книги / Механика грунтов
..pdfИз рис. 80 находим
й у = * * |
(б) |
соз В
Подставляя значение йу в выражение (а), получим
РУШ$
(В)
СОЗ р
Принимая элементарную нагрузку йР как сосредоточенную силу и подставляя значение АР в формулы (70), получим на-
Рис. 80. Общий случай действия местной -нагрузки условиях плоской задачи
пряжения, вызываемые одним элементом нагрузки. Если нагруз ка распространяется от точки А (М (У ДО ТОЧКИ В (Р=Р1), то, суммируя напряжения от отдельных элементов ее, получим вы ражения для напряжений в любой точке массива от действия сплошной полосообразной нагрузки:
= |
Р1 |
1 |
-------] русоз2(Заф; |
|
|
|
* |
|
° у = |
— — I Ру ЗШ2 рйф; |
(Г) |
|
* К |
|
|
р| |
|
Т — |
-----------( Р у 81п (3 СОЗ р й ф . |
|
ЛЯ .
Равномерно распределенная нагрузка
В частном случае при действии на поверхность грунта рав номерно распределенной полосообразной нагрузки (рис. 81) интегрирование выражений (г) при ру = р = сопз! дает:
|
Р_ |
|
З1п 2Р4 — ( ± р2) ------81п (± . 2ра) ; |
|
|
к [р 1 + - у |
(д) |
||
ау |
Р_ |
~ |
5{п 23х— (± Щ - -^зш (± 2ра) ; |
(ДО |
тс■ Р1 |
||||
|
|
* = |
— ■ (соз2р2 — соз 2^). |
(д") |
Величина Р2 со знаком плюс принимается для точек М, лежащих вне вертикальных плоскостей, ограничивающих равно-
Рис. 81. Схема действия равномерно распределенной на грузки в условиях плоской задачи
мерно распределенную нагрузку, а со знаком минус — для то чек Мь лежащих внутри указанных плоскостей. Величины со ставляющих напряжений, выраженные в долях от интенсив ности внешней равномерно распределенной нагрузки, даны в табл. 15.
Можно показать, что главными направлениями площадок, т. е. которые соответствуют площадкам, испытывающим глав ные (наибольшее и наименьшее) нормальные напряжения, бу
дут |
направления, |
расположенные по |
биссектрисам |
«углов |
||
в и д имо с т и » 2(3 |
и |
им перпендикулярные |
(рис. 82). |
Проще |
||
всего |
это положение |
доказывается |
для |
горизонтальных и |
||
|
|
|
|
аг, су и т, выраженные |
|
Т а б л и ц а 15 |
||||
Величины напряжений |
в долях от |
интенсив |
||||||||
ности равномерно распределенной |
нагрузки р, в случае |
плоской |
||||||||
|
|
|
|
|
задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значения у1Ь |
|
|
|
|
|
г |
|
0 |
|
|
0,25 |
|
|
0,5 |
|
|
Ь |
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
X |
|
** |
Зу |
|
9у |
X |
|
|
|
||
0 |
1,00 |
1,00 |
0 |
1,00 |
1,00 |
0 |
0,50 |
0,50 |
0,32 |
|
0,25 |
0,96 |
0,45 |
0 |
0,90 |
0,39 |
0,13 |
0,50 |
0,35 |
0,30 |
|
0,5 |
0,82 |
0,18 |
0 |
0,74 |
