книги / Математические методы принятия решений

Функция Лагранжа задачи имеет вид

Ц х, У) = у (С х , х) + (d, х) + 2 Vidai, х) - 6*) = г=1

= у (С®, х) + (d, х) + (у, Ах - Ь) =

= у (Сх, х) + (d + уА, х) - (у, 6).

Задачей, двойственной к исходной задаче квадратичного про­ граммирования, будет следующая:

ф(у) -► шах, у е У ,

где

?(У) = Jgfn Ц х , у) = JW ( у (Сх, x) + (d + у А, х) - (у , 6)),

У = {yeQ|<p(y)> -oo} .

Для положительно определенной матрицы С производная функ­ ции Лагранжа L'x(x, y) = C x + d + yA равна нулю в точке х(у) = = —C _1(d + уА), и двойственная задача записывается в виде

Полученная функция квадратична, в задаче учтены условия неотрицательности первых к переменных. Решить двойственную задачу гораздо проще. Если в исходной задаче нет ограниченийнеравенств, то двойственная задача приводит к безусловной опти­

Тогда точка х* е Р является решением прямой задачи в том и только в том случае, если существует вектор у* &Q такой, что пара (х *, у*) является седловой точкой функции Лагранжа L(x, у) на Р х Q. Таким образом, если одновременно решать прямую и двойственную задачи, то к точке минимума (к решению) мы можем приближаться двумя способами.

Вектор Куна—Таккера имеет различные экономические интер­ претации. Рассмотрим две из них.

1. Пусть предприятие выпускает некую продукцию и стремится получить максимальный доход. Условия-ограничения в виде нера­ венств характеризуют затраты ресурсов при выпуске продукции. Очевидно, что в процессе выпуска продукции один или несколь­ ко ресурсов будут исчерпаны полностью (активные ограничения). Другая часть ресурсов будет не использована (пассивные ограни­ чения). В двойственной задаче (согласно условию дополняющей нежесткости) для активных ограничений и* Ф 0, г = 1, 2, . . . , к, а для пассивных ограничений и* = 0, г = к + 1, . . . , т (эти ресурсы неде­ фицитны), т. е. предприятию следует закупать в первую очередь те ресурсы, для которых и*, г = 1, 2, . . . , к, имеют наибольшие значе­ ния. Если есть возможность увеличивать количество всех ресурсов одновременно, то их желательно приобретать в пропорциях, описы­ ваемых вектором Куна—Таккера.

2. Предприятию необходимо продать «ненужную» часть сырья и установить за него такую цену, чтобы максимизировать общий доход. Пусть с —заданный вектор, элементами которого являются цены на сырье. Предприятае стремится продать сырье по таким ценам, чтобы получить такую же прибыль, как и в случае, если бы из проданного сырья была изготовлена продукция, а для этого коор­ динаты вектора с должны быть равны координатам вектора Куна— Таккера у*

§ 1.7. Графическое решение задач математического программирования

Самыми наглядными методами решения задач математического программирования являются графические. Но они приемлемы толь­ ко для функций двух и иногда трех переменных.

Рассмотрим два примера.

Пример 1. Минимизировать функцию

Получили задачу нелинейного математического программиро­ вания. Прежде всего построим по условиям-ограничениям допу­ стимую область D —множество точек (x\,xj), удовлетворяющих

и функция fix ) будет иметь минимальное значение в точке каса­ ния линии уровня к дуге А В С . Поскольку линии уровня отсекают на осях Х[ и Х2 равные отрезки, то координаты точки касания равны 1 • cos(rc/4) = 1 • sin(jc/4) = л/2/2. Получили решение задачи:

Нетрудно видеть, что то же решение будет и в том случае, если вместо условия hix) = 0 рассмотреть условие g\ix) = xj + х\ —1 ^ ^ 0. Тогда допустимая область D будет заключена между дуга­ ми А В С и АОС (см. рис. 1.9). Однако минимальное значение

так как оно «поглощается» неравенством х\ ^ 1. Допустимой обла­ стью D является заштрихованная выпуклая неограниченная много­ угольная область. Чтобы найти оптимальную точку, построим одну из линий уровня целевой функции и ее градиент. Пусть с = 30, т. е. 2xi + 3x2 = 30 (штриховая линия), а градиент V / имеет коор­ динаты (2,3). Поскольку требуется определить минимальное зна­ чение /(х ) на области допустимых значений, то перемещаем ли­ нию уровня параллельно самой себе в направлении антиградиента до тех пор, пока она будет находиться в допустимой области D. Точка «выхода» линии уровня из допустимой области является той точкой, где /(х ) примет минимальное значение: х* = (2, 3); /min(®*) = 2 -2 + 3 -3 = 13.

На рис. 1.10 видно, что задачи математического программиро­ вания могут не иметь решения и могут иметь бесконечно много решений. Если бы при тех же ограничениях, какие были заданы в условии задачи, потребовалось максимизировать целевую функ­ цию /(х ), то линию уровня пришлось бы перемещать в направле­ нии градиента V /. Очевидно, в этом случае решения не существует, поскольку множество D не ограничено.

Теперь рассмотрим другую целевую функцию этой же задачи. Пусть требуется минимизировать функцию /(х ) = 3xj + 2хг. Оче­ видно, что линии уровня будут параллельны прямой 3xi + 2хг = 12, т. е. линия уровня «выйдет» из допустимой области по отрезку пря­ мой CD: все точки отрезка будут являться решениями задачи (бес­ конечное множество решений).

При решении задачи линейного программирования может ока­ заться, что ограничения противоречивы. Например, если ограни­ чение г) записать в виде 2xi + 2хг < 6, то это неравенство будет описывать полуплоскость, включающую точку (0, 0), не имею­ щую общих точек с другими полуплоскостями (с решением нера­ венств а)-в)). Решение задачи в данном случае также не существует.

