книги / Математические методы принятия решений

Благодаря этому создают программы, позволяющие очень быстро решать задачи большой размерности.

Для задач о многопродуктовом потоке были разработаны специ­ альные алгоритмы, в которых учтены специфика структуры и свой­ ства данного класса задач. Было показано, что эти алгоритмы яв­ ляются более быстрыми, чем процедуры решения общей задачи ЛП, но значительно более медленными, чем соответствующие алго­ ритмы задач об однопродуктовом потоке. Детальное изучение этих методов выходит за рамки настоящей книги. Однако в данной главе мы рассмотрим ряд специальных вопросов, связанных с задачами о многопродуктовом потоке и методами их решения.

§5.4. Специальный класс целочисленных задач

омногопродуктовом потоке

Как отмечалось выше, общая задача о многопродуктовом пото­ ке может не иметь целочисленного оптимального решения. Одна­ ко существует несколько классов этих задач, в которых матрицы ограничений являются унимодулярными, и, следовательно, цело­ численные оптимальные решения существуют. Отметим, что мно­ гие из этих задач могут быть сведены к эквивалентным задачам об однопродуктовом потоке, которые несложно решаются с помо­ щью любого алгоритма решения задачи о потоке минимальной сто­ имости.

Для многопродуктовой транспортной задачи известен следую­ щий результат. Матрица ограничений в многопродуктовой транс­ портной задаче является унимодулярной в том и только в том слу­ чае, когда число источников т или число стоков п не превосходит двух.

Этот результат гарантирует существование целочисленного оп­ тимального решения в случае, если т ^ 2 или п ^ 2, независимо от числа продуктов. Очевидно, что если т = 1 или п = 1, то реше­ ние тривиально. Однако, когда и т , и п превосходят 2, возникает общая задача линейного программирования. Покажем, что при этом существует более простой метод решения.

Введя слабые переменные в ограничения на пропускные спо­ собности дуг, переформулируем многопродуктовую транспортную

Величины, стоящие в правых частях равенств (5.4)-(5.6), пред­ ставляют собой предложение (если они положительные) и спрос (если отрицательные). Равенства (5.4)-(5.6) описывают транспорт­ ную модель, сетевая структура которой показана на рис. 5.4, где

п = £ « « - £ <*. j=1 к=1

Правые части равенств (5.7) и (5.8) представляют собой пропуск­ ные способности дуг, соответствующих переменным x\j и sij. Для решения данной задачи определяют оптимальные потоки Х у и 52j.

Затем из равенств (5.7) и (5.8) могут быть найдены величины **ц

И S \ j .

Рис. 5.4. Сеть в многопродуктовой транспортной задаче, сведенной к за­ даче об однопродуктовом потоке

Интересно то, что исходная задача линейного программирова­ ния не имела форму сетевой задачи. Однако с помощью преоб­ разования ограничений удалось свести ее к сетевой и тем самым существенно упростить решение.

§5.5. Приближенное решение многопродуктовой транспортной задачи методом агрегирования

Нередко для лица, принимающего решение, достаточно найти субоптимальные решения сложных задач. Как правило, это проис­ ходит в тех случаях, когда отсутствуют программы, позволяющие проводить точную оптимизацию, или когда использование таких программ требует слишком больших затрат вследствие циклическо­ го обращения к ним, или когда нет возможности усовершенство­ вать основное программное обеспечение из-за жестких ограниче­ ний на время ответа.

Одним из методов, позволяющих упростить решение задачи, яв­ ляется метод агрегирования, заключающийся в замене множества объектов (таких, как переменные, узлы сети и т. п.) одним объектом. В этом случае сокращаются как время решения задачи, так и требу­ емая машинная память. Однако полученное решение, как правило, не является оптимальным.

Будем рассматривать многопродуктовую транспортную задачу с т источниками, п стоками и г продуктами. Сведем ее к сетевой задаче с двумя источниками, разбив множество источников на два подмножества: S\ и S2. Теперь необходимо определить новые пред­ ложения агрегированных узлов, решить вопрос о стоимостях и про­ пускных способностях агрегированных дуг и найти способ постро­ ения допустимого решения исходной задачи с помощью решения агрегированной задачи.

Поскольку каждый из двух агрегированных узлов представля­ ет собой совокупность источников в исходной задаче, то величины предложения этих двух узлов âf определяют следующим образом:

a? = 2 « i fc, * = 1.2, ieSi

где а* — предложение к-го продукта из г-го узла исходной задачи. Пусть уц — поток fc-ro продукта из узла I в узел j агрегирован­ ной сети. Поскольку дуга (/, j) получена в результате агрегирования

дуг, ведущих из узлов г е Si в сток j, то

V ij = Е 4 ’

ieSi

где аф _ поток к-го продукта из узла г в узел j исходной задачи.

Для определения стоимостей воспользуемся понятием взвешен­ ного агрегирования. Стоимости взвешивают пропорционально ве­ личинам предложения источников, представленных агрегированными узлами:

Чтобы определить пропускные способности иц агрегированных дуг, найдем величины

Если принять йij как сумму пропускных способностей исход­ ных дуг Uij из источников i e S i в сток j, то могут возникнуть трудности при построении допустимого решения исходной задачи.

