книги / Математические методы принятия решений

Здесь Xj — неизвестные постоянные множители, подлежащие опре­ делению (множители Лагранжа), т. е. требуется найти п неизвест­ ных х \, Х2, ■■■, х п и р множителей Лагранжа X], Х2, ..., Хр.

Для рассматриваемого в начале параграфа примера, когда мини­ мизируется функция f{ x 1,жг) при условии ср(хь х2) = 0, функция Лагранжа имеет вид

F{x 1, яг) = f i x u х2) + Хср(хь х2).

Точки, в которых возможен экстремум, находятся как решение системы алгебраических уравнений, полученной приравниванием нулю частных производных функции Лагранжа по искомым пере­ менным (п уравнений) и включением в эту систему р ограниченийравенств. Метод Лагранжа сводит задачу нахождения условного экс­ тремума функции f i x ) к задаче нахождения безусловного экстре­ мума функции Fix, X).

Ограничения-неравенства еще более усложняют задачу. Они за­ дают область допустимых значений переменных. Например, пусть требуется оптимизировать некоторую функцию fix ) при ограниче­ ниях

<7i(х) = xi - х \ ^ 0, g2ix) = 1 - х, - х \ ^ 0.

Область допустимых значений переменных xi и х2 в этой зада­ че есть пересечение области, лежащей «внутри» параболы xi = х\, с кругом единичного радиуса, уравнение окружности которого име­ ет вид х, + х\ = 1 (рис. 1.4).

Пересечение цилиндра, направляющей которого является грани­ ца полученной области D, с поверхностью z = fix ) может привести к самым разнообразным вариантам положения точки экстремума. На рис. 1.5, a-в показаны поверхности, полученные в результате

стимых значений х\ и Х2

граничной и в ней целевая функция до­ стигает своего наибольшего значения. На рис. 1.5, в точка М не

принадлежит области допустимых значений переменных, а целе­ вая функция имеет равные наибольшие значения по линиям A L B и А К Б (т. е. не ясно, что же брать за решение задачи). Эти неод­ нозначные результаты получены даже в случае, когда поверхность целевой функции г = f(x) достаточно проста и обладает единствен­ ным (глобальным) максимумом.

Z

Наиболее полные результаты в задачах математического про­ граммирования получены для выпуклых целевых функций, когда об­ ласть допустимых значений является выпуклым множеством. Мно­ жество точек D называют выпуклым, если для любых точек М, и М 2, принадлежащих области D, отрезок М ,М 2 принадлежит мно­ жеству (области) D (рис. 1.6, а). Другими словами, любая точка ХМ, + (1 —Х)М2 принадлежит области D для любого X, 0 ^ X

и для любых точек М\ и М 2, принадлежащих области D. Пересе­ чение конечного числа выпуклых множеств выпукло. На рис. 1.6, б показаны невыпуклые множества.

Рис. 1.6. Выпуклые (а) и невыпуклые (б) области (множества)

Функцию /(М ) называют выпуклой на непустом выпуклом мно­ жестве D, если для любых двух точек М\ и М 2, принадлежащих области D, и любого числа X, 0 ^ X ^ 1, справедливо неравенство

/(ХМ, + (1 - Х)М2) ^ Х /(М ,) + (1 - Х)/(М 2).

Функцию /(М ) называют строго выпуклой, если для 0 < X <; 1 и М , # М 2 выполнено строгое неравенство

/(ХМ , + (1 - Х)М2) < Х /(М ,) + (1 - Х)/(М 2).

Геометрически выпуклая функция лежит над своими касательными. Примером выпуклой функции является парабола.

Сумма выпуклых на множестве D функций есть также выпуклая на D функция.

Функцию /(х ) называют вогнутой на выпуклом множестве D, если функция - / ( х ) выпукла на D.

Ограничения gi(x) ^ 0, i = 1, 2 , . . . , т, образуют выпуклое мно­ жество D (выпуклую область D), если все функции gi(x) вогнуты.

В математическом программировании выделяют важный класс задач — задачи выпуклого программирования: минимизировать функ­

Сформулированное условие является необходимым условием в задаче минимизации дифференцируемой функции на выпуклом множестве (для выпуклой задачи оно является и достаточным условием глобальной оптимальности).

Для области D, имеющей вид параллелепипеда, когда а* ^ х* ^

Здесь градиент направлен внутрь области D.

Чтобы определить координаты возможной оптимальной точки, составим из необходимых условий соответствующие системы уравнении и решим их.

вводится функция Лагранжа

подлежащие определению наряду с координатами вектора х. Множители Лагранжа \j для ограничений-равенств могут иметь любой знак, множители Лагранжа щ для ограничений-неравенств — неотрицательны. Если в задаче математического программирова­

для задачи выпуклого программирования являются не только необ­ ходимыми, но и достаточными условиями существования решения

(условия Куна—Таккера):

а) если х* является внутренней точкой области P, х* е int Р, то условие ( 1.8) эквивалентно равенству V xL(x*, и*, X*) = 0;

б) если область Р имеет вид параллелепипеда, т. е.

P = { x e R n \ak ^ x k ^ b k, k = l , 2 , . . . , n } ,

где —оо < а к <Ьк < +оо, то соотношение (1.8) эквивалентно следу­ ющему условию: для любого к = 1, 2, . . . , п

в) если в области Р выполнено условие неотрицательности только s переменных и Р имеет вид

P = { x e R n | х к ^ 0, к = 1,2,..., s}, O ^ s ^ n ,

то условие ( 1.8) эквивалентно совокупности условий

В задачах, имеющих ограничения-неравенства, появляется до­ полнительное условие (1.9), которое называют условием дополня­ ющей нежесткости. Это условие разделяет ограничения-неравен­ ства на активные, которые в точке оптимума обращаются в нуль

(gi(x*) = Q, i = 1, 2, . 1\; Ц ^ т), и пассивные (gi(x*) Ф 0, г = = /i + 1,..., т). Для пассивных ограничений коэффициенты Лагран­ жа и* должны быть равны нулю, при этом пассивные ограничения не оказывают влияния на выбор решения х*

Рассмотрим случай, когда условиями задачи являются только ограничения-неравенства:

fix ) —*• min, g i(x)^ 0, г = 1, 2,

Тогда в точке минимума имеем

7 1

Vx/(®*) + 2 ] < V ^ i(x*) = 0,

г= 1

т. е. антиградиент целевой функции является неотрицательной ли­ нейной комбинацией градиентов функций, образующих активные

сформулированы и доказаны условия оптимальности второго по­ рядка, в которых применяют вторые частные производные функции Лагранжа. Здесь мы их рассматривать не будем.

В общем случае задачу математического программирования можно было бы решать по следующей схеме.

1.Записать задачу в каноническом виде (1.4)—(1.6) и составить функцию Лагранжа (1.7).

2.Выписать систему условий, которые характеризуют решение (определяют точки, где возможно существование оптимального ре­ шения, — стационарные точки): в развернутой форме записать усло­ вия (1.8), (1.9), а также условия, налагаемые задачей на допустимые значения и на множители Лагранжа. Например, для условия (1.10) полная система для определения стационарных точек имеет вид

3.Решить полученную систему необходимых условий. Сделать это в аналитическом виде возможно лишь в редких случаях.

4.Если удалось найти решение системы необходимых усло­ вий — получить стационарные точки, необходимо провести исследо­ вание этих точек для отбора среди них решений. Это тоже сделать непросто. Иногда проще провести непосредственное исследование поведения целевой функции в стационарной точке.

На последних двух этапах полезно привлечение физических и геометрических соображений о возможном решении задачи мате­ матического программирования.

§ 1.6. Теория двойственности и недифференциальные условия оптимальности в задаче выпуклого программирования

В задачах математического программирования (1.4)—(1.6) можно указать условия оптимальности, не прибегая к понятиям производ­ ных и градиентов, с помощью так называемой теории двойствен­

ности. Особенно эффективен этот подход к решению задач выпук­ лого программирования.

Рассмотрим функцию Лагранжа (1.7). Обозначим через /* точ­ ную нижнюю грань целевой функции задачи (1.4)—(1.6), определен­ ной на допустимом множестве D :

/* = inf f(x). xeD

Точка х* е D является решением задачи (1.4)—(1.6) в том и толь­

= 1,2,... ,р. Вектор у* называется вектором Куна—Танкера задачи (1.4)—(1.6), если при всех х е D

Любой задаче математического программирования можно по­ ставить в соответствие так называемую двойственную задачу оп­ тимизации. Между прямой и двойственной задачами существуют связи, позволяющие в некоторых случаях упростить решение.

Двойственной к задаче (1.4)-(1.6) называют задачу

Переменные Xj = s + 1,..., п могут иметь любые значения. Функ­ ция Лагранжа этой задачи имеет вид