книги / Математические методы принятия решений

менные пометки равны оо. Последним из постоянно помеченных узлов является узел 1 (единственный, иначе надо было взять узел

сминимальной пометкой).

Шаг 2. С узлом 1 непосредственно связаны узлы 2 ,..., 5. Им

припишем новые временные пометки, равные 82 = 0 + с\2 = 1450, 83 = 0 + ci3 = 2750, 84 = 0 + си = 3850, 85 = 0 + С15 = 4750 соответ­ ственно. Поскольку величина 82 минимальна из всех, то узлу 2 припишем постоянную пометку 82 = 1450.

Ш аг 3. Рассмотрим движение из узла 2; оставляем постоянные пометки 0 для узла 1 и 1450 для узла 2. Узлам 3, . . . , 6 , непосред­ ственно связанным с узлом 2 , припишем соответственно времен­ ные пометки 83 = ев = 2750, 84 = С14 = 3850, 85 = С15 = 4750, 8б = = ci6 = 6900, минимальные из возможных временных пометок при движении из узла 1 в узлы 3 ,...,б . Например,

83 = 82 + С2з = 1450 + 1700 = 3150 > 2750, 84 = 1450 + 3200 = 4650 > 3850,

Выбираем 83 = 2750, 84 = 3850,.. .Остальным узлам припишем временные пометки, равные оо.

Ш аг 4. Поскольку минимальное значение временных поме' ток 83, 84, 85, 8б равно 2750, узлу 3 припишем постоянную пометку 83 = 2750.

Дальнейшие шаги повторяем аналогично шагам 3 и 4. Результа­ ты вычислений сведем в табл. 3.2.

Обратим внимание на выбор временной пометки 8б на шаге 9 (см. табл. 3.2). Последняя постоянная пометка 85 = 4750 присвоена узлу 5, тогда для узла б временная пометка будет 8б = 85 + cs$ = = 4750 + 2075 = 6825 < 6900 (временная пометка &б на шаге 8). По­ этому на шаге 9 берут минимальное значение 8б = 6825.

Из решения задачи следует, что минимальные общие затраты на покупку и содержание автомобиля составляют за рассмотрен­ ный период 11 250 уел. ед. Кратчайшая цепь состоит из дуг, для каждой из которых разность между значениями постоянных по­ меток ее концевых узлов равна длине этой дуги: [8Д = [8*] + су.

Последнее соотношение можно использовать рекурсивно, двига­ ясь от стока t к источнику s. Определив узел, непосредственно предшествующий t в кратчайшей цепи, будем повторять данную процедуру до тех пор, пока не достигнем узла s. В нашем случае первое значение Cÿ, совпадающее с разностью между значениями постоянных пометок, равно 6500, т. е. узел 5 непосредственно пред­ шествует стоку t (узлу 9) в кратчайшей цепи. Следующим узлом кратчайшей цепи (и исходным) будет узел 1. Отсюда для миними­ зации общих затрат автомобиль следует заменять в начале первого, пятого и девятого годов.

§ 3.3. Задача о многополюсной кратчайш ей цепи

Рассмотрим задачу нахождения кратчайших цепей между всеми парами узлов сети. Кратчайшей цепью между двумя произвольны­ ми узлами является цепь, стоимость единицы потока по которой минимальна. Поскольку направление потока в неориентированных

дугах нельзя определить заранее, то каждую такую дугу следует заменить двумя ориентированными дугами с противоположными направлениями и длинами (стоимостями), равными длине неори­ ентированной дуги. Предполагается, что длины дуг могут быть как положительными, так и отрицательными. Однако длина, или стоимость, каждого цикла или контура должна быть неотрица­ тельной. Алгоритм решения данной задачи разработан Флойдом. Пусть N = {1,2,..., п} — множество узлов, a Cÿ — количественный параметр (длина, стоимость) дуги (г, j), направленной от узла г

кузлу j. Обозначим через d*k длину кратчайшей цепи из узла г

вузел к.

Алгоритм Флойда заключается в следующем. Первоначально за длину dik кратчайшей цепи между двумя произвольными узла­ ми г и к (между которыми могут быть и промежуточные узлы) принимают длину дуги (г, к), соединяющей эти узлы. Затем после­ довательно проверяют всевозможные промежуточные узлы, рас­ положенные между г и к. Если длина цепи, проходящей через некоторый промежуточный узел, меньше текущего значения dik, то переменной dik присваивают новое значение; если dik > dij + djk, то значение dik заменяют значением dtJ + djk. Такую процедуру по­ вторяют для всевозможных пар узлов, пока не будут получены все значения dik-

В алгоритме Флойда начальным значением переменной dik яв~ ляется величина Cij, а затем данная оценка последовательно улуч­ шается до тех пор, пока не будет найдена кратчайшая цепь между узлами i и к. Алгоритм Флойда позволяет решать задачу о много­ полюсной кратчайшей цепи (пути) для сети из п узлов за п итера­ ций. Обозначим через dJik оценку длины кратчайшей цепи из узла г в узел к, полученную на j -й итерации, и рассмотрим следующую задачу.