0,19 |
0,16 |
0,48 |
0,23 |
0,26 |
|
0,75 |
0,67 |
0,08 |
0 |
0,61 |
0,10 |
0,13 |
0,45 |
0,14 |
0,20 |
|
1 |
0,55 |
(404 |
0 |
0,51 |
0,05 |
0,10 |
0,41 |
0,09 |
0,16 |
|
1,25 |
0,46 |
0,02 |
0 |
0,44 |
0,03 |
0,07 |
0,37 |
0,06 |
0,12 |
|
1,5 |
0,40 |
0,01 |
0 |
0,38 |
0,02 |
0,06 |
0,33 |
0,04 |
0,10 |
|
1,75 |
0,35 |
' — |
0 |
0,34 |
0,01 |
0,04 |
0,30 |
0,03 |
0,08 |
|
2 |
0,31 |
— |
0 |
0,31 |
— |
0,03 |
0,28 |
0,02 |
0,06 |
|
3 |
0,21 |
— |
0 |
0,21 |
— |
0,02 |
0,20 |
0,01 |
0,03 |
|
4 |
0,16 |
|
0 |
0,16 |
— |
0,01 |
0,15 |
— |
0,02 |
|
5 |
0,13 |
— |
0 |
0,13 |
— |
— |
0,12 |
— |
— |
|
6 |
0,11 |
— |
0 |
0,10 |
— |
— |
0,10 |
— |
— |
|
|
|
|
|
|
Значения у Ь |
|
|
|
|
|
г |
|
1 |
|
|
1,5 |
|
|
2 |
|
|
ь |
|
|
X |
|
а |
X |
|
|
9у |
X |
|
|
ау |
|
°2 |
|
|||||
|
|
|
У |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 ,0 0 |
0 |
|
0 |
0,25 |
0,02 |
0,17 |
0,05 |
0,00 |
0,07 |
0,01 |
0 ,0 0 |
0,04 |
0 ,0 0 |
|
0,5 |
0,08 |
0,21 |
0,13 |
0,02 |
0,12 |
0,04 |
0 ,0 0 |
0,07 |
0 ,0 2 |
|
0,75 |
0,15 |
0,22 |
0,16 |
0,04 |
0,14 |
0,07 |
0 ,0 2 |
0,10 |
0,04 |
|
1 |
0,19 |
0,15 |
0,16 |
0,07 |
0,14 |
0,10 |
0,03 |
0,13 |
0,05 |
|
1,25 |
0,20 |
"0,11 |
0,14 |
0,10 |
0,12 |
0,10 |
0,04 |
0,11 |
0,07 |
|
1,5 |
0,21 |
0,03 |
0,13 |
0,11 |
0,10 |
0,10 |
0 ,0 6 |
0,10 |
0,07 |
|
1,75 |
0,21 |
0,06 |
0,11 |
0,13 |
0,09 |
0,10 |
0,07 |
0,09 |
0,08 |
|
2 |
0,20 |
0 ,-5 0,10 |
0,14 |
0,07 |
0,10 |
0,08 |
0,08 |
0,08 |
||
3 |
0,17 |
0,02 |
0,06 |
0,13 |
0,03 |
0,07 |
0 ,1 0 |
0,04 |
0,07 |
|
4 |
0,14 |
0,01 |
0,03 |
0,12 |
0,02 |
0,05 |
0 ,1 0 |
0,03 |
0,05 |
|
5 |
0,12 |
— |
— |
0,11 |
— |
— |
0,09 |
|
— |
— |
6 |
0 , 10- |
— |
— |
0,10 |
— |
— |
— |
|
— |
— |
вертикальных площадок, расположенных по вертикальной осщ проходящей через середину нагруженной полосы. Действитель но, для точек, расположенных по оси симметрии:
|
|
р1 “ |
“ Р» |
|
|
|
откуда касательное |
(сдвигающее) |
напряжение |
|
|||
т = |
— (соз 2?2 |
С05 2рх)= 0. |
|
|
||
|
2л |
|
|
|
|
|
Следовательно, для |
этих |
точек |
напряжения |
а, |
и оу будут |
|
главными напряжениями |
и о2), |
так |
как |
известно, что |
||
главные направления не имеют касательных напряжений. Подставляя в формулы (д) и (д7) значение углов р,-}-[52=2р,
получим известные формулы для г л а в н ы х н а п р я ж е н и й в любой точке линейно-деформируемого массива под действием полосообразной равномерно распределенной нагрузки в зависи мости от величины угла видимости 2$:
01 = - ^ - ( 2 Р + 81п 2Р);'
Л
(71)
о, = ---- — (2? — зт 2Р).
