книги / Математические методы принятия решений

равен 4 + 1 = 5 (ед.). Дуги получают пометки (изменяют пометки только на дугах (s, 2), (1, 2) и (7, t)), представленные на рис. 3.9.

И т е р а ц и я 5. Приписываем источнику s пометку [оо; —]. Из узла s мы можем попасть только в узел 3. Для узла 3 имеем <?з = min{gs; us3 — f a3} = min{oo; +1} = +1; узел 3 получает помет­

Рис. 3.9. Четвертая итерация Рис. 3.10. Оптимальное решение

И т е р а ц и я 6. Приписываем узлу s пометку [оо; —]. Аугментальный поток не может быть найден, т. е. построенные дуговые потоки образуют оптимальное решение. Максимальный поток (мак­ симальное количество информации) из источника s в сток t ра­ вен 6 ед.: 2 ед. потока идут из источника s через узел 1 в сток t; 1 ед. потока идет из источника s через узел 3 в сток t; 3 ед. потока идут из источника s в узел 2 , затем 2 ед. потока поступают из узла 2 в сток t, a l ед. потока поступает в сток t через узел 3. Через дугу (7 ,2) информация не идет.

§ 3.8. Задача о многополюсном максимальном потоке

Мы рассмотрели задачу о максимальном потоке из единствен­ ного узла s в единственный узел t. В целом ряде технических и экономических приложений возникают задачи, в которых на­ до определить максимальный поток между любыми выбранными парами узлов в сети. Примерами таких систем являются: сети

автомобильных дорог, где автострады изображаются дугами, про­ пускные способности которых соответствуют максимально допу­ стимой интенсивности движения; телефонная или информационная сеть, где линии представляются дугами, а их пропускные способ­ ности соответствуют максимальному числу вызовов (или объему информации), которые могут обслуживаться в каждый момент вре­ мени; электрические и электроэнергетические системы, где линии электропередачи представлены дугами, а пропускные способности соответствуют максимальному объему электроэнергии, который мо­ жет передаваться по линиям в единицу времени, и т. п.

Задачи о многополюсных максимальных потоках бывают двух видов: анализа и синтеза сети.

1.Задача анализа сети. Задана сеть с ограниченными пропуск­ ными способностями дуг. Следует определить, каковы величины максимальных потоков, которые можно пропустить между всеми парами узлов в заданной сети.

2.Задача синтеза сети. Требуется построить сеть, в которой величины максимальных потоков fij между всеми парами узлов удовлетворяют заданным ограничениям снизу и в которой общая пропускная способность всех дуг максимальна.

Задачу о многополюсном максимальном потоке можно решить, опираясь на рассмотренную задачу о максимальном потоке между единственным источником и единственным стоком. Если пропуск­ ная способность каждой дуги не зависит от направления движения потока по этой дуге и если каждую пару узлов можно рассматривать как пару источник-сток, то общее число задач о максимальном по­ токе, которое должно быть решено, равно п(п —1)/2, где п —число узлов в сети. Рассмотрим здесь алгоритм Гомори—Ху, согласно ко­ торому максимальный поток в задаче о многополюсном максималь­ ном потоке определяют только п — 1 раз. Основная идея алгоритма состоит в итеративном построении максимального остова дерева, ветви которого соответствуют разрезам, а параметры ветвей — вели­ чинам разрезов.

Пусть G = (N , А) — неориентированная сеть, где N — множе­ ство узлов, А — множество дуг, и пусть Cij — пропускная способ­ ность дуги (г, j) из множества А, причем Су = Cji. Максимальный поток между узлами г и j равен г^-; (X , X ) ÿ —минимальный разрез,

отделяющий узел г от узла j (г е X ; j e Х )\ с{Х, Х )ц —пропускная способность минимального разреза, отделяющего узел г от уз­ ла j. Согласно теореме о максимальном потоке и минимальном разрезе Уц = с(Х, X)ij. Если некоторый узел к принадлежит X , то Vik ^ с(Х, X)ij, а если к е X , то Vkj ^ с(Х, X ) ÿ . Следовательно, Vij ^ Щк и vij ^ Vkj- Поэтому Vij ^ min{vifc; Vkj}. Если рассмотреть в общем случае связанное подмножество узлов {t, р, к, q,j}, то

Vij ^ min{uip; vpk; vkq; vqj}.

С другой стороны, для максимального остовного дерева

^ min{vjP; vpk', Vkq, vqj },

где (г, j) —произвольная дуга, не принадлежащая данному дереву. Если это не так, то вместо любой дуги пути из узла г в узел j можно взять дугу (г, j), в результате чего будет построено дерево с большим весом. Отсюда для любой дуги, не принадлежащей де­ реву, имеем

v^ = min{vjp; vpk', Vkql vqj }.

Максимальное остовное дерево, удовлетворяющее последнему равенству, называют деревом разрезов потому, что каждая его ветвь соответствует разрезу, а вес ветви равен пропускной способности разреза. Если требуется определить величину максимального пото­ ка между двумя противоположными узлами, необходимо в дереве найти путь, соединяющий эти два узла, и выбрать на этом пути дугу с минимальным весом. Ее вес равен величине максимального потока между рассматриваемыми узлами.

Если некоторый узел рассматривать как источник s, а другой узел как сток t, то максимальным потоком между ними является vat = с(Х, X)st. Если затем в качестве источника и стока выби­ рают другую пару узлов г, j, удовлетворяющих такому условию, что они оба принадлежат подмножеству X (или X), то подмно­ жество узлов X (или X , если узлы г, j принадлежат X ) может быть объединено в один конденсированный узел. При этом величи­ на максимального потока из узла i в узел j будет одной и той же для исходной и конденсированной сетей и в алгоритме Гомори—Ху при определении величины v^ используют решение задачи о мак­ симальном потоке, найденное на предыдущем шаге.

Пусть Nij —множество узлов, образуемое в результате конден­ сации всех узлов, лежащих по ту сторону разреза, где не содержатся узлы i и j; Aij — множество дуг, соединяющих узлы из множе­ ства Nij. Если известны пропускные способности дуг, принадле­ жащих А ^, то для нахождения величины максимального потока между узлами г, j можно воспользоваться процедурой расстановки пометок.

В свою очередь, пропускные способности дуг из А ц опреде­ ляют следующим образом. Пусть •••, j r — узлы из подмноже­ ства X , непосредственно связанные с узлом i е X . При конденсации подмножества X дуги (г, j\), (г, j{), ■.., (г, j r) заменяют одной дугой, соединяющей узел i и конденсированный узел подмножества X . Пропускная способность такой дуги вычисляется по формуле

Для определения величины vij вновь надо найти минималь­ ный разрез (X , X)ij с минимальной пропускной способностью, от­ деляющий узел i от узла j. Теперь можно выбрать другую пару узлов, принадлежащих либо X , либо X , и построить конденси­ рованную сеть. В результате выполнения процедуры расстановки пометок можно будет определить другой разрез и построить новую конденсированную сеть и т. д.

Задача. В сети (рис. 3.11) для каждой пары узлов определить величину максимального потока информации между ними.

Р е ш е н и е . Для простоты сначала найдем максимальные пото­ ки между узлами N\, N3, N4 и N5.

И т е р а ц и я 1. Выберем два произвольных узла, скажем Ni и ЛГ3, и найдем максимальный поток между ними (путем процедуры расстановки пометок). Получим минимальный разрез (Ni, N2, Ne | Nз, N4, N5). Пропускная способность дуги, соединяющей конден­ сированные узлы, равна 4 + 2 + 2 + 2 + 3 = 13. Начало построения дерева разрезов представлено на рис. 3.12.

И т е р а ц и я 2. Найдем максимальный поток между узлами N 3 и Ni (рис. 3.13). Здесь узлы Ni, N 2 и Ne объединены в кон­ денсированный узел. Узел N3 соединен с узлами N2 и Ne, т. е. пропускная способность дуги от конденсированного узла к узлу N 3 будет равна 4 + 2 = 6. Узел N5 соединен с узлами N2 и Ne, т. е. пропускная способность дуги, соединяющей конденсированный узел с узлом N5, равна 2 + 3 = 5. Величина максимального пото­ ка равна 5 + 2 + 7 = 14, минимальный разрез имеет вид (Ni, N2, Ne, N3, N5 I N4). По минимальному разрезу определим, что узлы (N3, N5) и (Ni, N2, Ne) лежат по одну сторону в минимальном раз­ резе, разделяющем узлы N3 и N4. Получим дерево, представленное на рис. 3.14.

(см. рис. 3.13) между узлами N3 и N5. Получим минимальный раз­ рез (Ni, N2, Ne, N5, N4 I N3). Величина максимального потока равна 5 + 4 + 7 = 16. Символическое изображение сети представ­ лено на рис. 3.15. Теперь каждая интересующая вершина в полу­ ченном дереве (см. рис. 3.15) содержит только по одному полюсу

величины максимальных потоков между всеми парами узлов (табл. 3.9).

Т аблица 3 .9

Величины максимальных потоков между узлами сети

Если в двух сетях равны величины максимальных потоков меж­ ду парами узлов, принадлежащих некоторому заданному множе­ ству, то эти сети называют потоко-эквивалентными по отноше­ нию к заданному множеству узлов. Заметим, что существует много деревьев, которые потоко-эквивалентны некоторой заданной сети. Потоко-эквивалентное дерево (см. рис. 3.18) обладает следующей особенностью: каждая ветвь этого дерева соответствует некоторо­ му минимальному разрезу в исходной сети. Поэтому его называют деревом разрезов. На дереве разрезов для сети, содержащей п узлов, показано п — 1 минимальных разрезов исходной сети, не пересека­ ющихся друг с другом (см. рис. 3.11).

§ 3.9. Методы ветвей и границ. Задача коммивояжера

Методы ветвей и границ предназначены для решения широкого круга дискретных оптимизационных задач. Различные методы вет­ вей и границ существенно используют специфику конкретных задач и поэтому заметно отличаются друг от друга, но все они основа­ ны на последовательном разбиении допустимого множества реше­ ний D на подмножества (ветвления) и вычислении оценок (границ), позволяющих не рассматривать подмножества, заведомо не содер­ жащие решения задачи.

Пусть требуется найти точку минимума функции /(х ) при х е D. В зависимости от специфики задачи выбирается способ вычисле­ ния оценок снизу d(Df) функции /(х ) на подмножествах D f a D

(может быть, что D' = D):

f{x)>dlD'), x e D '

Оценка снизу часто вычисляется путем релаксации, т. е. замены задачи минимизации функции /(х ) на множестве D' задачей мини­ мизации по некоторому более расширенному множеству. Например, в целочисленных задачах не учитывают требование целочислен­ ное™.

Выбирается также правило ветвления, состоящее в выборе раз­ ветвляемого подмножества D' из числа подмножеств, на которые к данному шагу разбито множество D, и выборе способа разбие­ ния D' на непересекающиеся подмножества: ветвлению подверга­ ется подзадача минимизации функции /(х ) на подмножестве D' Обычно для ветвления выбирается подмножество D' с наимень­ шей оценкой значения целевой функции, поскольку в таком мно­ жестве естественно искать минимум в первую очередь. При этом рассматриваются только такие способы вычисления оценок снизу, в которых оценки для подмножеств, получившихся в результате раз­ ветвления подмножества D', не меньше d(D').

При решении релаксированной задачи может оказаться, что:

а) допустимое множество этой задачи пусто и, стало быть,

D' = 0 ;

б) значение минимума d(D') для релаксированной задачи боль­ ше или равно наименьшему из уже вычисленных значений функ­

ции /( х ) (текущему значению рекорда), и потому min /(х ) достига-

1 6 D

ется вне множества D';

в) точка минимума для релаксированной задачи принадлежит множеству D' и, стало быть, является точкой минимума /(х ) на D' Во всех трех случаях подмножество D' далее не разветвляется.

