для «наблюдателя в грубых очках»); уравнения в исходных переменных справедливы (конечно, в извест­ ных пределах) независимо от темпов изменения этих переменных.

Раздел механики, в котором изучается изменение под влиянием вибрации реологических свойств тел по отношению к медленным силам, можно назвать виброреологией [37, 411, а соответствующие уравнения в медленных определяющих переменных — виброреологическими уравнениями.

Классическим примером виброреологических уравнений явля­ ются уравнения Рейнольдса в теории турбулентности. Как извест­ но, изотермическое движение вязкой несжимаемой жидкости при отсутствии объемных сил описывается уравнениями (см., например,

u ^ U + u \ р = Р + р \

где (J и Р — медленные, а и' и р' — быстрые пульсационные состав­ ляющие. Посредством осреднения уравнений (44) Рейнольдс полу­

чил уравнения для медленных (основных) составляющих:

ТВГ ■+ Р (U- V) - \ Р + \ i r U - w , v • (7 = 0. (45)

Эти уравнения отличаются от обычных уравнений гидромехани­ ки (44) наличием в правой части слагаемого

Т

о

называемого вектором турбулентных напряжений. Таким образом» первое уравнение (45) является типичным уравнением вида (37)* а вектор турбулентных напряжений, согласно нашей терминологии* представляет собой вибрационную силу. Аналитическое определе­ ние этой силы, т. е. нахождение ее зависимости от U и Р , связано в данном случае со значительными трудностями. Однако уравнения (45) можно рассматривать как уравнения движения некоторой но­ вой, отличной от исходной, жидкости, имеющей иные физические свойства.

Особенность рассматриваемого случая состоит в том, что колеба­ ния, носящие ярко выраженный стохастический характер, не обус­ ловлены действием внешних возмущающих сил, а возникают в самой автономной системе.

Другим примером виброреологического подхода является модель пове­ дения слоя сыпучей среды в вибрирующих лотках и сосудах. Такая модель представляет существенный интерес для уже упоминавшихся задач вибра­ ционной технологии.

В литературе можно часто встретить положение о том, что под действием вибрации сыпучая среда становится текучей подобно вязкой жидкости. Вместе с тем ряд примечательных эффектов, широко используемых в тех­ нике, не получает объяснения в рамках этого положения. Так, например, слой сыпучего материала может транспортироваться горизонтально или вверх по вибрирующей плоскости или лотку подобно тому, как это проис­ ходит с грузом в виде цельного твердого тела в условиях рассмотренного выше примера 3 (рис. 21). Аномально, по сравнению с жидкостью, ведет себя сыпучая среда и в сообщающихся вибрирующих сосудах: как правило, в них устанавливаются различные уровни; сыпучая среда, помещенная в виб­ рирующий лоток, который по ходу ее транспортирования ограничен бунке­ ром, может заполнить этот бункер, поднимаясь снизу вверх (это так назы­ ваемый эффект вибробункеризации).

Рассмотрение системы, изображенной на рис. 21, а также ряда других

и сосудах можно описать, считая среду вязкой жидкостью, но вместо обыч­ ных условий прилипания к стенкам задавать касательные напряжения, представляющие собой соответствующим образом найденные вибрационные силы (41]. Таким путем удается объяснить и описать все перечисленные выше эффекты. Естественно, что жидкость, моделирующая сыпучую среду, при этом не обязательно должна предполагаться ньютоновской; ее реологиче­ ские характеристики должны зависеть от параметров вибрации. В ряде за­ дач, в частности, при рассмотрении медленных («конвекционных») потоков, возникающих в сосудах под действием вибрации, может оказаться необхо­

Приведенные примеры, число которых можно было бы значительно увеличить, свидетельствуют об эффективности изложенного подхода к боль­ шому кругу задач о действии вибрации в нелинейных механических системах. Своеобразие этих задач дает основание для выделения данного подхода под названием вибрационная механика, понимая под таковой механику, которая описывает медленные движения, возникающие при действии вибрации в нели­ нейных механических системах, т. е. механику систем со скрытыми быстрыми движениями. Можно сказать также, что вибрационная механика — это ме­ ханика, которой должен руководствоваться наблюдатель, не замечающий быстрые движения и быстрые силы, т. е. смотрящий на систему как бы через уже упоминавшиеся очки, сквозь которые видны только медленные движения и медленные силы. Такой наблюдатель, конечно, «необъективен», однако его видение процессов, протекающих под действием вибрации, совпадает с точ­ кой зрения конструктора или технолога, для которых часто не имеют особого значения быстрые движения, а важен лишь осредненный эффект, общая тенденция в поведении системы. Более того, длй создателей новых вибраци­ онных процессов и устройств принятие позиции указанного «необъективного» наблюдателя представляет удобный способ мышления — методический под­ ход, позволяющий как бы обойти, отменить препятствующие достижению цели законы механики и получить неожиданные полезные эффекты *).

