книги / Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

jc + A вместо x и разложили бы f(x-f А) с точностью до пер­ вой степени Л... , словом, повторили бы все то, что мы наме­

рены сделать с TJ.

Итак, идея наша заключается в том, что мы подставляем x(t) = x{t) + ri(0 в формулу для действия

где через V{x) обозначена потенциальная энергия. Произ­ водная dxfdt — это, естественно, производная от x(t) плюс

производная от т\(t), так что для действия я получаю такое выражение:

s = I,S [ т ( - г Г + 4 т ) 2- у ^ + ^ ] Л *

Теперь это нужно расписать подетальней. Для квадратич­ ного слагаемого я получу

Но постойте-ка! Ведь мне не нужно заботиться о порядках выше первого. Я могу убрать все слагаемые, в которых есть ц2 и высшие степени, и ссыпать их в ящик под названием «вто­ рой и высшие порядки». Из этого выражения туда попадет только одна вторая степень, но из чего-то другого могут войти и высшие. Итак, часть, связанная с кинетической энергией, такова:

ближенно это будет К(х); в следующем приближении (из-за

к х и т. д.:

V4£+n) = K(x) + T1V'(i ) + -£v''W + ... .

Для экономии места я обозначил через V' производную У по*. Слагаемое с г)2 и все, стоящие за ним, попадают в категорию «второй и высшие порядки». И о них больше нечего беспо­ коиться. Объединим все, что осталось:

5== $ [ т f i f ) 2 -

и

~r\V' (х) -f (Второй и высшие порядки)] dt^

103

Если мы теперь внимательно взглянем на это, то увидим, что два первых написанных здесь члена отвечают тому дей­ ствию 5, которое я написал бы для искомого истинного

пути х. Я хочу сосредоточить ваше внимание на изменении 5, т. е. на разности между 5 и тем 5, которое получилось бы

для истинного пути. Эту разность мы будем записывать как <55 и назовем ее вариацией S. Отбрасывая «второй и высшие порядки», получаем для 6S

и

Теперь задача выглядит так. Вот передо мной некоторый интеграл. Я не знаю еще, каково это х, но я твердо знаю, что,

какую т) я ни возьму, этот интеграл должен быть равен нулю. «Ну что ж, —подумаете вы, — единственная возможность для этого —это чтобы множитель при т) был равен нулю». Но как быть с первым слагаемым, где есть dr)/dl} Вы скажете: «Если г] обращается в ничто, то и ее производная такое же ничто; значит, коэффициент при dr\/dt должен тоже быть нулем». Ну это не совсем верно. Это не совсем верно потому, что ме­ жду отклонением ц и его производной имеется связь; они не полностью независимы, потому что т;(/) должно быть нулем и при /i и при t2.

При решении всех задач вариационного исчисления всегда пользуются одним и тем же общим принципом. Вы чуть сдви­ гаете то, что хотите варьировать (подобно тому, как это сде­ лали мы, добавляя т)), бросаете взгляд на члены первого по­ рядка, затем расставляете все так, чтобы получился интеграл в таком виде: «сдвиг (т]), умноженный на что получится», но чтобы в нем не было никаких производных от т; (никаких d-r\fdt). Непременно нужно так все преобразовать, чтобы оста­ лось «нечто», умноженное на тр Сейчас вы поймете, отчего это так важно. (Существуют формулы, которые подскажут вам, как в некоторых случаях можно это проделать без каких-либо выкладок; но они не так уж общи, чтобы стоило заучивать их;'лучше всего проделывать выкладки так, как это делаем мы.)

Как же я могу переделать член di\/dt, чтобы в нем появи­ лось »]? Я могу добиться этого, интегрируя по частям. Оказы­ вается, что в вариационном исчислении весь фокус в том и состоит, чтобы расписать вариацию S и затем проинтегриро­ вать по частям так, чтобы производные от t] исчезли. Во всех задачах, в которых появляются производные, проделывается такой же фокус.

104

мени были равны нулю; здесь та же самая история. Под «минимумом» мы на самом деле подразумеваем, что в первом порядке малости изменения величины S при отклонениях от пути должны быть равны нулю. И это не обязательно «ми* нимум».

Теперь я хочу перейти к некоторым обобщениям. В пер­ вую очередь всю эту историю можно было бы проделать и в трех измерениях. Вместо простого х я тогда имел бы х, у и г как функции /, и действие выглядело бы посложнее. При трех­ мерном движении вы должны использовать полную кинети­ ческую энергию: (т/2), умноженное на квадрат всей ско­ рости. Иначе говоря,

Кроме того, потенциальная энергия теперь является функ­ цией х, у и г. А что можно сказать о пути? Путь есть некото­ рая кривая общего вида в пространстве; ее не так легко на­ чертить, но идея остается прежней. А как обстоит дело с ц? Что ж, и ц имеет три компоненты. Путь можно сдвигать и по х, и по у, и по г, или во всех трех направлениях одновре­ менно. Так что г] теперь вектор. От этого сильных усложне­ ний не получается. Раз нулю должны быть равны лишь вариа­ ции первого порядка, то можно провести расчет последова­ тельно с тремя сдвигами. Сперва можно сдвинуть ц только в направлении х и сказать, что коэффициент должен обра­ титься в нуль. Получится одно уравнение. Потом мы сдви­ нем 11 в направлении у и получим второе. Затем сдвинем в направлении z и получим третье. Можно все, если угодно, проделать в другом порядке. Как бы то ни было, возникает тройка уравнений. Но ведь закон Ньютона —это тоже три уравнения в трех измерениях, по одному для каждой компо­ ненты. Вам предоставляется самим убедиться, что это все действует и в трех измерениях (работы здесь не так много). Между прочим, можно взять какую угодно систему коорди­ нат, полярную, любую, и сразу получить законы Ньютона применительно к этой системе, рассматривая, что получится, когда произойдет сдвиг т] вдоль радиуса или по углу, и т. д.

