книги / Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

Толщина каждого Д К,- равна w, а объем wa2. Поэтому каждый элемент объема, накладывающийся на распределение эаряда, содержит в себе заряд доа2р, гдер — плотность заряда внутри куба (мы считаем ее однородной). Когда расстояние от заряда до точки (/) велико, то можно все г,- в знаменате­ лях положить равными некоторому среднему значению, ска­ жем, взятому с учетом запаздывания положению г' центра куба. Сумма (21.30) превращается в

N

p wa2

Z г' ' i-l

где A V N — тот последний элемент ДVi, который еще накла­ дывается на распределение зарядов (см. фиг. 21.7,3). Сумма тем самым равна

pw a2 pa3 ( N w \

N r'— — h r у

Ho pa3 — просто общий заряд q, а Nw- ■длина Ь, показанная на фиг. 21.7,3. Получается

А чему же равно Ь? Это длина куба зарядов, увеличенная на расстояние, пройденное зарядом за время от = (/— г\{с) до tN = (t — rN/c). Это расстояние, пройденное зарядом за время

г. — r„ Ь

V * — 7 -

А поскольку скорость заряда равна v, то пройденное рас­ стояние равно vAt = vb/c. Но длина b— само это расстояние плюс a:

b= a + ±b.

Отсюда

6 = -1- m •

Здесь, конечно, под v подразумевается скорость в «запазды­

ф(1, /)== 4песг' ll-(»/c)W

Это согласуется с тем, что было предположено в (21.29). По­ явился поправочный множитель. Он появился потому, что в то время, как наш интеграл «проносится над зарядом», сам за­ ряд движется. Когда заряд движется к точке (У), его вклад

let

в интеграл увеличивается в Ь[а раз. Поэтому правильное зна­ чение интеграла равно qjr', умноженному на 6/а, т. е. мз

1 /[ 1 — ^ / с]зап-

Если скорость заряда направлена не к точке наблюде­ ния (/), то легко видеть, что важна только составляющая его скорости в направлении к точке (/). Если обозначить эту со­ ставляющую скорости через vr, то поправочный множитель запишется в виде 1/[1 — vr/c]3aa. Кроме того, проделанный нами анализ в равной степени проходит для распределения заряда любой формы (это не обязательно должен быть куб). Наконец, поскольку «размер» а заряда не вошел в оконча­ тельный итог, то тот же результат получится, если заряд стя­ нется до любых размеров, вплоть до точки. Общий результат состоит в том, что скалярный потенциал точечного заряда, движущегося с произвольной скоростью, равен

Это уравнение часто пишут в эквивалентном виде:

ф*1, 4яев[г—(v-r/C)]3a„ ’ (21‘33)

где г — вектор, соединяющий заряд с той точкой (1), в кото­ рой вычисляется потенциал ср, а все величины в скобках надо вычислять в «запаздывающий» момент времени t'= (t — г'/с).

Потенциалы точечного заряда в этой форме были впервые получены Льенаром и Вихертом. Их так и называют: потен­ циалы Льенара — Вихерта.

Чтобы замкнуть круг и вернуться к формуле (21.1), те­ перь нужно только подсчитать Е и В из этих потенциалов (при помощи В = ? Х А и Е = —V<p — дАjdt). Теперь остается одна арифметика. Впрочем, арифметика эта довольно запу­ танна, так что мы не будем приводить здесь детали счета. Придется поверить мне на слово, что формула (21.1) эквива­ лентна выведенным нами потенциалам Льенара — Вихерта *.

* Если у вас достаточно времени и вам не жаль бумаги, то попытай­ тесь проделать это самостоятельно. Вот вам парочка советов: во-первых, не забывайте, что производные г' довольно запутанны, ведь они суть функ­ ции от Г! Во-вторых, не пытайтесь вывести формулу (21.1); лучше про­ делайте в ней все дифференцирования и затем сопоставьте то, что у вас получится, с выражением для Е, полученным из потенциалов (21.33) и (21.34).