Рассмотрим теперь весьма существенный вопрос об алгоритме перехода от исходной математической модели (36) к огрубленной модели (37) в основ­ ных переменных, или, что то же самое, вопрос о нахождении вибрационных сил W. Этот переход осуществлялся рядом исследователей как с помощью метода малого параметра Пуанкаре — Ляпунова и других асимптотических методов, так и посредством рациональных приемов. Здесь мы воспользуемся иным, в ряде случаев более простым путем, причем одновременно будет установлена возможность перехода к уравнениям типа (37) в общем случае разделимости движений [37, 74].

Излагаемый подход включает два этапа. Вначале в духе механики систем со скрытыми движениями производится преобразование исходной системы (36) к системе относительно переменных X и ф с некоторыми допол­ нительными соотношениями; затем полученная система решается прибли­ женно.

Для реализации первого этапа подставим в уравнение (36) выражение

Потребуем теперь выполнения следующего равенства в получившемся соот­ ношении:

где осреднение производится по быстрому времени т, входящему как непо­ средственно, так и через посредство функции ф. Тогда должно выполняться также уравнение

Довод в пользу именно такого «расщепления» исходного уравнения будет ясен из дальнейшего. Пока же отметим, что если найдено какое-нибудь

*) Отметим, что временное игнорирование в процессе изобретательской деятельности физических законов — так называемая фантастическая анало­ гия'у предложенная У. Гордоном,— оказалась весьма эффективным методи­ ческим приемом [114].

подставляя в (48) любую функцию ф (/, т), мы приходим к уравнению вида

системы х —ЛГ+ф- В соответствии с этим можно различать собственно вибра­ ционную силу W^s)—— (Ф) и индуцированную вибрационную, силу ЦЛ*>=

- - ( Л ) .

Решение системы уравнений (47), (48) в общем случае ничуть не проще, чем решение исходного уравнения (36). Однако если учесть основное пред­ положение о темпах изменения функций X и ф, то представляется естест­ венным следующий прием приближенного решения|этой системы (этап второй).

Вначале решается уравнение (47), причем величины ЛГ, X и /, изменение которых за период быстрого движения 2л/<о относительно мало, в процессе решения рассматриваются как «замороженные» величины, т. е. постоянные. Допустим, что это уравнение действительно допускает при «замороженных»

для этого достаточно почленно проинтегрировать уравнение (47) по со/. Вы­ полняется обычно в реальных задачах и условие асимптотической устойчи­

вости решения. Подставив найденное решение ф=ф(ЛГ, Ху /, со/) в правую часть уравнения (48), мы приходим к уравнению типа (37) для определения медленной составляющей X ; теперь, однако, это уравнение лишь прибли­ женное.

Описанный приближенный прием решения системы (47), (48) допускает обоснование в духе асимптотических методов. А именно, посредством вве­ дения малого параметра J L=I 1/ о> и простого преобразования уравнений их можно привести к системе уравнений с многомерными быстрыми и медленными движениями, для которых В. М. Волосовым была разработана специальная схема осреднения [79]. Уравнение (37), полученное описанным выше образом, отвечает первому приближению упомянутой схемы осреднения. Тем самым решается и вопрос о вычислении последующих приближений для функций ф и ЛГ (см. также [219, 223]); впрочем, надобности в таком уточнении, как правило, не возникает.

Существенно, что функция ф входит в выражение для W под знаком интегрирования. Это позволяет ограничиться приближенным определением функции ф из уравнения (47), например, в виде суммы небольшого числа гармоник или небольшого числа членов ряда по степеням малого параметра.

Часто можно считать, что ф мало по сравнению с ЛГ (ЛГ мало по сравнению с ф в силу исходного предположения). Во многих случаях допустимо учиты­

вать лишь линейные члены в разложении функции Fi по степеням ф и ф , положив, согласно (46),

вибрационная сила отсутствует. С другой стороны, при отсутствии в исход­ ном уравнении (36) быстрой силы Ф вибрационная сила может быть отличной

от нуля за счет своей индуцированной составляющей; такая ситуация харак­ терна для случая быстрых автоколебаний в систамах с медленными силами.

Составив уравнение (37), можно осуществить апостериорную проверку исходного допущения о разделимости движений. Такая проверка всегда необходима, поскольку движения, описываемые этим уравнением, могут ока­ заться быстрыми, несмотря на то, что движения, описываемые тем же урав­ нением, при lif e 0 являются медленными.

В качестве примера использования изложенного способа перехода к уравнениям медленных (основных) движений рассмотрим вновь задачу о маятнике с вибрирующей точкой подвеса. Уравнения (47) и (48) в данном случае имеют вид

/ф + £ 1р = — mgl {sin (a+ip) —<sln (a + ij>)>]-f-

+mlA&3 [sto Ш sin (a+ip) — <$in Ш sin (а+ф )>],

l a + ka + mgl sin a = — mgl <sin (a -f- ip)— sin a> + mlAm2 <sln Ш sin (a + ф)>. (50)

Первое из них есть уравнение быстрых движений; при его решении надо считать угол а (медленную переменную) постоянным. Предполагая к тому же малым угол ф, а также параметры mlA ll , kl(l о>) и отношение частоты сво­

бодных колебаний маятника щ — V^mgl/l к © (последнее как раз отвечает предположению о медленности изменения а по сравнению с ip), получим,

ограничиваясь членами первого порядка малости, ф = — (mgAtl) sin a sin mt. Подставив это выражение в уравнение (50) и выполнив после линеаризации по ip операцию осреднения, придем к уравнению (39).

Более полное изложение метода прямого разделения движений и ряд примеров его использования можно найти в работе [37]. Этот метод можно рассматривать как обобщение и развитие эвристического приема, использо­ ванного П. Л. Капицей при решении задачи о движении маятника с вибри­ рующей точкой подвеса [139]. (П. Л. Капица ввел также понятие о вибрацион­ ном моменте.) В дальнейшем указанный прием и понятие о вибрационных силах использовались в работах [38, 156, 273] и других для исследования поведения различных систем под действием вибрации и для интерпретации результатов. Отдельные элементы данного подхода можно проследить и в работах, предшествовавших статье П. Л. Капицы,— в уже упоминавшихся исследованиях по теории турбулентности, а также нелинейной акустике, радиоэлектронике и в предложенном позднее эффективном методе исследо­ вания нелинейных систем — методе гармонической линеаризации.

Еще раз подчеркнем, что практическое применение метода прямого разделения движений неизбежно содержит ряд рациональных элементов — начиная от гипотезы о разделимости движений и кончая использованием приближенного решения. Формализация, связанная с возможностью вве­ дения малого параметра и с использованием асимптотических методов, по существу мало что изменяет по причинам, которые были подробно обсуждены в § 2—3.

Изложенный способ приближенного решения систем уравнений (47) и (48) является лишь одним из путей получения выражений для вибрационных сил, т. е. перехода к грубой модели (37). Можно указать еще два, в известном смысле полярно противоположных спо­ соба, по отношению к которым рассмотренный выше способ занимает промежуточное положение.

Первый способ относится к редкому, но все же встречающемуся случаю, когда известно точное или приближенное решение уравне­ ния исходной модели (36), имеющее вид (34). Тогда вычисление силы W сводится к осреднению согласно формуле (49). Полученное

выражение для W может быть использовано при решении близких более сложных задач.

Другой способ, который можно называть феноменологическим, относится к противоположному случаю, когда задача столь сложна, что ни исходное уравнение (34), ни уравнение (47) для определения быстрой составляющей ф решить (а иногда даже и составить!) не представляется возможным. Тогда прибегают к гипотезам о виде

функции W (X , X, t), основанным преимущественно на эксперимен­ тальных данных. Примерами такого подхода являются так называе­ мые полуэмпирические теории турбулентности 1194], первые работы по теории вибропогружения свай (251 (в которых грунт под действи­ ем вибрации рассматривался как жидкость с коэффициентом вяз­ кости, зависящим от параметров вибрации), а также работы по виброползучести.

Такие исследования являются, несомненно, полезными, по край­ ней мере до тех пор, пока проблема не будет разработана более обстоятельно.

Весьма примечателен случай, когда вибрационные силы Ws= = WS ( X) оказываются потенциальными, т. е. существует такая функция D=D (X), называемая потенциальной функцией, что

Г < = Ж 7 <s “ ' ..........*>

(k — размерность вектора X). Системы, для которых существует функция D, названы потенциальными в среднем динамическими системами (39, 41]. Существенно, что исходная («обычная» механи­ ческая) система (35) может быть существенно неконсервативной, а система (36), описывающая медленные движения («вибромеханическая» система),— обладать потенциальной функцией.