Задача. Необходимо соединить восемь объектов многополюсной цепью кратчайшей длины, причем один из объектов (узел 8) может быть только направляющим информацию, а остальные могут и направлять, и получать информацию без каких-либо ограничений (рис. 3.4). На рис. 3.4 каждый объект представлен узлом, а каждая линия —дугой. Ориентированные дуги соответствуют распредели­ тельным звеньям, которые могут быть использованы для передачи

столбец. Чтобы определить, приведет ли использование узла 1 к более коротким цепям, необходимо исследовать элементы мат­ рицы D 0 с помощью трехместной операции:

d\k= minKfc_1; dijX+ djk1}’ гф]фк.

Если d3k = оо, т. e. j -й элемент базового столбца равен оо, то dfk=

= djk l Если djk l = оо, т. e. j -й элемент базовой строки равен оо,

то d3ik 1= d3ik. Если d3ik 1 Ф оо и одно из двух значений d^ или djk

превосходит d?k 1, то замену также производить не следует. Столб­ цы 3, 5, 7 и 8 содержат элементы, равные оо и принадлежащие базовой строке. Строки 3 ,5 , ... , 8 также содержат элементы, рав­ ные оо и принадлежащие базовому столбцу. Значит, исследовать необходимо элементы d%2, d$4, d42, dj^. Поскольку диагональные элементы можно не рассматривать, необходимо исследовать лишь оценки <^24 и d42. С помощью трехместной операции получим

Оценки db и d\ 2 лучше оценок d^ 4 и d\ 2 и должны быть вне­

сены в матрицу D 1, а в матрице маршрутов надо положить r24 = j,

приведет ли его использование к более коротким цепям, и выделим в матрице D 1 вторую строку и второй столбец. Здесь столбцы 6, 7, 8 содержат элементы, равные оо и принадлежащие базовой строке,

а строки 6, 7, 8 —элементы, равные оо и принадлежащие базовому столбцу. Столбцы и строки 6, 7, 8 не рассматриваем. Исключа­ ем и диагональные элементы. Остается исследовать лишь элементы d\3, d\4, d\5, d\j, d34, d\5, d\ ,, d\3, d\5, dl5l, d\3, d\4. Нетрудно проверить, что здесь улучшены могут быть только оценки d{3, d\5, d31, d45, djj, d34, равные oo:

ем диагональные элементы, элементы 8-го столбца и 8-й строки, исследуем оставшиеся элементы матрицы D 2, получим новые мат­ рицы D 3 и R 3.

Аналогично получаем матрицы ZP и RP, j = 4 , ... , 8. Матри­ цы D i, R i, j = 5 , . . . , 8, остаются без изменений. Следовательно, оптимальное решение соответствует матрицам D 5 и R 5, определя­ ющим и оптимальное расстояние для передачи между объектами,

бы найти соответствующую последовательность узлов, рассмотрим матрицу R 5. Имеем г^5 = 4, т.е. узел 4 является первым промежу­ точным узлом в кратчайшей цепи из узла 1 в узел 5. Теперь опре­ делим, какой узел следует за узлом 4 в кратчайшей цепи из узла 4 в узел 5. Поскольку г\ь = 3, то за узлом 4 следует узел 3. Анало­ гично, за узлом 3 следует узел 5, так как г| 5 = 5. Следовательно, кратчайшая цепь из узла 1 в узел 5 определяется последовательно­ стью узлов 1, 4, 3, 5.

§ 3.4. Анализ сложности алгоритмов поиска кратчайш их путей

В алгоритмах Дейкстры (§3.2) и Флойда (§3.3) выполняются только две элементарные операции: сложение и сравнение.

Рассмотрим сеть, содержащую п узлов. В наихудшем случае в алгоритме Дейкстры конечный узел сети будет n -м по счету узлом, которому приписывают постоянную пометку. Пусть в неко­ торый момент работы алгоритма т узлам приписаны постоянные пометки, a m —п узлам — временные. Для определения (т + 1)-го узла, которому должна быть приписана постоянная пометка, необ­ ходимо вычислить п — т временных пометок, выполнив при этом каждый раз операции сложения и сравнения. После вычисления новых значений временных пометок необходимо также найти ми­ нимальное среди них, чтобы определить пометку, которая долж­ на стать постоянной. Данная процедура минимизации состоит

Поэтому для решения задачи о назначениях можно воспользоваться любым алгоритмом линейного программирования или методом по­ тенциалов, который применялся в § 2.6 для решения транспортной задачи. Однако для подобных задач разработан так называемый вен­ герский алгоритм, который наиболее эффективно использует спе­ цифику задачи о назначениях.

Задача. Разместить четыре датчика на четырех объектах таким образом, чтобы стоимость такого размещения была минимальна. Матрица стоимости назначений имеет вид

Р е ш е н и е . В процессе решения задачи о назначениях исполь­ зуют тот факт, что если к каждому элементу г-й строки добавляют действительное число уг, а к каждому элементу j-ro столбца—дей­ ствительное число bj, то минимизация целевой функции

3 г

эквивалентна минимизации функции

3

Ш аг 1 (редукция строк). Данный шаг предназначен для полу­ чения в матрице стоимости назначений возможно большего числа нулевых элементов. Для этого в каждой строке из всех элементов вычитают минимальный: