книги / Фейнмановские лекции по физике. Вып. 6 Электродинамика

ного значения между сверхпроводимостью и нормальной про­ водимостью, ток в соленоиде обратится в нуль вследствие сопротивления проволоки. Поток, как и раньше, упадет до нуля и вокруг оси возникнет электрическое поле. Мы хотели бы также предостеречь вас, что решение не простое, но это и не обман. Когда вы разберетесь в этом, вы обнаружите важ­ ный закон электромагнетизма.

§ 5. Генератор переменного тока

В оставшейся части этой главы мы применим принципы, изложенные в § 1 для анализа ряда явлений, обсуждавшихся в гл. 16. Сначала мы рассмотрим подробно генератор пере­ менного тока. Такой генератор в основном состоит из прово­ лочной катушки, вращающейся в однородном магнитном поле. Тот же самый результат может быть достигнут с помощью неподвижной катушки в магнитном поле, направление кото­ рого вращается по способу, описанному в предыдущей главе. Мы рассмотрим лишь первый случай. Пусть имеется круглая катушка нз проволоки, которая может вращаться вокруг оси, проходящей вдоль одного из ее диаметров. И пусть эта ка­ тушка помещена в магнитное поле, перпендикулярное оси вращения (фиг. 17.6). Представим себе, что оба конца катуш­ ки выведены на внешнюю цепь с помощью каких-нибудь скользящих контактов.

Благодаря вращению катушки магнитный поток через нее

полем и нормалью к плоскости катушки *. Тогда поток через

Если катушка .вращается с постоянной угловой скоростью <о, то 0 меняется со временем как ш/. Тогда э. д. с. 8 в ка­ тушке равна

Если мы выведем провода из генератора на некоторое рас­ стояние от вращающейся катушки, в место, где магнитное поле равно нулю или хотя бы не меняется со временем, то ро­ тор от Е в этой области будет равен нулю, и мы сможем определить электрический потенциал. В самом деле, если ток не уходит из генератора, то разность потенциалов V между

* Мы пользуемся сейчас буквой А для обозначения векторного по­ тенциала, поэтому площадь мы предпочитаем обозначать через S,

61

Нагрузка

-В

двумя проводами будет равна э. д. с. вращающейся катушки, т. е.

V = BSto sin со* — Vosin со*.

Разность потенциалов в проводах меняется как sin со*. Такая меняющаяся разность потенциалов называется переменным напряжением.

Поскольку между проводами имеется электрическое поле, они должны быть электрически заряжены. Ясно, что э.д.с. генератора выталкивает лишние заряды в провода, пока их электрическое поле не становится достаточно сильным, чтобы в точности уравновесить силу индукции. Если посмотреть на генератор со стороны, то покажется, будто два провода элект­ ростатически заряжены до разности потенциалов V, а заряды как бы меняются со временем, создавая переменную разность потенциалов. Есть и еще одно отличие от того, что наблю­ дается в случае электростатики. Если присоединить генера­ тор к внешней цепи, по которой может проходить ток, мы обнаружим, что э. д. с. не позволяет проводам разряжаться, а продолжает подпитывать их зарядами, когда из них уходит то.к, стремясь сохранить на проводах одну и ту же разность потенциалов. Если генератор подключен к цепи, полное со­ противление которой равно R, ток в цепи будет пропорцио­ нален э.д.с. генератора и обратно пропорционален R. По­ скольку э. д. с. синусоидально изменяется со временем, то и ток делает то же самое. Возникает переменный ток

Схема такой цепи приведена на фиг. 17.7.

Мы можем также заметить, что э. д. с. определяет коли­ чество энергии, поставляемое генератором. Каждый заряд в проводе получает в единицу времени энергию, равную F-v,

62

;

Ф и г. /7.7. Цепь с генератором переменного тока и сопротивле- нчем.

элементе ds провода, равна

F • \п ds.

В проводе скорость v всегда направлена вдоль ds, так что мощность можно переписать в виде

nvF • ds.

Вспомним теперь, что qnv — это ток I и что э. д. с. опреде­ ляется как интеграл от F/q по всей цепи. Мы получаем

Когда в катушке генератора имеется ток, на нее непре­ менно действуют механические силы. В самом деле, мы знаем, что вращающий момент, действующий на катушку, пропорционален ее магнитному моменту, напряженности маг­ нитного поля В и синусу угла между ними. Магнитный мо­ мент есть ток катушки, умноженный на её площадь. Поэтому вращающий момент равен

T=ASfisinO. (17.17)

Скорость, с которой должна совершаться механическая ра­ бота, чтобы поддерживать вращение катушки, есть угловая скорость о, умноженная на вращающий момент силы:

Сравнивая это выражение с (17.14), мы видим, что затраты механической работы в единицу времени, требуемые для вра­ щения катушки против магнитных сил, в точности равны 8 1 — электрической энергии, поставляемой э. д. с. генератора

вединицу времени. Вся механическая энергия, расходуемая

вгенераторе, появляется в виде электрической энергии в цепи.

63

В качестве другого примера токов и сил, обусловленных индуцированной э. д. с., проанализируем, что же происходит в установке, показанной на фиг. 17.1. Имеются U-образная проволока и скользящая перемычка, расположенные в одно­ родном магнитном поле, перпендикулярном плоскости парал­ лельных проволок. Теперь предположим, что «дно» U (левая часть фиг. 17.1) сделано из проволоки с большим сопротив­ лением, тогда как две боковые проволоки сделаны из хоро­ шего проводника вроде меди — в этом случае нам не надо беспокоиться об изменении сопротивления цепи при движе­ нии перекладины. Как и раньше, э. д. с. цепи равна

Ток в цепи пропорционален этой э. д. с. и обратно пропорцио­ нален сопротивлению цепи:

Благодаря этому току на перемычку будет действовать магнитная сила, пропорциональная длине перемычки, току в ней и магнитному полю:

Мы видим, что сила пропорциональна скорости перемещения перемычки. Направление силы, как легко понять, противо­ положно скорости. Такая «пропорциональная скорости» сила, похожая на силу вязкости, получается всякий раз, когда дви­ жущиеся проводники создают индуцированные токи в маг­ нитном поле. Вихревые токи, о которых мы говорили в пре­ дыдущей главе, приводят также к силам, действующим на проводники и пропорциональным скорости проводника, хотя такие случаи в общем дают более сложные распределения токов, которые трудно анализировать.

При конструировании механических систем часто бывает удобно располагать тормозящими силами, пропорциональ­ ными скорости. Вихревые токи дают один из наиболее удоб­ ных способов получения таких зависящих от скорости сил.

Пример применения подобных сил можно'найти в обычном домашнем счетчике — ваттметре. Там имеется тонкий алюми­ ниевый диск, вращающийся между полюсами постоянного магнита. Этот диск приводится в движение маленьким элект­ ромотором, вращающий момент которого пропорционален мощности, потребляемой в электросети квартиры. Вихревые токи в диске вызывают силу сопротивления, пропорциональ*

64

ную скорости. Следовательно, скорость диска устанавли­ вается пропорциональной скорости потребления электроэнер­ гии. С помощью счетчика, присоединенного к вращающемуся диску, подсчитывается число оборотов диска. Так опреде­ ляется полная потребленная энергия, т. е. число использо­ ванных ватт-часов.

Согласно формуле (17.22), сила от индуцированных токов, т. е. всякая сила от вихревых токов, обратно пропорциональна сопротивлению. Сила тем больше, чем лучше электропровод­ ность материала. Причина, разумеется, заключается в том, что при малом сопротивлении э. д. с. создает больший ток, а большие токи дают большие механические силы.

Из наших формул мы можем увидеть, как механическая энергия превращается в электрическую энергию. Как и рань­ ше, электрическая энергия, выделяемая в сопротивлении цепи, есть произведение <87. Работа в единицу времени, со­ вершаемая при движении перекладины, есть произведение силы, действующей на перекладину, на ее скорость. Исполь­ зуя для силы выражение (17.21), получаем работу в единицу времени:

Мы видим, что она действительно равна произведению #7, которое мы получаем из (17.19) и (17.20). Снова механиче­ ская работа появляется в виде электрической энергии.

§ 6. Взаимная индукция

Теперь нам нужно рассмотреть случай, когда проволочные катушки неподвижны, а меняются магнитные поля. Описывая образование магнитного поля токами, мы рассматривали только случай постоянных токов. Но если токи меняются мед­ ленно, магнитное поле в каждый момент будет примерно та­ кое же, как магнитное поле постоянного тока. Мы будем счи­ тать в этом параграфе, что токи всегда меняются достаточно медленно, и можно сказать, что это утверждение справед-. ливо.

На фиг. 17.8 показано устройство из двух катушек, с по­ мощью которого можно продемонстрировать основные эффек­ ты, ответственные за работу трансформатора. Катушка 1 со­ стоит из проводящей проволоки, свитой в виде длинного соле­ ноида. Вокруг этой катушки и изолированно от нее навита катушка 2, состоящая из нескольких витков проволоки. Если теперь по катушке 1 пропустить ток, то, как мы знаем, внутри нее появится магнитное поле. Это магнитное поле проходит также сквозь катушку 2. Когда ток в катушке 1 меняется,

6S

инт егралу от rfsi • d s2 • (1/ги).

Предположим теперь, что нам нужно было бы пропустить ток через катушку 2 и нас интересует, чему равна э. д. с. в катушке /. Мы вычислили бы магнитное поле, которое по­ всюду пропорционально току /2. Поток сквозь катушку 1 за­ висел бы от геометрии, но был бы пропорционален току /2. Поэтому э. д. с. в катушке 1 снова была бы пропорциональна dli/dt. Мы можем записать

(17.27)

Вычисление Щг было бы труднее, чем те вычисления, ко­ торые мы проделали для ЭД21. Мы не будем сейчас им зани­ маться, потому что дальше в этой главе мы покажем, что ЗИи обязательно равно SDl2i.

Поскольку поле любой катушки пропорционально текуще­ му в ней току, такой же результат получился бы и для любых двух катушек из проволоки. Выражения (17.26) и (17.27) при­ обрели бы одинаковую форму, и только постоянные SWi2 и SDlat были бы другие. Их значения будут зависеть от формы ка­ тушек и их относительного положения.

Предположим, нам нужно найти коэффициент взаимной индукции между двумя произвольными катушками, например показанными на фиг. 17.9. Мы знаем, что общее выражение для э. д. с. в катушке / можно записать так:

о»

где В— магнитное поле, а интеграл берется по поверхности, ограниченной контуром 1. В гл. 14, § 1 (вып. 5) мы видели, что поверхностный интеграл от В можно свести к контурному интегралу от векторного потенциала. В нашем случае•

• n da = ф А • cfS[, (и <i)

где А— векторный потенциал, a ds\ — элемент цепи 1. Кон­ турный интеграл берется вдоль контура 1, поэтому э. д. с.

67

Теперь предположим, что векторный потенциал цепи 1 воз­ никает за счет токов в цепи 2. Тогда его можно записать как контурный интеграл по контуру цепи 2:

ds2до точки на контуре 1, в которой мы вычисляем векторный потенциал (см. фиг. 17.9). Комбинируя (17.28) и (17.29), можно выразить э. д. с. в цепи I как двойной контурный ин­ теграл:

В этом выражении все интегралы берутся по неподвижным контурам. Единственной переменной величиной является ток /г, который не зависит от переменных интегрирования. По­ этому его можно вынести за знак интеграла. Тогда э. д. с. можно записать как

<//2

121 Г '

где коэффициент Шц равен

< 1 7 - 3 0 >

0 ) (2)

Из этого интеграла очевидно, что 3JIi2 зависит только от гео­ метрии цепей; он зависит от некоторого среднего расстояния между двумя цепями, причем в среднее с наибольшим весом входят параллельные отрезки проводников двух катушек. Нашу формулу можно использовать для вычисления коэффи­ циента взаимной индукции любых двух цепей произвольной формы. Кроме того, она показывает, что интеграл для ЗЛ|2 тождествен с интегралом для S&fei. Таким образом, мы пока­ зали, что оба коэффициента одинаковы. Для системы только с двумя катушками коэффициенты Ш\% и SK2i часто обозна­ чают символом 2R без значков и называют просто коэффи­ циентом взаимной индукции:

Зй12 = аК21 = ЗЙ.

€8

§ 7. Самоиндукция

При обсуждении индуцированных э. д. с. в двух катушках на фиг. 17.8 и 17.9 мы рассмотрели лишь случай, когда ток проходит либо в одной катушке, либо в другой. Если токи имеются одновременно в обеих катушках, то магнитный по­ ток, пронизывающий каждую катушку, будет представлять сумму двух потоков, существующих и по отдельности, по­ скольку к магнитным полям применим принцип суперпозиции. Поэтому э. д. с. в каждой катушке будет пропорциональна не только изменению тока в другой катушке, но и изменению тока в ней самой. Таким образом, полную э. д. с. в катушке 2 следует записать в виде *

(17.31)

Аналогично, э. д. с. в катушке 1 будет зависеть не только от изменяющегося тока в катушке 2, но и от изменяющегося тока в ней самой:

Коэффициенты 5Й22 и 2Лц всегда отрицательны. Обычно пи­ шут

где &\ и З ’з называют коэффициентами самоиндукции двух катушек (или индуктивностями).

Конечно, э. д. с. самоиндукции будет существовать даже для одной катушки. Любая катушка сама по себеобладает коэффициентом самоиндукции S?, и ее э. д. с. будет пропор­ циональна скорости изменения тока в катушке. Обычно счи­ тают, что э. д. с. и ток одной катушки положительны, если они направлены одинаково. При этом условии для отдельной

Знак минус указывает на то, что э. д. с. противодействует изменению тока, ее часто называют «обратной э. д. о .

Поскольку любая катушка обладает самоиндукцией, про­ тиводействующей изменению тока, ток в катушке обладает своего рода инерцией. Действительно, если мы хотим изменить ток в катушке, мы должны преодолеть эту инерцию, при­ соединяя катушку к какому-то внешнему источнику, напри-

ф ЗнакЭД|2 и ЯЯ21 в (17.31) и (17.32) зависит от произвола в выборе положительного направления токов в обеих катушках.

09

Ф и г . 17JO. Ц епь с ист очником напряж ения и индукт ивност ью (а) и а н а ло ги чн а я ей м еха н и ческа я си - стема (б ).

а

о

мер батарее или генератору (фиг. 17.10,а). В такой цепи ток / связан с напряжением У соотношением

Это соотношение имеет форму уравнения движения Нью­ тона для частицы в одном измерении. Поэтому мы можем ис­ следовать его по принципу «одинаковые уравнения имеют одинаковые решения». Таким образом, если поставить в со­ ответствие напряжение У от внешнего источника приложен­ ной внешней силе F, а ток / в катушке скорости v частицы, то коэффициент индукции катушки 2 будет соответствовать массе m частицы* (фиг. 17.10,6).

Т аблица 17.1 • СОПОСТАВЛЯЕМЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

* Кстати, это не единственный способ установления соответствия между механическими и электрическими величинами.

70