книги / Математические методы принятия решений

равно количеству груза, необходимому потребителю. Несбаланси­ рованная транспортная задача сводится к сбалансированной путем введения фиктивного поставщика, если потребности превышают предложения, или фиктивного потребителя в противном случае. Расстояния в фиктивной строке (столбце) указываются равными нулю. Сбалансированная и несбалансированная задачи решаются по одному алгоритму.

Р е ш е н и е . Пусть Xÿ — количество груза, которое будет достав­ лено из г-го пункта отправления в j -й пункт назначения, i = 1, 2,3, j = 1,..., 4. Необходимо минимизировать целевую функцию

з4

fix ) = ^ ^ Cijx ij i=l j=l

при условиях, что весь груз от поставщика должен быть вывезен:

4

= Oj, i = 1, . . . , 3,

j = 1

и каждый потребитель получит необходимое ему количество груза:

3

= bj, j = 1,..., 4.

i = 1

Особенностью данной задачи является то, что в ограничениях все коэффициенты при неизвестных равны единице. Это облегчает вычисления по симплекс-методу.

Число переменных в данной задаче равно в общем случае тп, где т —число поставщиков, п — число потребителей. Число уравне­ ний в системе ограничений равно т + п. Однако нетрудно видеть, что одно из этих уравнений может быть получено из других. Так, если определены количества груза, имеющиеся у всех отправителей и необходимые всем получателям, кроме одного, то спрос послед­ него легко установить как разность между общим запасом и общей потребностью остальных получателей, т.е. система ограничений содержит т + п — I независимых уравнений с т п неизвестными. Число базисных переменных также будет равно т + п — I, осталь­ ные переменные являются свободными.

Помеченные звездочкой значения в табл. 2.1-2.9 обозначают предыдущие данные, которые изменились и стали равны числу, стоящему после звездочки, если это число не равно нулю.

За четыре итерации мы заполнили в таблице перевозок (см. табл. 2.10) пять клеток вместо шести, однако выполнили условияограничения. Необходимо ввести нулевую клетку —условную по­ ставку. Пусть это будет клетка (1,4): х\ц = 0. Получили опорное решение х\\ = 30, х \2 = 20, х и = 0, Х22 = 5, Х23 = 35, Х34 = 20. Зна­ чением целевой функции при таком решении является

f(x ) = 3 • 30 + 2 • 20 + 1 • 0 + 1 • 35 + 3 • 5 + 4 • 20 = 260

(тонно-километров).

Б. Метод учета наименьших расстояний (стоимостей) перево­ зок. Данный метод аналогичен методу северо-западного угла, толь­ ко заполняются в первую очередь те клетки, для которых указанные расстояния (стоимости) наименьшие.

2. П р о в е р к а о п т и м а л ь н о с т и п о л у ч е н н о г о п л а н а п е р е в о з о к . Рассмотрим двойственную задачу к поставленной транспортной задаче. В качестве двойственных переменных введем величины ai, аг, аз, соответствующие первым трем ограничени­ ям, и Рь Рг, Рз, р4 —остальным ограничениям. Эти переменные называют потенциалами, а метод решения транспортной задачи —

методом потенциалов.

Целевая функция двойственной задачи имеет вид

(р(а, р) = 50ai + 40аг + 20аз + 30Pi + 25Рг -I- 35рз + 2ОР4 —» m ax

при условиях (для базисных клеток)

Для нахождения оптимального плана перевозки в исходной за­ даче условия-ограничения двойственной задачи выполнялись бы как равенства, так как согласно условиям дополняющей нежесткости если в оптимальном плане исходной задачи значение какойлибо переменной строго больше нуля, то соответствующее ограни­ чение двойственной задачи становится равенством при подстановке

в него оптимального плана. Получим систему (2.7) из шести урав­ нений с семью переменными. Поскольку количество независимых переменных в данной системе равно 3 + 4 - 1 = 6, то одна пере­ менная является свободной. Пусть это будет оц. Положим ai = 0 , получим Pi = 3, Рг = 2, ^4 = 1, аг = 1, Рз = 0, аз = 3. Составим таб­ лицу перевозок для данной итерации (табл. 2.11).

