книги / Математические методы принятия решений

2 ед. Из табл. 4.1 для w = 46; 24; 2 ед. находим f\(w) = 96; 96; 0 ед. Суммируем соответствующие значения: 0 + 96 = 96 (ед.), 85 + 96 = = 181 (ед.), 170 + 0 = 170 (ед.), и выбираем наибольшее из них: 181 ед. Оно получено для хг = 1. Для w = 46 заносим в табл. 4.2

Из табл. 4.2 следует, что при грузоподъемности транспортно­ го средства до 21 ед. ничего в него погрузить нельзя, при грузо­ подъемности 2 2 ... 23 ед. можно погрузить только один предмет второго вида, при грузоподъемности 24 ... 43 ед. — либо один пред­ мет первого вида, либо один предмет второго вида. Максимальной стоимость груза будет при погрузке предмета первого вида. При грузоподъемности 44 ... 45 ед. можно погрузить либо один предмет первого вида, либо два предмета второго вида. Большая стоимость груза будет в последнем случае / 2(11;)= 170. При грузоподъемно­ сти 4 6 ... 47 ед. можно погрузить один предмет первого вида, два предмета второго вида или по одному предмету первого и второ­ го видов. Стоимость груза в последнем варианте — максимальная. Далее аналогично.

Ш аг 3. Проведем оптимизацию целевой функции при условии, что самолет загружают предметами первых трех видов. Требуется максимизировать по £3 функцию

Задаем значение w и для каждого такого значения получаем максимум / 1,2,3 по £ 3. Значения fi(w) берут в табл. 4.2. Например, пусть ш = 38 ед. Возможное значение £ 3 = 0, 1,2 ед., и соответ­ ствующая стоимость предметов третьего вида равна 0; 50; 100 ед.

Вес, занятый предметами четвертого вида, будет х^Рц = 10 ед. На остальные три вида груза остается го —10 = 73 (ед.). Входим с этим значением в табл. 4.3 и получаем х* = 0, а затем х* = 0,

х \ = Ъ.

Строго говоря, нет необходимости заполнять всю табл. 4.4, до­ статочно было заполнить только одну строку для w = 83.

Из табл. 4.1-4.4 видим, что они содержат «заготовки» для опти­ мальной загрузки самолета любой грузоподъемности до w = 87 ед. указанными предметами. Таким образом, мы решили не только по­ ставленную задачу, но и ряд родственных задач. При этом в памя­ ти компьютера необходимо держать табл. 4.1-4.4: столбцы f\(w ), h ( w\ hiw ), / 4(w) на протяжении следующего шага, а столбцы X], Х2, 23, Х4 и соответствующие им w — на протяжении всего решения. Для сложных задач последнее обстоятельство имеет существенное значение и ограничивает возможности решения задач рассмотрен­ ным методом.

В экономических приложениях это задача о распределении вы­ деленных средств S между предприятиями для обеспечения макси­ мального количества выпускаемой продукции.

§ 4.3. Задача о вкладе средств в производство

Задача. Планируется организация деятельности двух произ­ водств (например, швейного цеха и цеха по ремонту обуви) сроком на 5 лет (т = 5). Функции вклада средств в соответствующее про­ изводство имеют вид ср(ж) = 0,75а:, ф(у) = 0,3у, т. е. если средства z вкладывать только в первую отрасль, то по годам средств будет вкладываться z • 0,75; z • 0,752; z • 0,753; ... Соответственно, вклады­ вая средства z только во вторую отрасль, получаем z • 0,3; z • 0,32; г - 0,33; ...

Функции дохода как функции от объема вкладываемых средств х и у имеют вид

f ( x ) = l - e - x, g(y) = 1 —е~2у.

Требуется распределить ресурсы z = 2 ед. между отраслями (це­ хами) по годам так, чтобы получить максимальный доход.

Р е ш е н и е . Решение задачи не удается получить в аналити­ ческом виде, решим ее графически. Пусть к началу пятого года

количество средств равно Z4 и на пятый год выделено средств пер­

У5 = z 4 —^ 5- Чтобы найти условное оптимальное управление на пя­ том шаге xs(z4), нужно для каждого 24 найти максимум функции

/ 5 = 1 - e~Xs + 1 - e~2(z4~X5) = 2 - (e~Xi + e~2(Z4~Xs)).

При фиксированном 24 максимум функции /5 достигается либо при х$ = 0, либо внутри отрезка [0 ,24]. Максимум внутри отрезка будет в точке х *, которую находим из условия

При 24 ^ (In 2)/2 максимум будет в точке 2:5(24) = 0. Итак, услов­ ное оптимальное управление на пятом шаге можно записать в сле­ дующем виде:

Построим графики (рис. 4.1) зависимостей х$ = 2:5(24) и f* = = / 5*(24). При построении зависимости f*(z^) пользуемся соотно­

УздзЫ

Аналогично решают задачу для третьего и второго шагов. Ре­ зультаты приведены на рис. 4.4-4.7.

/г,3,4,5

управлении на первом шаге и оптимальном на последующих) опре­ деляем по формулам

/ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ( x i ) = / l ( 2 , Х\) + Я з , 4 , 5 ( 2 1 ) =

= 2 - (е“ *' + e - 2(2- * ■>) + ЯздзСх,), zi = 0,75xi + 0,3(г - х,).