162

§6. Потенциалы заряда, движущегося

спостоянной скоростью; формула Лоренца

Применим теперь потенциалы Льенара — Вихерта к слу­ чаю заряда, движущегося по прямой с постоянной скоростью, н вычислим поле этого заряда. Позже мы повторим этот вы­ вод, используя уже принцип относительности. Мы знаем ве­ личину потенциалов в той системе, в которой заряд покоится. Когда заряд движется, то все получается простым релятиви­ стским преобразованием от одной системы к другой. Но тео­ рия относительности ведет свое начало от теории электриче­ ства и магнетизма. Формулы преобразований Лоренца [см. гл. 15 (вып. 2)] — это открытия, сделанные Лоренцем при исследовании уравнений электричества и магнетизма. И для того чтобы вы понимали, откуда все пошло, я хочу показать вам, что уравнения Максвелла действительно приводят к пре­ образованиям Лоренца. Я начну с вычисления потенциала равномерно движущегося заряда прямо из электродинамики, из уравнений Максвелла. Мы уже показали, что уравнения Максвелла приводят к потенциалу, полученному в предыду­ щем параграфе. Стало быть, пользуясь этими потенциалами, мы используем тем самым теорию Максвелла.

Пусть имеется заряд, движущийся вдоль оси х со ско­ ростью v (фиг. 2 1.8 ). Нас интересуют потенциалы в точке Р(х,у,г). Если / = 0 — момент, в который заряд проходит

где г' — расстояние от заряда до точки Р в этот запаздываю­ щий момент. В это более раннее время /' заряд был в x—vt', так что

Чтобы найти г' или V, это уравнение надо сопоставить с (21.35), Исключим сперва Р, решив (21.35) относительно г' и подставив в (21.36). Возведя затем обе части в квадрат, получим

С2(/ _ t’f = (х - vt')2-f if + z2,

т. е. квадратное уравнение относительно t'. Раскрыв скобки

163

Р(х^г)

« Запаздывающее» положение (в момент

t'= t-

Отсюда найдем

- 7 лА * ~ »')’ + (l - ■?■)<!/’ + 2!) • (21.37)

Чтобы получить г', надо это /' подставить в

г '= с (*_*').

(ввиду того, что v постоянно).

Составляющая v в направлении г' равна v(x — v t')lr, так

Подставляя (1 — v2jc2)t' из (21.37), получаем

ф(х, у, г, /)— Л 0 4ле

y\J{x — vtf + (l — £ ) (У2+ г2)

164

Это уравнение становится более понятным, если переписать его в виде

Векторный потенциал А —это такое же выражение, но с до­ бавочным множителем v/c2:

А ~ £ ф.

В выражении (21.39) со всей ясностью предстает перед вами начало преобразований Лоренца. Если бы заряд нахо­ дился в начале координат в своей собственной системе покоя, то его потенциал имел бы вид

Ф (*, У, г) = _я_______ I

4ле0 W + уг+ г :]"! ’

А мы смотрим на него из движущейся системы координат, и нам кажется, что координаты следует преобразовать с по­

мощью формул

r . x - v t

V1— ’

у~*у,

Z —*■Z.

Это обычное преобразование Лоренца. Лоренц вывел его тем же самым способом, каким пользовались и мы. _____

Но что можно сказать о добавочном множителе 1 / Y l —«7е2» который появился перед дробью в (21.39)? И кроме того, как появляется векторный потенциал А, если он в системе покоя частицы повсюду равен нулю? Мы вскоре покажем, что А и ф вместе составляют четырехвектор, подобно импульсу р и

полной энергии U частицы. Добавка 1 / У 1 — v2/c2 в (21.39) —• это тот самый множитель, который появляется всегда, когда преобразуют компоненты четырехвектора, так же как плот­

поненты одного четырехвектора, потому что в гл. 13 (вып. 5) уже было показано, что j и р —компоненты четырехвектора.

Позднее мы более подробно разберем относительность в электродинамике; здесь мы хотели только показать, как есте­ ственно уравнения Максвелла приводят к преобразованиям Лоренца. Поэтому не надо удивляться, узнав, что законы электричества и магнетизма уже вполне пригодны и для тео­ рии относительности Эйнштейна. Их не нужно даже как-то особо подгонять, как это приходилось делать с ньютоновой механикой.

163

лекций были направлены на то, чтобы по- 4 эквивалентные лучить полные уравнения Максвелла. В преды-9 ч.эквивалентные

дущих двух главах мы обсудили следствия контуры этих уравнений. Выяснилось, что они содер­ жат объяснение всех статических явлений, ко*§5. Энергия

166

внутри ограниченной области пространства. Мы кратко косну­ лись этой проблемы, когда изучали звуковые волны. Но урав­ нения Максвелла тоже приводят к решениям, которые пред­ ставляют волны электрических и магнитных полей, замкнутые в некотором объеме. В одной из последующих глав мы рас­ смотрим этот вопрос, имеющий важные технические примене­ ния. И чтобы подойти к нему, мы начнем с того, что изложим свойства электрических цепей при низких частотах. После этого мы сможем сравнить такие системы, когда к уравне­ ниям Максвелла применимо почти статическое приближение, и системы, в которых преобладают высокочастотные эффекты.

Итак, снизойдем с величественных и труднодоступных вы­ сот последних нескольких глав и обратим свой взор на срав­ нительно низменную задачу —задачу об электрических цепях. Впрочем, мы убедимся в том, что даже столь мирские дела оказываются весьма запутанными, если в них вникнуть доста­ точно глубоко.

В гл. 23 и 25 (вып. 2) мы уже обсуждали некоторые свойства электрических цепей (контуров). Теперь мы повто­ рим часть изложенного там материала, но более подробно. Мы по-прежнему будем иметь дело с линейными системами и с напряжениями и токами, которые меняются синусоидаль­ но; поэтому мы можем представить все напряжения и токи в виде комплексных чисел, пользуясь экспоненциальными обо­ значениями, введенными в гл. 22 (вып. 2). Так, меняющееся во времени напряжение V(/) будет записываться в виде

где 9 — комплексное число, не зависящее от t. При этом, ко­ нечно, подразумевается, что настоящее переменное по вре­ мени напряжение V(/) представляется действительной частью комплексной функции в правой части уравнения.

Подобным же образом и все другие меняющиеся во вре­ мени величины будут считаться изменяющимися синусои­ дально с той же частотой ю. Мы будем писать

I — 1еш (ток),

Е = Ее'10' (электрическое поле)

и т. д.

Большей частью мы будем писать уравнения, пользуясь

обозначениями V, 1, &, ... (вместо V, I, 8, ...), помня при этом, что они изменяются со временем всегда так, как в (2 2 .2 ).

В прежних наших рассуждениях об электрических цепях мы полагали, что такие вещи, как индуктивность, емкость и

167

сопротивление, вам знакомы. Сейчас мы немного подробнее объясним, что понимают под этими идеализированными эле­ ментами схем. Начнем с индуктивности.

Индуктивность —это навитая в несколько рядов прово­ лока в форме катушки, два конца которой выведены к зажи­ мам на некотором расстоянии от катушки (фиг. 2 2 .1 ). Пред­ положим, что магнитное поле, создаваемое токами в катушке, не очень распространяется на все пространство и не воздей­ ствует на другие части цепи. Обычно этого добиваются, при­ дав катушке форму лепешки или намотав ее на подходящий железный сердечник (это сжимает магнитное поле); можно еще поместить катушку внутрь металличёской коробочки: схематически это показано на фиг. 22.1. В любом случае пред­ полагается, что во внешней области у зажимов а и Ь магнит­ ным полем можно пренебречь. Кроме того, мы будем считать, что электрическое сопротивление проводов в катушке можно не учитывать. И наконец, полагают, что можно пренебречь и электрическим зарядом, возникающим на поверхности про­ вода, когда создаются электрические поля.