Таблица 2 .1 1

Первая итерация

Полученное решение ai, оç, аз, Рь Рг, Рз, Р4 подставляем в огра­ ничения двойственной задачи, не вошедшие в систему уравне­ ний (2.7), т. е. соответствующие пустым клеткам. Если эти ограни­ чения являются верными неравенствами для найденного решения, то проверяемый допустимый план исходной задачи является опти­ мальным. В противном случае он оптимальным не является. Для пустых клеток имеем

Второе, четвертое и пятое неравенства являются неверными, поэтому решение не является оптимальным. Необходимо провести улучшение плана.

3. С о с т а в л е н и е н о в о г о д о п у с т и м о г о плана . Наме­ тив свободную переменную, которую надо перевести в базисную, определим базисную переменную, переводимую в свободные. Пе­ ременные, соответствующие свободным клеткам (2, 1), (3 ,1) и (3 ,2) табл. 2.11, в которых неравенства (2.8) нарушаются, могут быть пе­ реведены в базисные. Выбираем клетку (3,2), т. е. переменную 132.

В симплекс-методе для выбора генерального элемента требует­ ся рассмотреть положительные отношения в столбце Ж32. В матрице перевозок положительные коэффициенты в столбце Ж32 равны +1 и отвечают тем базисным клеткам, которые соответствуют отрица­ тельным вершинам некоторой замкнутой ломаной линии, называ­ емой циклом пересчета для Х32. Следовательно, генеральным эле­ ментом является базисная переменная из числа всех переменных, отвечающих отрицательным вершинам цикла пересчета, значение которой минимально.

Цикл пересчета — это замкнутая ломаная линия, начинающаяся в свободной клетке. Координаты всех остальных вершин ломаной помещены в базисные клетки. Клетки соединены звеньями, распо­ ложенными вдоль строк и столбцов матрицы.

В каждую вершину входят только два звена, причем одно из них расположено по строке, другое по столбцу. Никакие три верши­ ны, встречающиеся подряд при обходе, не лежат на одной пря­ мой. Если циклом служит самопересекающаяся линия, то точки самопересечения не могут быть ее вершинами. Свободной клет­ ке в цикле присваивают знак + , другим вершинам — чередующиеся по ходу знаки —, — и т.д. Построим цикл пересчета для сво­ бодной клетки (3,2) (табл. 2.12). В отрицательных вершинах цикла пересчета стоят два числа: 20, 20; минимальным из них являет­ ся 20. Поскольку число положительных и отрицательных вершин одинаково, баланс не нарушится, если в отрицательных вершинах вычесть число о, а в положительных вершинах прибавить это же число а. Вычитая минимальное из чисел, стоящих в отрицательных вершинах, мы получаем новую свободную переменную Ж34, а ба­ зисной станет Ж32. Прибавим 20 в положительных вершинах цикла, вычтем 20 в отрицательных вершинах, получим второе допустимое решение (табл. 2.13).

Таблица 2.12

Цикл пересчета для клетки (3,2)

20 т груза только ко второму потребителю. Вычислим минимальное значение целевой функции:

/min(z) = 3-25 + 2- 5 + 1- 20 + 2- 5 + 1 - 3 5 + 2- 20 = 190

(тонно-километров).

§ 2.7. Задача о перевозках с перегрузкой

Далее, в гп. 3, будет показано, что сетевой подход к решению транспортных задач позволяет использовать алгоритм, рассмотрен­ ный в §2.6, для решения более сложных задач. В транспортной задаче предполагается, что ни в одном маршруте, соединяющем источник (поставщика) с некоторым стоком (потребителем), не мо­ гут быть использованы другие источники и стоки в качестве про­ межуточных пунктов. Если считать допустимой перевозку грузов из источника в сток через другие источники и стоки, то новая за­ дача может быть сведена к обычной транспортной задаче. Объем вычислений, естественно, возрастает, так как в сеть будут вклю­ чены дополнительные маршруты, соединяющие каждый источник со всеми другими источниками и каждый сток со всеми други­ ми стоками. Считаем, что транспортные затраты Cÿ, соответствую­ щие дополнительным маршрутам, известны. Новая задача сводится к модифицированной транспортной задаче, в которой предложе­ ния и спрос, соответствующие дополнительным маршрутам, заданы таким образом, что они не влияют на выбор маршрутов, осуществ­ ляемый в основном алгоритме. Выполнение последнего требования необходимо, поскольку ограничения на поток по дополнительным маршрутам, задаваемые предложением и спросом, являются фик­ тивными и вводятся только для вычислительных целей.