На первом шаге имеющиеся ресурсы известны: z = 2. Поэтому функция / 1,2,3,4,5(21) опишется одной линией (рис. 4.8). Из рис. 4.8

Определим остаток средств: 0,30 • 0,3 = 0,09.

§ 4.4. Задача о распределении средств поражения

Рассмотрим задачу о распределении средств поражения по обо­ роняющимся целям, которая аналогична задаче о резервировании средств.

Задача. Планируются боевые действия самолетами по оборо­ няющимся целям. Цели эшелонированы по глубине территории

на четырех параллельных рубежах. Перед тем как выйти на данный рубеж, самолеты проходят зону действия огневых средств этого ру­ бежа, где подвергаются обстрелу со стороны последних. Огневые средства каждого рубежа могут вести огонь не только по средствам поражения, направляющимся непосредственно на цели данного ру­ бежа, но и по тем самолетам, которые проходят через зону действия, направляясь на следующие рубежи.

Вероятность поражения одного самолета, пролетающего зону действия орудий г-го рубежа, определяется формулой

где Ni — среднее число орудий, сохранивших боеспособность на г-м рубеже; оц — эффективность стрельбы орудий по самолетам.

Среднее число орудий г-ro рубежа, пораженных j -й волной вы­ летов самолетов, направленных на цели этого рубежа, вычисляется по формуле

где Ni — число орудий на г-м рубеже; Vj — среднее число самолетов в j -й волне вылетов, сохранивших боевые свойства до г-ro рубе­ жа; Pi — средняя вероятность поражения одного орудия г-го рубежа атакующим его самолетом.

Имеется N орудий на всех рубежах:

4

где Ni — число орудий на г-м рубеже: N\ = 10, ЛГ4 = 10, отсюда N = 47.

Имеется ZQ = 80 самолетов, которые необходимо распределить на четыре волны вылетов так, чтобы сделать максимальным среднее число поражений на всех рубежах:

4

я ®)= 2 /<(*)» t=i

где fi(x) — среднее число поражений на г-м рубеже.

Волны вылетов распределены по времени так, чтобы к момен­ ту подлета следующей волны предшествующая ей волна самолетов успела выполнить боевое задание.

Пусть

Р е ш е н и е . Будем пользоваться общей схемой решения задач методом динамического программирования. Проведем оптимиза­ цию на четвертом (последнем) шаге. К зоне действия орудий 4-го рубежа подойдет z3 самолетов. Очевидно, что все они должны быть направлены на поражение орудий четвертого рубежа. Условное оп­ тимальное управление на 4-м шаге определяется по формуле

x j(z 3) = z3.

На четвертом рубеже установлено N 4 орудий, этот рубеж не под­ вергался бомбежке, т. е.

N 4 = N4.

Подлетевшие z3 самолетов поразят на четвертом рубеже / 4*(z3) орудий:

Q4(x*4) = m z 3) = N 4 ( 1 - е " й Р4) ,

где V4(z3) = z3(l —V4 ); V4 — вероятность поражения одного самолета на четвертом рубеже; V4 = 1 —е-а4ЛГ4, т. е. V4(z3) = г3е-а4Л/4.

Задавая различные значения z3, получим график функции / 4*(z3) (рис. 4.9). Вообще-то следовало бы брать значения z3 в интервале (0, 80), но в данной задаче в этом нет не­

Из z2 самолетов надо выделить жз на подавление орудий тре­ тьего рубежа, а 22 —жз самолетов направить на четвертый рубеж через зону огня третьего рубежа. Условное оптимальное управле­ ние хЦ г2) найдем из условия максимального выигрыша на двух последних шагах.

Здесь <2з(®з) — среднее число орудий, пораженных на третьем рубеже выделенными для этой цели жз самолетами. При таком управлении до четвертого рубежа дойдут 23 самолетов. Имеем

где v3 = жз(1 — vj) = жз(1 — 1 + е~агМг) = жзе- ®3^ 3.

Вычислим среднее число самолетов из оставшихся 22 —жз са­ молетов, прошедших через огонь третьего рубежа и дошедших до четвертого рубежа. На третьем рубеже осталось в действии Щ = Щ —д 3(жз) орудий. Тогда среднее число дошедших само­ летов до четвертого рубежа из полного числа 22 —жз будет

23 =(22 - Ж3)е “3^ 3, где величина N 3 зависит от Ж3. Следовательно,

Задав значения 22 и взяв значения /4 (23) согласно графику, при­ веденному на рис. 4.9, для каждого из них получим зависимости /з,4(жз) (рис. 4.10). Отмечая точки максимума функции /з,4(жз), для каждого 22 строим по значениям, приведенным на рис. 4.10, графи­ ки зависимостей / 3*4 и ж* от 22 (рис. 4.11).

Оптимизируем решение на втором шаге. Процедура аналогична оптимизации, проведенной на третьем шаге.

Для разных значений z\ (число самолетов, преодолевших пер­ вый рубеж) вычислим (рис. 4.12) целевую функцию

h ,за = Q2OE2) + /*,4(^2)-

Здесь