Л
Формулы (71) дают возможность построить эллипсы напря жений для ряда точек, что наглядно характеризует напряжен ное состояние грунта под полосообразной равномерно распреде ленной нагрузкой (рис. 82).
Рис. 82. Расположение эллипсов напряжений при действии равномерно распределенной нагрузки в условиях плоской задачи
Для иллюстрации напряженного состояния массива грунта при действии полосообразной равномерно распределенной на грузки построены эпюры распределения сжимающих напряже
ний |
для различных вертикальных (рис. 83, а) и горизон |
|
тальных (рис. 83, |
б) сечений массива. |
|
а) |
3 |
1) |
|
|
|
Рис. 83. Эпюра |
распределения |
сжимающих напряжений |
|
а — по вертикальным сечениям массива грунта при |
действии полосообразной равно |
||
мерно распределенной |
нагрузки; б — то |
же, по |
горизонтальным сечениям |
Из рассмотрения приведенных данных делаем вывод, что максимальные сжимающие напряжения будут наблюдаться по оси симметрии полосообразной нагрузки (при у=0), причем с увеличением глубины и расстояния от оси симметрии вели чина их уменьшается. Наглядное представление о распреде лении напряжений в массиве грунта дают линии одинаковых напряжений, изображенные на рис. 84.
Если ограничиться учетом напряжений, составляющих определенную долю от интенсивной внешней нагрузки р, на пример 0,1р, то, согласно рис. 84, влияние сжимающих напря жений ог сказывается на большую глубину (примерно до 66), горизонтальные же нормальные напряжения оу особенно ин
тенсивны будут в относительно узкой области под нагруженной поверхностью (до глубины примерно 1,56 и, наконец, сдвигаю щие напряжения т имеют наибольшие значения до 0,32 р под ребрами полосообразной нагрузки. Такой характер распределе ния напряжений должен в полной мере учитываться при изу-
Рис. 84. |
Линии равных напряжений |
в |
линейно-деформируемом |
массиве |
|||
|
|
в случае |
плоской |
задачи |
|
||
а — линии |
одинаковых |
вертикальных |
напряжений |
сг^ (изобары); б — линии одина |
|||
ковых горизонтальных |
напряжений (распоры) |
|
; в — линии одинаковых |
скалываю |
|||
|
|
щих напряжений |
т |
(сдвиги) |
|
||
чении напряженного состояния естественных оснований соору жений. Так, глубина зоны, влияющей на осадки сооружений, на которую сказывается главным образом величина ог9 будет значительна; влияние распоров сту необходимо учитывать не только непосредственно под нагруженной поверхностью, но и в стороне от нее; зоны же с наибольшими сдвигающими напряже ниями т, влияющими на выдавливание грунта из-под сооруже ний, будут возникать у ребер фундаментов.
Другие виды нагрузок
Рассмотрим распределение напряжений для нескольких случаев других видов нагрузок, действующих на поверхность грунта в условиях плоской задачи и имеющих наибольшее чис
ло |
приложений |
на |
|
|
|
|
|
практике. |
|
|
|
|
•« |
И 1 |
|
1. Г о р и з о н т а л ь - |
1 |
1 |
1 |
1 |
I |
||
|
|
|
|
/ 7 |
77У |
/V/Л У7 7 7 7 7 7 У у 77/Т/'/УУ//’X |
|
раничивающеи плоско* |
/ / / / / / / / / / / / / / / / , |
у ////////////////// |
|||||
|
|
|
|
|
|||
сти) |
равномерно |
рас |
|
|
|
|
— х — »(х,г) |
пределенная н а г р у з |
|
|
|
|
|
||
ка |
(рис. 85). Решение |
|
|
|
|
|
|
для |
рассматриваемого |
|
|
|
|
г |
|
случая получено проф. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
Г.В. Колосовым, а
таблицы и графики на |
Рис. 85. Схема действия горизонтальной рав |
||||||
|
номерно распределенной нагрузки |
|
|||||
пряжений |
составлены |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
проф. Н. |
Н. |
Масло |
|
|
|
|
|
вым1. Имеем: |
1п(6 .+ * )Ч - *2 __ |
4Ь^хг2 |
|
|
|||
|
± |
|
|
||||
|
|
(Ьг - -*)2+ |
|
+ г-)2-4 ь \ х * ' |
|
||
|
|
|
|
4Ьгдхг2 |
|
|
|
|
|
ъ[ф1+ х*+гу— 4Ь1X*} ’ |
|
(72) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Уг |
— |
^агс!§ ~ |
~ |
+ агс!§ |
|
|
|
|
|
2Ьхдг |
Ь\— х2\- г2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
(Ь\+х2+ г2)2— Щх* |
|
|
|
На рис |
86 |
приведены |
кривые |
равных |
горизонтальных |
на- |
|
пряжений |
|
в долях |
от интенсивности |
горизонтальной |
на- |
||
грузки д. |
|
|
|
|
|
|
|
2. Н а г р у з к а , м е н я ю щ а я с я по з а к о н у т р е у г о л ь ника . На практике часто возникают задачи определения на пряжений в грунте от действия неравномерных нагрузок, интен сивность которых может меняться по различным законам. Основным случаем такой неравномерной нагрузки будет на грузка, интенсивность которой меняется по прямолинейному
закону, |
возрастая |
от нуля до |
конечного |
значения р, т. е. |
н а г р у з к а , м е н я ю щ а я с я по з а к о н у |
т р е у г о л ь н и к а |
|||
(рис. 87). |
|
|
|
|
1 Н. |
Н. М а с л о в . |
Прикладная |
механика грунтов. Машстройиздат, |
|
1940. |
|
|
|
|
*1
Рис. 86. Кривые равных горизонтальных напряжений |
ау в долях |
от интенсивности горизонтальной нагрузки |
д |
Рис. 87. Схема нагрузки, меняющейся по закону треугольника
Приняв обозначения по рис. 87 и учитывая, что в рассмат риваемом случае
Ру = Р-%-’ У = г1(18р-*8р2).
после подстановки в формулы общего случая (г) и интегри рования получим1
|
|
|
|
71Ь |
81П2 Рх — |
51П2 Р2 — |
|
|
|
|
|
|
|
||||
- |
Р 2 ( ? ! |
+ |
З Ш |
2 р ! — Р а — \ |
51П |
2 ?2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Р*_ |
(соз2 ^ — 21п соз Р!~ соз2 (32 |
21п соз р2) |
|
|
|
|||||||||||
|
71Ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(73) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
^2 (р! - |
|
зт |
|
- |
р2 + |
у |
з!п 2ра^ ; |
|
|
|
|
|||
|
V |
= |
ёП81п |
|
_ |
з1п 2^2 + 2 |
~ Р») - |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
- |
(32 (соз 2^1 — соз 2р2)]. |
|
Т а б л и ц а 16 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Величины напряжений а2 в линейно-деформируемом массиве при |