Сформулируем агрегированную задачу в виде следующей зада­ чи линейного программирования:

k=11=1j =1

при условии, что для всех I, г, к выполнено

Е Л - * X Уh = ai ’ 2 Vij ^

зк

Теперь построим решение исходной задачи, используя опти­ мальное решение агрегированной задачи. Определим величины

откуда следует, что

Эту процедуру называют дезагрегированием с фиксированными весами. Кроме того,

Иными словами, значение целевой функции в результате дез­ агрегирования с фиксированными весами не изменяется. Однако

следует помнить, что в силу определения величин Sy в агрегиро­ ванной задаче может не существовать допустимое решение, даже если в исходной задаче оно существует. В этом случае можно по­ пытаться воспользоваться другими методами агрегирования.

Продемонстрируем процедуру агрегирования на конкретном примере. Перейдем к решению задачи о транспортировке фруктов, сформулированной в § 5.3. Агрегируем источники 2 и 3. Величины предложения, стоимости и пропускные способности для агрегиро­ ванной задачи содержатся в табл. 5.8.

1 Сакраменто

Стоимость в оптимальном решении исходной задачи равна 18570 долл. Стоимость в оптимальном решении агрегированной задачи равна 18 799,10 долл, и на 0,26% превосходит стоимость действительного оптимального решения.

§ 5.6. Приложения задач о многопродуктовом потоке

Задачи о многопродуктовом потоке находят широкое приме­ нение при проектировании коммуникационных систем, осуществ­ лении железнодорожных перевозок, планировании производства и распределения, в военном деле, а также в других областях. В на­ стоящем параграфе мы рассмотрим несколько приложений много­ продуктовых сетевых моделей и приведем новые формулировки некоторых задач о многопродуктовом потоке.

Составление расписания движения судов

Одной из наиболее часто возникающих задач в области пла­ нирования перевозок является задача составления оптимального расписания движения транспортных средств. Предположим, что известно число судов различных типов, которые отличаются друг от друга скоростью передвижения, грузоподъемностью и эксплуа­ тационными расходами. Функция полезности определяется разме­ рами поставки груза отдельным судном к заданному сроку и затра­ тами на осуществление соответствующей перевозки. Кроме того, существуют затраты (отрицательная полезность), связанные с пе­ регоном судна из порта, в котором оно было разгружено, в порт погрузки. Задача заключается в максимизации функции полезности путем составления оптимальных маршрутов и расписания движе­ ния судов.

Данная задача может быть сформулирована в виде следующей сетевой задачи. Каждый узел j сети соответствует прибытию судна в порт назначения в один из допустимых сроков доставки. Каждый узел i соответствует исходному порту и моменту, равному разно­ сти срока доставки и времени транспортировки, которое по пред­ положению является детерминированным. Дуга (i,j) соответству­ ет перевозке груза, а дуга (j, г) — перегону судна из порта достав­ ки в исходный порт. Суда fc-ro типа первоначально располагают

Источник Срок доставки

Рис. 5.5. Сеть в задаче составления расписания движения судов

Соответствующая сеть изображена на рис. 5.5. Отметим, что в рассмотренном классе задач узлы служат для обозначения места и времени.

Проектирование городской транспортной сети

Многопродуктовые сетевые модели используют и при проек­ тировании городских транспортных сетей. В этих моделях узлы соответствуют участкам или районам города, а дуги — улицам или дорогам других видов. Требования к транспортной сети задаются матрицей поездок D, элементы dÿ которой равны числу транс­ портных средств, движущихся из участка i к участку j в течение фиксированного интервала времени. Каждая дуга имеет заданную пропускную способность Uij, которая может быть увеличена (на­ пример, в результате улучшения дорог). Плата за увеличение про­ пускной способности дуги (г, j) на условную единицу равна Cÿ. Общая сумма денежных средств, предназначенных для улучшения дорог, равна В. «Продуктами» в данной модели являются потоки из каждого источника во все пункты назначения. Пусть ж^ — чис­ ло транспортных средств, движущихся по дуге (i,j) и начавших свой путь в узле к, и j/ÿ — увеличение пропускной способности ду­ ги (i , j ). Предположим, что время проезда по дуге (i,j) является некоторой функцией потока

Задача проектирования сети заключается в определении дуг, пропускную способность которых следует увеличить, и вычис­ лении потоков по каждой дуге, минимизирующих общее время

поездки. Математически данная задача формулируется следующим образом:

В задаче (5.14) сделано одно важное допущение, касающееся поведения водителя. Оно основано на классическом принципе рас­ пределения транспортных средств: водители выбирают маршруты таким образом, чтобы суммарное время поездок для всей системы было минимальным. Как правило, целевая функция задачи (5.14) является нелинейной и выпуклой.

Модели вычислительных систем

Многие модели вычислительных систем очень похожи на толь­ ко что рассмотренную нами модель городской транспортной сети. В этих моделях дуги соответствуют каналам, а узлы—терминалам, системным и запоминающим устройствам и т. п. Каждая дуга имеет фиксированную пропускную способность Uij, которая может быть увеличена на у*,- единиц вплоть до максимального значения bÿ. Сто­ имость увеличения пропускной способности на единицу измерения равна Cij. Роль продуктов вновь играют потоки (информация) из ис­ точника во все пункты назначения, а вместо матрицы поездок D вводят матрицу, элементы dÿ которой соответствуют объему ин­ формации, передаваемой из узла i в узел j. Стоимость передачи единицы информации по дуге (г, j) равна е^. Математически эта задача может быть сформулирована следующим образом:

222^4+22 CijVij min

k i j i j