Метод может быть обобщен и на произвольное число ча­ стиц. Если, скажем, у вас есть две частицы и между ними действуют какие-то силы и имеется взаимная потенциальная энергия, то вы просто складываете их кинетические энергии и вычитаете из суммы потенциальную энергию взаимодей­ ствия. А что вы варьируете? Пути обеих частиц. Тогда для двух частиц, движущихся в трех измерениях, возникает шесть уравнений. Вы можете варьировать положение частицы 1 в направлении х, в направлении у и в направлении г, и то же

107

самое проделать с частицей 2, так что существует шесть уравнений. И так и должно быть. Три уравнения определяют ускорение частицы 1 через силу, действующую на нее, а три других — ускорение частицы 2 из-за силы, действующей на нее. Следуйте всегда тем же правилам игры, и вы получите закон Ньютона для произвольного числа частиц.

Я сказал, что мы получим закон Ньютона. Это не совсем верно, потому что в закон Ньютона входят и иеконсерватнвные силы, например трение. Ньютон утверждал, что т а равно всякой F. Принцип же наименьшего действия справедлив только для консервативных систем, таких, где все силы могут быть получены из потенциальной функции. Но ведь вы знаете, что на микроскопическом уровне, т. е. на самом глубинном физическом уровне, неконсервативных сил не существует. Неконсервативные силы (такие, как трение) появляются только от того, что мы пренебрегаем микроскопическими сложными эффектами: просто слишком много частиц приходится анали­ зировать. Фундаментальные же законы могут быть выражены в виде принципа наименьшего действия.

Позвольте перейти к дальнейшим обобщениям. Положим, нас интересует, что будет, когда частица движется реляти­ вистски. Пока мы не получили правильного релятивистского уравнения движения; F = т а верно только в нереляти­ вистских движениях. Встает вопрос: существует ли в реляти­ вистском случае соответствующий принцип наименьшего дей­

покоя то на с2 и на интеграл от функции скоростилЛ — иг/с2 Затем вместо того, чтобы вычитать потенциальную энергию, мы имеем интегралы от скалярного потенциала ф и от вектор­ ного потенциала А, умноженного на v. Конечно, здесь при­ няты во внимание только электромагнитные силы. Все элек­ трические и магнитные поля выражены в терминах ф и А. Такая функция действия дает полную теорию релятивистского движения отдельной частицы в электромагнитном поле.

Конечно, вы должны понимать, что всюду, где я написал v, прежде чем делать выкладки, следует подставить dx/dt вместо vx и т. д. Кроме того, там, где я писал просто х, у, г, вы дол­ жны представить себе точки в момент t: x{t), y(t), z{t). Соб­ ственно, только после таких подстановок и замен v у вас по­ лучится формула для действия релятивистской частицы. Пусть самые умелые из вас попытаются доказать, что эта формула

108

для действия действительно дает правильные уравнения дви­ жения теории относительности. Позвольте лишь посоветовать для начала отбросить А, т. е. обойтись пока без магнитных полей. Тогда вы должны будете получить компоненты урав­ нения движения dpfdt = —qVq>, где, как вы, вероятно, пом­

ните, р = mv/ V 1 — «2/с2.

Включить в рассмотрение векторный потенциал А намного труднее. Вариации тогда становятся несравненно более слож­ ными. Но в конце сила оказывается равной тому, чему сле­ дует: <?(E-|-vX В). Но позабавьтесь с этим сами.

Мне хотелось бы подчеркнуть, что в общем случае (к при­ меру, в релятивистской формуле) под интегралом в действии уже не стоит разность кинетической и потенциальной энер­ гий. Это годилось только в нерелятивистском приближении.

Например, член /п0с2 У 1 — «2/с2 — это не то, что называют кинетической энергией. Вопрос о том, каким должно быть действие для произвольного частного случая, может быть ре­ шен после некоторого числа проб и ошибок. Это задача того же типа, что и определение, каковы должны быть уравнения движения. Вы просто должны поиграть с известными вам уравнениями и посмотреть, можно ли их написать в виде принципа наименьшего, действия.

Еще одно замечание по поводу терминологии. Ту функцию, которую интегрируют по времени, чтобы получить действие S, называют лагранжианом &. Это функция, зависящая только от скоростей и положений частиц. Так что принцип наимень­ шего действия записывается также в виде

и

5 = 5 &(xh Vi)dt,

t,

где под Xi и Vi подразумеваются все компоненты координат и скоростей. Если вы когда-нибудь услышите, что кто-то гово­ рит о «лагранжиане», знайте, что речь идет о функции, при­ меняемой для получения S. Для релятивистского движения в электромагнитном поле

Кроме того, я должен отметить, что самые дотошные и пе­ дантичные люди не называют 5 действием. Его именуют «пер­ вой главной функцией Гамильтона». Но читать лекцию о «принципе наименьшей первой главной функции Гамиль­ тона» было свыше моих сил. Я назвал это «действием». Да к тому же все больше и больше людей называют это «дей­ ствием». Видите ли, исторически действием было названо нечто другое, не столь полезное для науки, но я думаю, что

109