|||||||||||||||||
|
действии полосообразной нагрузки, меняющейся по закону |
|
|||||||||||||||
треугольника, |
выраженные |
в |
долях |
от максимальной интенсивности |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
нагрузки |
|
|
|
|
|
|
|||
г\Ъ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значения у]Ь |
|
|
|
|
|
||
-1 ,5 | |
|
- 1 |
| - 0 ,5 |
| |
0 |
| |
0,25 |
0,5 |
|1 |
0,75 |
1 |
1 1-8 |
1 |
1 |
2,5 |
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 I |
|
||||
.0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0,25 |
0,5 |
|
0,75 |
0,5 |
0 |
|
0 |
0 |
||
0,25 |
— |
— |
0,001 |
0,075 |
0,256 |
0,430 |
0,643 |
0,424 |
0,015 |
|
0,003 |
__ |
|||||
0,5 |
0,002 |
0,003 |
0,023 |
0,127 |
0,263 |
0,410 |
0,477 |
0,353 |
0,056 |
|
0,017 |
0,003 |
|||||
0,75 |
0,006 |
0,016 |
0,042 |
0,153 |
0,248 |
0,335 |
0,361 |
0,293 |
0,108 |
|
0,024 |
0,000 |
|||||
1 |
0,014 |
0,025 |
0,061 |
0,159 |
0,223 |
0,275 |
0,279 |
0,241 |
0,129 |
|
0,045 |
0,013 |
|||||
1,5 |
0,020 |
0,048 |
0,096 |
0,145 |
0,178 |
0,200 |
0,202 |
0,185 |
0,124 |
|
0,062 |
0,041 |
|||||
2* |
0,033 |
0,061 |
0,092 |
0,127 |
0,146 |
0,155 |
0,163 |
0,153 |
0,108 |
|
0,069 |
0,050 |
|||||
3 |
0,050 |
0,064 |
0,08 |
0,096 |
0,103 |
0,104 |
0,108 |
0,104 |
0,090 |
|
0,071 |
0,050 |
|||||
4 |
0,051 |
0,06 |
0,067 |
0,075 |
0,078 |
0,085 |
0,082 |
0,075 |
0,073 |
|
0,060 |
0,049 |
|||||
5 |
0,047 |
0,052 |
0,057 |
0,059 |
0,С62 |
0,063 |
0, С68 |
0,065 |
0,161 |
|
0,051 |
0,047 |
|||||
6 |
0,041 |
0,041 |
0,050 |
0,051 |
0,052 |
0,053 |
0,053 |
0,053 |
0,050 |
|
0,050 |
0,045 |
|||||
1 Н. |
А. Ц ы т о в и ч. О распределении |
напряжений в грунтах под дей |
ствием |
местной неравномерной нагрузки. |
ЛИИКС, 1931. |
Приведенные выражения (73) могут служить для вычисле ния величин составляющих напряжений в линейно-деформи- руемом массиве грунта при действии неравномерной нагрузки, изменяющейся по закону треугольника (табл. 16); при этом необходимо учитывать знаки углов и {32.
Для иллюстрации распределения напряжений в массиве грунта при действии полосообразной нагрузки, меняющейся по закону треугольника, на рис. 88 приведены эпюры изменений
Рис. 88. Эпюры распределения сжимающих напряжений по горизонтальным и вертикальным сечениям массива грунта при действии треугольной нагрузки
сжимающих напряжений |
по горизонтальным |
и вертикаль |
|
ным сечениям массива, построенные в результате вычислений |
|||
по вышеприведенной формуле (73). |
з а к о н у п р я |
||
3. |
Любая н а г р у з к а , |
м е н я ю щ а я с я по |
|
мой. Для линейно-деформируемого полупространства в усло виях плоской задачи при любой насыпной нагрузке, меняю щейся по закону прямой, например по эпюрам треугольной, трапецеидальной, прерывистой прямоугольной и пр., верти кальные сжимающие напряжения аг для горизонтальных пло щадок любой точки полупространства легко определяются по графику Остерберга1 (рис. 89). Сжимающие напряжения вы-
1 I. |
О. |
Оз 1 е г Ье г § ; \ Ргос. |
о! 1Ье IV 1п1егп. СопГ оп 5оП. МесЬ. а |
Гоппе!. |
Епдг. |
Рер. За/28, Ьопс1оп, |
1957. |