С учетом всех этих приближений и возникает то, что назы­ вают «идеальной» индуктивностью. (Позже мы вернемся к этому пункту и поговорим о том, что бывает в реальных индуктивностях.) Про идеальную индуктивность говорят, что напряжение на ее зажимах равно L(dl/dt). Почему? Когда через индуктивность идет ток, то внутри катушки создается магнитное поле, пропорциональное силе тока. Если ток во времени меняется, то меняется и магнитное поле. Вообще го­ воря, ротор Е равен —dB/d/; можно сказать и по-другому: контурный интеграл от Е по любому замкнутому пути равен (с минусом) быстроте изменения потока В через контур. Представьте теперь себе следующий путь: начинается он на зажиме а и тянется вдоль катушки (оставаясь все время вну­ три провода) к зажиму Ь\ затем возвращается от зажима Ь к а по воздуху в пространстве вне катушки. Контурный инте­ грал от Е по этому замкнутому пути можно записать в виде

168

суммы двух частей:

Ь а

Как мы уже выяснили раньше, внутри идеального провод­ ника электрических полей существовать не может. (Малейшие поля вызвали бы бесконечно большие токи.) Поэтому инте­ грал от зажима а до б через катушку равен нулю. Весь вклад в контурный интеграл от Е приходится на путь снаружи ин­ дуктивности, от зажима b к зажиму а. А так как было пред­ положено, что в пространстве вне «коробки» нет никаких магнитных полей, то эта часть интеграла не зависит от вы­ бора пути. Значит, можно определить понятие потенциала обоих зажимов. Разность этих двух потенциалов и есть то, что называют напряжением V, так что

а

V — — ^ Е • ds = — ф Е • ds.

ь

Полный интеграл по контуру —это то, что мы раньше на­ зывали э.д. с. &. Он, естественно, равен скорости изменения магнитного поля в катушке. Мы уже знаем, что э. д. с. равна (со знаком минус) быстроте изменения тока, так что

где L — индуктивность катушки. Поскольку dl/dt=ml, то мы имеем

Тот способ, которым мы описали идеальную индуктив­ ность, иллюстрирует общий подход к другим идеальным эле­ ментам цепи — обычно их называют «сосредоточенными» эле­ ментами. Свойства элемента полностью описываются на языке токов и напряжений, возникающих на его зажимах. При­ бегнув к подходящим приближениям, можно игнорировать огромную сложность тех полей, которые возникают внутри объекта. То, что происходит внутри, отделяется от того, что происходит снаружи.

Для всех элементов цепи мы намерены сейчас найти соот­ ношения, подобные формуле (22.4). В ней напряжение про­ порционально силе тока с константой пропорциональности, которая, вообще говоря, есть комплексное число. Этот комп­ лексный коэффициент пропорциональности называется «лше- дансом, и его привыкли обозначать через z (не следует путать с координатой г). В общем случае это функция. частоты ш.

169

аФ иг. 22.2. Емкость (или конденсатор).

Стало быть, для каждого сосредоточенного элемента мы на­ пишем

Рассмотрим с этой точки зрения емкость *. Она состоит из двух проводящих пластин (обкладок), от которых к нужным зажимам отходят два провода. Пластины могут быть любой формы и часто отделяются друг от друга каким-нибудь ди­ электриком. Это схематически изображено на фиг. 2 2 .2 . Мы снова делаем несколько упрощающих предположений. Мы считаем, что пластины и провода — идеальные проводники, а изоляция между пластинами тоже идеальна, так что через нее никакие заряды с пластины на пластину перейти не мо­ гут. Затем мы предполагаем, что проводники находятся близко друг от друга, но зато значительно удалены ото всех осталь­ ных проводников, так что все линии поля, выйдя из одной пластины, непременно оканчиваются на другой. И тогда за­ ряды на пластинах всегда равны и противоположны друг другу, причем по величине намного превосходят величину за­ ряда на поверхности проводов. И наконец, мы считаем, что поблизости от конденсатора магнитных полей нет.

Рассмотрим теперь контурный интеграл от Е вдоль замк­ нутой петли, которая начинается на клемме а, проходит вну­ три провода до верхней обкладки конденсатора, перескаки-

• Кое-кто говорит, что предметы мы обязаны называть словами «ка­ тушка* и «конденсатор», а их свойства — соответственно «индуктивность* и «емкость». Но я лредпочитаю пользоваться словами, какие слышу в ла­ боратории, где почти всегда и про физическую катушку н про ее само­ индукцию L говорят «индуктивность». Точно так же предпочитают гово­ рить «емкость», «сопротивление», хотя часто можно услышать и слово «конденсатор».

170