Для потенциальных в среднем систем справедливы теоремы об устойчивости движения, вполне аналогичные классической теореме Лагранжа—Дирихле об устойчивости положений равновесия: точ­ кам минимума функции D отвечают устойчивые движения соответ­ ствующих систем. Такие экстремальные признаки устойчивости были доказаны для ряда квазиконсервативных систем, для задач о синхронизации вращающихся тел, а также для систем с кинема­ тическим и динамическим возбуждением колебаний [38, 186, 267, 304]. Существенно, что при этом функция D имеет четкий физи­ ческий смысл: обычно ее основную часть представляет среднее значение функции Лагранжа системы или ее частей, взятое, в за­ висимости от характера системы, со знаком плюс или минус.

Значение экстремальных признаков устойчивости состоит в том, что с их помощью, во-первых, удалось доказать ряд важных общих положений качественного характера, а во-вторых, получить наглядный и простой способ анализа устойчивости ряда конкретных систем. В частности, экстремальный признак устойчивости син­ хронных движений позволил установить в общем виде тенденцию

к синхронизации в системах вращающихся тел (в том числе для орбитальных движений небесных тел), обосновать обобщенный принцип автобалансировки неуравновешенных тел, получить ус­ ловия устойчивости синхронных движений механических вибровоз­ будителей, используемые при создании новых вибрационных ма­ шин [38, 39, 41].

Взаключение заметим, что подобно тому, как выше говорилось

оразделении движений, в случае пространственных координат иногда оказывается возможным осуществить разделение измерений. Именно, пусть характерные размеры тела (или некоторой его мыс­ ленно выделенной части) в каком-либо измерении существенно меньше, чем в остальных. Тогда можно, выбрав сначала мелкий основной масштаб, изучить структуру тела в указанном измерении, приняв характеристики тела в остальных измерениях за параметры; после этого можно учесгь эту структуру интегральными характе­ ристиками и, выбрав крупный основной масштаб, рассмотреть картину в остальных измерениях. Такое разделение измерений проводится, в частности, в теории пограничного слоя.

11.О контроле модели. Вопрос о методах проверки адекватности модели в целом достаточно сложен, и мы не будем им здесь под­ робно заниматься. Мы выскажем только несколько простых сооб­ ражений, которые помогают предотвратить грубые ошибки в на­ чальной стадии построения модели; впрочем, некоторые сообра­ жения по этому поводу были изложены в предыдущих пунктах.

Ранее мы говорили о том, что полезно начинать с самых грубых моделей и прикидок. Понимание того, что происходит в изучаемой системе, какие факторы оказывают существенное влияние на инте­ ресующие нас характеристики, может помочь создать достаточно полную модель и избежать чрезмерного ее усложнения; это понима­ ние может существенно сказаться на выборе типа модели и набора переменных, которые должны привести к удовлетворительному от­ вету на интересующий нас вопрос по возможности более прямым путем.

Одним из важнейших является вопрос о выборе законов и гипо­ тез, полагаемых в основу модели. Мы здесь не будем входить в под­ робности по этому поводу (см. п. 4.6), укажем только еще раз на опасности, связанные с привлечением искусственных и трудно про­ веряемых гипотез *).

Однако допустим, что этот вопрос некоторым образом решен и можно перейти к выписыванию соотношений, связывающих участ­ вующие в исследуемом явлении величйны. При этом обычно соблю­ даются определенные хорошо известные правила сопровождающего самоконтроля; некоторые из них мы здесь напомним.

*) «Наилучшие гипотезы — это простые гипотезы, которые легко под­ твердить экспериментально, если они верны, и легко опровергнуть с помощью надлежащим образом подобранных решающих экспериментов или наблюде­ ний, если они неверны» (Н. Бейли [30, с. 59]).

Контроль размерностей состоит в применении примитивного правила, согласно которому приравниваться и складываться могут только величины одинаковой размерности. Им пользуются по воз­ можности чаще, не только на окончательной, но и на промежуточ­ ных стадиях вывода соотношений. При переходе к вычислениям он сочетается с контролем системы единиц.

Контроль порядков состоит в грубой оценке (прикидке) срав­ нительных порядков складываемых друг с другом величин, чтобы выделить основные слагаемые и уточняющие (в смысле п. 4.8) чле­ ны, а явно малозначительные слагаемые отбросить. Пусть, напри­ мер, мы пришли к соотношению вида

причем путем прикидки установлено, что |с|<^а, а тем самым и jc|<^fr. Тогда от (51) можно перейти к приближенному соотношению

а—Ь—0. (52)

Допустим, что последнее соотношение имеет следующие свой­ ства:

1) оно нетривиально относительно интересующей нас харак­ теристики, т. е. из него можно сделать качественные и (или) ко­ личественные выводы по поводу этой характеристики;

2) оно устойчиво относительно этой характеристики, т. е. малое изменение уравнения приводит к сохранению качественных и малому изменению количественных выводов.

Тогда из (52) можно сделать правильные качественные и при­ ближенно правильные количественные выводы по поводу интере­ сующей нас характеристики, если поправка с является «малой» в смысле устойчивости; последний вопрос решается на рациональном уровне. При этом уравнение (51) может быть использовано для уточнения количественных выводов.

Возможны также особые случаи, для которых выполняется только свойство 1), но не 2); тогда уравнение (52) недостаточно для необходимых выводов. Однако если разработан способ, посредством которого возможно, отправляясь от уравнения (52) и учитывая теперь уже принципиально существенное слагаемое с, сделать качественные и количественные выводы относительно интересую­ щей нас характеристики, то исследование может быть доведено до конца.

Примеры таких особых случаев имеются в п. 4.8.

К этим способам контроля относится также контроль порядка поправочных членов, появляющихся при замене одних функцио­ нальных зависимостей другими (например при линеаризации функ­ ций), одних геометрических форм другими и т. д. Далеко не всегда можно предвидеть, как скажется такая замена на изучаемой ха­ рактеристике; поэтому возможность этой замены часто остается более или менее правдоподобной рабочей гипотезой.

190 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

Контроль характера зависимостей. Здесь речь идет о проверке направления и скорости изменения одних величин при изменении других: эти направление и скорость, вытекающие из выписываемых соотношений, должны быть такими, как это следует непосредст­ венно из смысла задачи. Пусть, например, мы вывели соотношение вида d = a 86—с (a, b, с > 0 ) . Тогда с ростом а и &значение d должно возрастать, а с ростом с — убывать; кроме того, с увеличением а и b скорость роста d (а) увеличивается и т. д. Сравнение этих ка­ чественных выводов с тем, что вытекает из «физического» смысла изучаемой задачи, служит добавочным средством контроля пра­ вильности выведенного соотношения.

Контроль экстремальных ситуаций. Всегда оказывается чрез­ вычайно полезным проследить за тем, какой вид принимают как исходные, так и промежуточные соотношения, а также выводы из исследования модели, если параметры модели или их примечатель­ ные комбинации приближаются к крайним допустимым для них значениям — чаще всего к нулю или к бесконечности. В таких эк­ стремальных ситуациях задача часто упрощается или вырожда­ ется, так что соотношения приобретают более наглядный смысл и могут быть проверены, если, как это часто бывает, соответствующие им решения можно получить независимо от анализа общего случая или они заранее известны. Хотя предельные переходы в решениях задач механики описываются на языке математики, однако за каж­ дым таким переходом можно видеть не только «игру» величин, но и некоторое умозрительное преобразование физических образов: за устремлением некоторой величины к нулю (или бесконечности) может скрываться, скажем, переход от вязкоупругой системы к чисто упругой, от упругой опоры — к абсолютно жесткой, от стерж­ ня с криволинейной осью — к стержню с прямой осью, от пластины, имеющей форму правильного л-угольника,— к круглой пластине и т. п. Поэтому, обсуждая решения механических задач, можно говорить не только о предельных значениях некоторых величин, но и о предельных механических образах, а вырожденную механи­ ческую систему естественно трактовать как предел для соответствую­ щего общего случая.

Чаще всего предельные переходы вполне ясны по смыслу, в их результатах трудно усмотреть что-либо удивительное, и они пре­ красно выполняют свою контрольную функцию. Но бывает и поиному — переход к предельному случаю не приводит к заранее известным результатам, а обнаруживает нечто неожиданное и по­ началу трудно объяснимое. Пусть читатель не думает, что сказан­ ное содержит намек только на какие-то искусственно сконструи­ рованные случаи, не имеющие практического значения.

Вот простой пример. Для балки, показанной на рис. 23, а, согласно технической теории изгиба можно найти прогиб конца в виде

f — P l (I—в)4/ ( 3 E J ) .