единиц предложения и спроса, т. е. d —это реальный поток коли­ чества груза, перемещающегося по модифицированной сети. Тогда очевидно, что величину спроса bj г-го исходного источника и ве­ личину предложения âj j - го исходного стока можно принять рав­ ными d, т. е. весь поток может протекать через один источник или через один сток. Поскольку b{ = âj = d, то исходные величины пред­ ложения и спроса должны быть увеличены на d. Если увеличить

исходные данные на d < d, то некоторые планы перевозок, допусти­ мые в исходной задаче, в модифицированной задаче станут недо­ пустимыми. Выбор d > d не повлияет на решение задачи. Поэтому выбирают d.

Рассмотрим традиционную транспортную задачу (табл. 2.15).

Таблица 2.15

Исходная транспортная задача

Пусть в ней каждый источник и каждый сток являются одновре­ менно и промежуточными пунктами (узлами). Здесь

следовательно, в модифицированной задаче надо выбрать d —30. Новая задача о перевозках может быть сведена к транспортной задаче со следующими величинами предложения и спроса для сто­

ков и источников:

1) = ai + 30, г = 1,2, для исходных источников; 2) bi = 30, г = 1,2, для исходных источников;

3) âj = 3 0 , j = 1,2,3, для исходных стоков;

4) bj = bj + 30, j = 1,2,3, для исходных стоков.

Матрица условий модифицированной транспортной задачи для решения задачи перевозок с перегрузкой приведена в табл. 2.16. Транспортные затраты Cÿ для дополнительных маршрутов (строки В \, Вг и Вз и два последних столбца À\, À j в табл. 2.16) предпола­ гаются известными.

Эту задачу можно решить методом потенциалов, рассмотрен­ ным в § 2.6. Решив модифицированную транспортную задачу, тем самым решим поставленную задачу о перевозках.

§ 2.8. Целочисленное линейное программирование

Рассмотрим следующую задачу линейного программирования:

Заметим, что x n+1, ... , x n+m —слабые переменные, a x \, ... , x n — исходные переменные задачи (2.9). Если наряду с ограничениями задачи (2.9) потребовать, чтобы все X j , j = 1,2,..., п, были целыми, то задача будет называться задачей целочисленного программиро­ вания. Существует много задач, особенно комбинаторных, которые можно сформулировать как задачи целочисленного программиро­ вания.

на рис. 2.6 изображены точками. Такие точки, расположенные внут­ ри области O ABC D , являются допустимыми решениями задачи целочисленного программирования. Оптимальные решения зада­ чи линейного программирования всегда располагаются на границе

области решений. В данном случае гра­ ничные точки не являются даже допу­ стимыми решениями, поскольку ни одна из них не целочислена. Предположим, что область допустимых решений суже­ на до выпуклой оболочки допустимых целых точек внутри допустимой обла­ сти. На рис. 2.6 эта выпуклая оболоч­ ка показана заштрихованной областью O EFG H , которую можно рассматривать как область допустимых решений неко­ торой другой задачи линейного програм­ мирования. Действительно, если к зада­ че ЛП, определяющей допустимую об­

ласть O A B C D , добавить линейное ограничение типа R R ', как показано на рис. 2.6, то для вновь полученной задачи многоуголь­ ник O E F G H будет областью допустимых решений. Такая область обладает двумя важными свойствами:

1)содержит все допустимые целочисленные точки исходной за­ дачи линейного программирования (поскольку является выпуклой оболочкой этих точек);

2)все крайние точки новой области целочисленны.

Поэтому любое базисное оптимальное решение модифициро­ ванной задачи линейного программирования имеет своими компо­ нентами целые числа и является оптимальным решением исходной задачи целочисленного программирования.

Как только будут введены дополнительные ограничения, можно решать модифицированную задачу ЛП любым обычным методом, и полученное базисное оптимальное решение автоматически будет целочисленным.

Представленный ниже целочисленный алгоритм обладает сле­ дующими свойствами:

1)все дополнительные ограничения сохраняют допустимые точ­ ки исходной целочисленной задачи;

2)за конечное число шагов создается достаточное число до­ полнительных ограничений для того, чтобы оптимальное решение модифицированной задачи было целочисленным;