В случае а) текущее значение рекорда полагается равным миниму­ му из предыдущего текущего значения и вычисленного значения

min /(х ). xeD'

В методе ветвей и границ на каждом шаге искомое значение не больше текущего значения рекорда (верхней границы) и не мень­ ше наименьшей из оценок снизу для подзадач, входящих на данном шаге в число кандидатов на ветвление (нижней границы).

Существуют варианты метода ветвей и границ, разработанные специально для нахождения приближенного решения различных задач.

Пример. Рассмотрим решение целочисленной задачи линейного программирования:

ным, оценки снизу вычисляются с помощью релаксации — без усло­ вия целочисленности переменных. Оценку снизу получают с помо­ щью симплекс-метода.

Если после применения симплекс-метода решение не являет­ ся целочисленным, то на первом шаге алгоритма выбирается лю­ бая нецелочисленная компонента ж ' ,, r \ e J, полученного решения и исходная задача разветвляется на две подзадачи: первая — с допол­ нительным ограничением жГ| ^ [ж£ ], вторая —с дополнительным

ограничением х Т[ ^ [х^] + 1, где [ ] —целая часть числа. Вычис­ ляются оценки снизу, и если обе подзадачи остаются в числе кан­ дидатов на дальнейшее ветвление, то для ветвления на втором шаге выбирается подзадача с минимальной оценкой.

На к-м шаге выбранная на (к — 1)-м шаге подзадача разветвля­ ется на две новые с дополнительными ограничениями х Гк ^ [x£fc] и х Тк ^ [x £ j + 1 соответственно, где х Гк, е J, —любая нецело­ численная компонента решения х к задачи ЛП, получающейся ре­ лаксацией подзадачи, выбранной на (к — 1)-м шаге. Для новых под­ задач вычисляются оценки снизу. Формируется список кандидатов на ветвление. Для ветвления на (к + 1)-м шаге из числа кандидатов на ветвление выбирается подзадача с минимальной оценкой.

Конечность алгоритма следует из ограниченности множества D. Процесс ветвления существенно упрощается, если в задаче име­

ются ограничения

Xj £ {0,1}, j e J e {1,2, ...,n } .

Задача коммивояжера. В гл. 1 мы упоминали задачу о Кё­ нигсбергских мостах, в которой требовалось обойти все мосты, не проходя ни один из них дважды, т. е. пройти все мосты по крат­ чайшему пути.

Можно привести и другую постановку этой задачи в более об­ щем виде. Некто решил, что настало время посмотреть жизнь в дру­ гих странах. Он выбрал семь мест, которые намеревался обязатель­ но посетить, получил информацию о стоимости билета на самолет в каждый из выбранных городов и стоимости проезда из одного города в другой. Учел все льготы, предоставляемые авиакомпания­ ми, и составил матрицу стоимостей (табл. 3.10) проезда в выбран­ ные города и обратно. Зная матрицу стоимостей, путешественнику надо так составить маршрут, чтобы затраты на это путешествие были минимальными и чтобы выполнялось естественное требова­ ние: каждый пункт посещается только один раз. Матрица стоимо­ стей проезда из-за льгот авиакомпаний оказалась несимметричной. При симметричной матрице стоимостей процедура решения задачи

не изменяется.

Таблица 3.10

М атр и ц а стоимости проезда (уел. ед.)

Примечание. В процессе проведения расчетов все стоимости будут уменьшены в 10 раз.

Подобные задачи в математическом программировании называ­ ются задачей коммивояжера. Ее формулируют следующим обра­ зом. Коммивояжер должен выехать из исходного пункта и побывать в каждом из остальных п — 1 пунктов ровно один раз и вернуть­ ся в исходный пункт. Задача заключается в определении после­ довательности посещаемых пунктов, при которой коммивояжеру требуется минимизировать некоторый критерий эффективности: