книги / Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

Ф и г . 20.6. Сферическая волна “ф = f ( / — г / с ) / г .

Такая функция представляет сферическую волну общего вида, распространяющуюся от начала координат со скоростью с. Если на минуту забыть об г в знаменателе, то амплитуда волны как функция расстояния от начала координат в каж­ дый данный момент обладает определенной формой, которая распространяется со скоростью с. Однако г в знаменателе говорит нам, что по мере того, как волна распространяется, ее амплитуда убывает пропорционально 1/л Иными словами, в отличие от плоской волны амплитуда которой остается при движении все время одной и той же, амплитуда сферической волны беспрерывно спадает (фиг. 20.6). Этот факт легко по­ нять из простых физических соображений.

Мы знаем, что плотность энергии в волне зависит от квад­ рата амплитуды волны. По мере того как волна разбегается, ее энергия расплывается на все большую ибольшую площадь, пропорциональную квадрату радиуса волны. Если полная

сферической волны вполне «разумна».

Мы игнорировали другое возможное решение одномерного волнового уравнения

n|>= g ( / + 7 )

или

__ еа + г/с)

ч>— ,

Это тоже сферическая волна, но бегущая внутрь, от боль­ ших г к началу координат.

Тем самым мы делаем некоторое специальное предполо­ жение. Мы утверждаем (без какого-либо доказательства), что волны, создаваемые источником, всегда бегут только отнего.

141

Поскольку мы знаем, что волны вызываются движением за­ рядов, мы настраиваемся на то, что волны бегут от зарядов. Было бы довольно странно представлять, что прежде чем за­ ряды были приведены в движение, сферическая волна уже вышла из бесконечности и прибыла к зарядам как раз в тот момент, когда они начали шевелиться. Такое решение воз­ можно, но опыт показывает, что, когда заряды ускоряются, волны распространяются от зарядов, а не к ним. Хоть урав­ нения Максвелла предоставляют обеим волнам равные воз­ можности, мы привлекаем добавочный факт, основанный на опыте, что «физическим смыслом» обладает только расходя­ щаяся волна.

Нужно, однако, заметить, что из этого добавочного пред­ положения вытекает интересное следствие: мы теряем при этом симметрию относительно времени, которая есть у урав­ нений Максвелла. Как исходные уравнения для Е и В, таки вытекающие из них волновые уравнения при изменении знака / не меняются. Эти уравнения утверждают, что любому решению, которое отвечает волне, бегущей в одну сторону, отвечает столь же правильное решение для волны, бегущей

вобратную сторону. И утверждая, что мы намерены брать

врасчет только расходящиеся сферические волны, мы делаем тем самым важное дополнительное предположение. (Очень тщательно изучалась такая электродинамика, в которой обхо­ дятся без этого дополнительного предположения. Как это нп удивительно, но во многих обстоятельствах она не приводит

кфизически абсурдным результатам. Однако обсуждение этих идей теперь увлекло бы нас чересчур в сторону. Мы по­ говорим об этом подробнее в гл. 28.)

Нужно упомянуть еще об одном важном факте. В нашем решении для расходящейся волны (20.35) функция ф в на­ чале координат бесконечна. Это как-то необычно. Мы бы предпочли иметь такие волновые решения, которые гладки повсюду. Наше решение физически относится к такой ситуа­ ции, когда в начале координат располагается источник. Зна­ чит, мы нечаянно сделали одну ошибку: наша формула (20.35) не является решением свободного волнового уравне­ ния (20.33) повсюду, уравнение (20.33) с нулем в правой части решено повсюду, кроме начала координат. Ошибка вкралась оттого, что некоторые действия при выводе уравне­ ния при г = 0 «незаконны».

Покажем, что ту же самую ошибку легко сделать и в электростатике. Допустим, что нам нужно решить уравнение

жили, что никаких зарядов нигде нет. Но как обстоит дело со сферически симметричным решением уравнения, т, е. с

142

Г л а в а

РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА С ТОКАМИ И ЗАРЯДАМИ

§ 1. Свет и электромагнитные волны

В предыдущей главе мы видели, что среди решений уравнений Максвелла есть электро­ магнитные волны. Свету, радио, рентгеновским лучам и т. д. отвечают электромагнитные вол- 8 ны, отличающиеся только длиной волны. Мы уже подробно изучали различные явления,

связанные со светом. В этой главе мы хотим . _ связать оба вопроса и показать, что уравне- §4-Поля колеолю-

иия Максвелла действительно могли служить щегося диполя основой для изучения свойств света.

Наше изучение света мы начали с того, что §5. Потенциалы

Фие. 21.1, Поля в точке (/) в момент t зависят от того по­

ложения (2'), которое заряд q занимал о момент (t —г/с).

(/ —r'Jc). Штрихи здесь напоминают вам, что / —это так называемое «запаздывающее расстояние» от точки (2') к точке (/), а вовсе не теперешнее расстояние между точ­ кой (2) — положением заряда в момент t — и точкой поля (/) (фиг. 21.1).. Заметьте, что сейчас по-иному определяется на­ правление единичного вектора ег. В гл. 28 и 34 (вып. 3) мы уславливались, что г (и, стало быть, ег) будет показывать на источник. Теперь же мы следуем определению, используемому в формулировке закона Кулона, по которому г направлено

много меньше с и если рассматриваются только точки, сильно удаленные от заряда, так что в (2 1.1 ) существенно лишь последнее слагаемое, то поля можно также записать в виде

Рассмотрим более детально, что дает полное уравнение (21.1). Вектор ег—это единичный вектор, направленный от «запаздывающей» точки (2') к точке (/). Тогда первое сла­ гаемое дает то, чего следовало бы ожидать, если бы заряд в своем «запаздывающем» положении создавал кулоново поле, — это можно наззать «запаздывающим кулоновым по­ лем». Электрическое поле обратно пропорционально квад­ рату расстояния и направлено от «запаздывающего» положе­ ния заряда (т. е. по вектору ег<).

Но это только первое слагаемое. Остальные напоминают нам, что законы электричества не утверждают, что все поля, оставаясь, как и были, статическими, начинают просто за­ паздывать (а такое утверждение порой приходится слышать). К «запаздывающему кулонову полю» надо добавить два дру-

145

рое высказывание за исходную точку обсуждения, мы забот­ ливо объясняли, является ли это высказывание новым «до­ пущением», т. е. отражает ли оно основной закон природы или же его можно в конечном счете вывести из каких-то дру­ гих законов. Дух этих лекций обязывает нас обсудить связь между светом и уравнениями Максвелла. Может быть, вам будет кое-где и трудно--с этим уж ничего не поделаешь: другого пути не существует.

§1. Сферические волны от точечного источника

Вгл. 18 мы установили, что уравнения Максвелла можно решать подстановкой

где величина з (которая называется источником) известна.

ф —это Ах, и т. д. Но нас интересует чисто математическая задача решения (21.7) безотносительно к тому, каков физи­ ческий смысл ф и з.

Там, где р и j равны нулю (это место называется «пусто­ той»), там потенциалы ф и А и поля Е и В удовлетворяют трехмерному волновому уравнению без источников; матема­ тическая форма этого уравнения такова:

147

В гл. 20 мы видели, что решения этого уравнения могут пред­ ставлять волны разных сортов: плоские волны, бегущие » х-направлении г|>==- /(/ — х/с); плоские волны, бегущие вдоль у или вдоль z или в любом другом направлении; сферические волны вида

(Решения можно записать иначе — например, в виде цилинд­ рических волн, разбегающихся от оси.)

Мы тогда заметили, что физически формула (21.9) отно­ сится не совсем к пустоте: в начале координат должны быть какие-то заряды, иначе расходящаяся волна не получилась бы. Иными словами, формула (21.9) есть решение уравнения

вайте теперь посмотрим, что это за уравнение, т. е. какого рода источник $ в уравнении (21.7) должен вызвать волну типа (21.9).

Предположим, что имеется сферическая волна (21.9), и по­ глядим, во что она превращается при очень малых г. Тогда

Итак, ф в точности похоже на кулоново поле заряда, располо­ женного в начале координат. Мы знаем, что для небольшого сгустка заряда, ограниченного очень малой областью близ на­ чала координат и имеющего плотность р;

где Q = jprfV. Такой потенциал <р удовлетворяет уравнению

Следуя тем же расчетам, мы должны были бы сказать, что ф из выражения (2 1 .1 0 ) удовлетворяет уравнению

где s связано с / формулой

/ - 4я

148

при

S = JirfK .

Единственная разница в том, что в общем случае s, а, стало быть, и S может оказаться функцией времени.

Далее очень важно то, что если ф удовлетворяет (21.11) при малых г, то оно удовлетворяет также и (21.7). По мере приближения к началу координат зависимость ф от г типа 1/г приводит к тому, что пространственные производные ста­ новятся очень большими. А производные по времени остаются теми же. [Это просто производные /(/) по времени.] Так что, когда г стремится к нулю, множителем <?2ф/дР в уравнении (21.7) по сравнению с можно пренебречь, и (21.7) стано­ вится эквивалентным уравнению (2 1.1 1 ).

Подытоживая, можно сказать, что если функция источника s(t) из уравнения (21.7) сосредоточена в начале координат и ее общая величина равна

Влияние слагаемого с <Э2ф/д7* в (21.7) сказывается лишь на появлении запаздывания (/ — r/с) в потенциале кулонова типа.

§ 3. Общее решение уравнений Максвелла

Мы нашли решение уравнения (21.7) для «точечного» источника. Теперь встает новый вопрос: Каков вид решения для рассредоточенного источника? Ну, это решить легко; вся­ кий источник э(лг, у, z, t) можно считать состоящим из суммы многих «точечных» источников, расположенных поодиночке в каждом элементе объема dV и имеющих силу s(x,y,z,t)dV. Поскольку (21.7) линейно, суммарное поле представляет со­ бой суперпозицию полей от всех таких элементов источника.

Используя результаты предыдущего параграфа [см. (21.13)], мы получим, что в момент / поле с/ф в точке (.«i, уи 2 i) [или, короче, в точке (7)], создаваемое элементом источника sdVв точке (лга, у2, z2) [или, короче, в точке (2 )], выражается фор­ мулой

где Г)2 — расстояние от (2 ) до (/). Сложение вкладов от всех частей источника означает, конечно, интегрирование по всей

14»

области, где s ф 0, так что мы имеем

(21.14)

Иначе говоря, поле в точке (/) в момент времени t представ­ ляет собой сумму всех сферических волн, испускаемых в мог мент t — Ги/с всеми элементами источника, расположенного в точке (2). Выражение (21.14) является решением нашего волнового уравнения для любой системы источников.

Теперь мы видим, как получать общее решение уравнений Максвелла. Если подразумевать под • ф скалярный потен­ циал ф, то функция источника s превращается в р/ео. А мо­ жно считать, что ф представляет одну из трех компонент век­ торного потенциала А; тогда s означает соответствующую компоненту j/e o c 2. Стало быть, если во всех точках известна плотность зарядов р(х, у, г, t) и плотность тока \(х, у, г, /), то решения уравнений (21.4) и (21.5) можно выписать не­ медленно:

Поля E и В получатся дифференцированием потенциалов (используются выражения (21.2) и (21.3)]. Кстати, можно про­ верить явно, что ф и А, полученные из (21.15) и (21.16), дей­ ствительно удовлетворяют равенству (2 1.6 ).

Мы решили уравнения Максвелла. В любых обстоятель­ ствах, если только заданы токи и заряды, из этих интегралов можно определить потенциалы, а затем, продифференцировав их, получить поля. Тем самым с теорией Максвелла покон­ чено. И это позволяет нам также замкнуть круг и вернуться к нашей теории света, потому что достаточно только подсчи­ тать электрическое поле движущегося заряда, чтобы связать все это с нашей прежней теорией света. Все, что нам остается сделать, — это взять движущийся заряд, вычислить из этих интегралов его потенциал и затем из —Уф — dA/dt, диффе­ ренцируя, найти Е. Мы должны получить формулу (2 1.1 ). Ра­ боты придется проделать много, но принцип ясен.

Итак, мы дошли до центра электромагнитной вселенной. У нас в руках полная теория электричества, магнетизма и света, полное описание полей, создаваемых движущимися за­ рядами, и многое, многое другое. Все сооружение, воздвигну­ тое Максвеллом, во всей его полноте, красе и мощи сейчас перед нами. Это, пожалуй, одно из величайших свершений физики. И чтобы напомнить о его важности, мы переписы­ ваем все формулы вместе и обводим их красивой рамкой.

150