§ 1.8. Методы безусловной оптимизации

Задачи математического программирования в некоторых случа­ ях можно свести к безусловной минимизации целевой функции /(х ), т. е. поиску локального минимума этой функции. Если локальный

минимум на каком-то этапе не является и глобальным, то поиск гло­ бального минимума и других локальных минимумов должен быть продолжен, при этом выбирают другие начальные точки итераци­ онных процессов.

Как правило, изложенные алгоритмы применяют для нахож­ дения точек минимума положительно определенной квадратичной формы п -го порядка. Для других видов функций указываются усло­ вия их применимости.

Методы, использующие только значения функции

Пусть задана целевая функция (функция качества) fix), произ­ водные которой могут быть разрывными либо не вычисляться явно. Такая ситуация возможна, например, если значения функции /(ж) заданы в табличной форме. В этом случае рассматривают два под­ хода: методы поиска и методы сопряженных направлений.

В методах поиска в основном используются одномерные проб­ ные шаги. Эффективность методов поиска возрастает с увеличе­ нием степени сепарабельности функции задачи. Например, задача минимизации функции f(x) = х \ + КЮООж* методами поиска реша­ ется в два этапа несмотря на то, что линии уровня этой функции очень вытянуты (образуют овраг) и движение по любому направле­ нию, не параллельному главной оси, весьма затруднено.

Методы сопряженных направлений обеспечивают достижение минимума положительно определенной квадратичной формы раз­ мерностью п за п2 шагов. Направления векторов Sj и Sj называются

сопряженными относительно матрицы G, если

s[Gsj =0, i ф j .

В частности, метод покоординатного спуска является одним из методов сопряженных направлений. При использовании это­ го метода точка минимума находится последовательно по одной из координат, когда другим координатам заданы фиксированные значения. Для квадратичной функции порядка п этим методом мож­ но достичь точку минимума за п итераций, если на одной итерации определяется точка минимума по одной координате.

Рассмотрим один из методов безусловной минимизации функ­ ций, использующий только значения функции /(ж). В этом методе

применяется процедура аппроксимации матрицы вторых частных

производных и градиента функции fi x ) за у п(п + 1 ) итераций.

Для положительно определенной квадратичной формы этот метод является точным. Фактически здесь реализуется метод Ньютона (см. далее).

Пусть f{x) —квадратичная форма, G —ее матрица вторых част­ ных производных V 2fix), V /(x ) —градиент функции fix), ак = _ ж*;+1 _ х к^ где х к _ точка> полученная на к-й итерации. Тогда зна­ чение функции в точке x fc+1 вычислим по формуле

С помощью формулы (1.14) можно получить диагональные эле­ менты матрицы G, считая первые п направляющих векторов рав­ ными (1, 0 , ... , 0),..., (О, 0, ...,1).

Пусть х° —начальная точка, а векторы Sj-i при г = 1,2, . . . , п имеют координаты, равные единице на г-м месте и нулю на осталь­ ных местах. Тогда x i+l = x i -XjS i, где число Xi выбирается так, чтобы минимизировать функцию fix) по лучу Sj_i, выходящему

Для вычисления недиагональных элементов матрицы G посту­ пают следующим образом. Пусть х к = хп (значение хп получено

после п шагов, совершенных для вычисления диагональных элементов). Для г = 1,2,..., п и j = г + 1,..., п положим

Sîj — 6j “Ь Gj ,

где — единичный вектор с единицей на г-м месте.

Выберем Ху так, чтобы функция /(ж) достигла минимума по на­

Если квадратичная форма достигла минимума в выбранном на­ правлении, то получим соответствующее Ху = 0. В этом случае можно сделать малый произвольный шаг и продолжать считать по приведенным формулам.

Поскольку после очередного шага в г-м направлении движения Si- j = Si, то вычисление градиента проведем по следующим фор­ мулам:

если только /(ж) — квадратичная форма, при этом учитываются ус­ ловия

Следовательно,*

*j=i+1

Градиент в точке x n можно получить, если вычислены все эле­

После того как матрица G вычислена, можно по формуле (1.18) получить V /(y ) и вычислить направление —G~lVf(y). Точка у —G~lV f(y ) будет безусловным минимумом положительно опре­ деленной квадратичной формы.

Пример. Необходимо решить следующую задачу:

Х0 = - 1 /2 , оо = ( - 1 /2 ,0)т, х 1= (-1 /2 ,0 ), / ( х 1) = -1 /4 . По форму­ ле (1.15) имеем рп = 2 .

Пусть si = (1,0). Тогда получим Xi = —1/2, oi = (0, —1/2)т, х2 = = (—1/2, —1/2), /(х 2) = -3 /8 . По формуле (1.15) имеем <722 = 1.

Переходим к вычислению недиагональных элементов матри­ цы G.

Пусть s2 = (l,l). Тогда Х3 = 1/10, х3 = (-2 /5 , -2 /5 ), /( х 3) = = —2/5. По формуле (1.16) имеем 312 = —1. Все элементы мат­ рицы G найдены.

Для вычисления градиента V /2 воспользуемся формулой (1.17):

По формуле (1.18) имеем

V /(x 3) =

Это значение точное. Теперь получим точки искомого безусловного минимума:

U -

х3 —G -1 V /(x 3) =

\ ~ 1

Задача решена.

Методы, использующие первые производные

В методах минимизации функции /(х ), в которых используют первые производные, учитываются только линейные члены разло­ жения функции /(х ) в ряд Тейлора. Поэтому эти методы иногда называют линейными методами.