книги / Теплотехнические измерения и приборы
..pdfиый, воздействовать на вход других звеньев и т. д. Ниже рассма триваются некоторые типовые способы соединения звеньев.
Последовательное соединение звеньев или элементов (рис. 1-5-2) характе ризуется тем, что выходной сигнал каждого звена является входным сигналом последующего. Полагая статические характеристики п звеньев линейными, вида (1-5-14), получаем статическую характеристику системы
y = k xk 2 ... |
к пх . |
(1-5-19) |
Из этого выражения следует, что коэффициент передачи средства измере нии с последовательным соединением элементов равен произведению коэффи* циентов передачи этих элементов.
Рис. 1-5-2. Последовательное соединение звеньев.
Если статические характеристики звеньев или элементов нелинейны, то для средства измерений из двух звеньев или элементов имеем:
0a~M/i(*)]. |
(1-5-20) |
В тех случаях, когда функциональные зависимости tji = / (х) |
и у 2 = f (t/i) |
обратны по своему характеру, то общая характеристика средства измерений линейна. Это обстоятельство используется для линеаризации статических харак теристик приборов и измерительных преобразователей.
Рис. 1-5-3. Параллельное соединение |
Рис. 1-5-4. Встречно-параллельное сое- |
звеньев. |
динение звеньев. |
При параллельном соединении выходные сигналы всех звеньев суммируются (рис. 1-5-3). В этом случае коэффициент передачи системы равен сумме коэф фициентов
п |
|
k = 2 b t . |
(1-5-21) |
t= 1
При встречно-параллельном соединении элементов или звеньев выходной сигнал первого элемента I подается на вход второго 2, а выходной сигнал вто рого элемента k 2y — на вход первого (рис. 1-5-4). Если выходной сигнал второго элемента суммируется с входным сигналом х первого элемента, то осуществляется положительная обратная связь, если вычитается — отрицательная. Положитель ная обратная связь используется для увеличения коэффициента передачи си
стемы, но она несколько ухудшает стабильность его. Отрицательная обратная связь, широко применяемая в измерительных преобразователях и других сред
ствах измерений, увеличивает |
стабильность |
коэффициента |
передачи системы, |
|||||
но в то же время уменьшает его. |
|
|
1-5-4) без обратной связи имеем: |
|||||
Для преобразовательного элемента 1 (рис. |
||||||||
|
|
A y = k x Длг, |
|
|
|
|
(1-5-22) |
|
где k i — коэффициент передачи первого элемента. |
|
|
|
получим: |
||||
При наличии отрицательной обратной связи с коэффициентом к 2 |
||||||||
ДU |
= k i (à x — |
/i2 Ду), |
|
|
|
(1-5-23) |
||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
* у - |
|
1 + ] ^ д* - * д* . |
|
|
|
(1-5-24) |
||
|
|
|
|
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*. |
_ |
1 . |
|
|
|
(1-5-25) |
|
1+*Ж |
1/*1+*3 |
|
|
|
|
||
— коэффициент передачи преобразовательного элемента |
1 |
с |
отрицательной |
|||||
обратной связью. |
|
|
|
|
|
|
|
1) выра |
При достаточно большом коэффициенте передачи элемента 1 |
(k i |
|||||||
жение (1-5-25) принимает вид k |
= |
\ / k 2. Из этого следует, что при выполнении |
||||||
условия k i > 1 свойства системы определяются только |
свойствами |
обратной |
||||||
связи. Например, стабильность коэффициента передачи системы будет в этом случае зависеть только от стабильности коэффициента передачи элемента обрат ной связи.
При положительной обратной связи коэффициент передачи системы
k |
h |
|
|
|
|
|
(1-5-26) |
|
1 - М а |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Порог чувствительности измерительного прибора или преобра |
||||||||
зователя. Под порогом чувствительности понимают |
наименьшее |
|||||||
|
изменение значения измеряемой (вход |
|||||||
|
ной) величины, способное вызвать ма |
|||||||
|
лейшее изменение показания измери |
|||||||
|
тельного |
прибора |
или |
выходного |
||||
|
сигнала преобразователя. Порог чув |
|||||||
|
ствительности |
обычно |
выражают |
в |
||||
|
долях |
абсолютного |
значения |
допус |
||||
|
каемой |
основной погрешности |
сред |
|||||
|
ства измерений. |
|
|
|
|
|
||
|
Вариация. Постоянство показаний |
|||||||
|
измерительного |
прибора |
или |
выход |
||||
Рис. 1-5-5. Неоднозначность |
ного сигнала измерительного преобра |
|||||||
хода статической характеристики |
зователя обычно характеризуется |
ва |
||||||
средства измерений. |
риацией, |
которая проявляется в |
не |
|||||
|
однозначности |
хода |
статической ха |
|||||
рактеристики прибора или |
преобразователя |
при увеличении и |
уменьшении измеряемой или |
входной величины (рис. 1-5-5). |
|
Наибольшая разность b = |
|y t ■— у \ | между |
выходными сигна |
лами yi и y'i преобразователя, соответствующими одному и тому же действительному значению измеряемой или входной величины Хи
йазывается вариацией показаний прибора или выходного сигнала, преобразовател я.
Вариацию показаний измерительного прибора обычно опреде ляют экспериментально при нормальных условиях как наибольшую разность bx = | х,- — х\ | действительных значений измеряемых величин Xi и x'i, соответствующих одной и той же отметке шкалы прибора t/i при плавном подводе указателя вначале при увеличении, а затем при уменьшении измеряемой величины.
Вариация выходного сигнала преобразователя может быть транс
формирована |
(пересчитана) на его вход. В |
этом случае Ьх = |
— I .V; <— x'i \, |
где X; и x i1— действительные |
значения входной |
величины, соответствующие одному и тому же значению выходного сигнала у, при плавном увеличении и уменьшении входной вели чины.
Вариацию выражают в процентах нормирующего значения XN
и определяют по формуле |
|
fc0= ~ 100. |
(1-5-27) |
Ллг |
|
Вариация показаний приборов или выходного сигнала преобра зователей обычно нормируется в стандартах на отдельные виды или группы средств измерений в долях абсолютного значения допускае мой основной погрешности. Перед значением вариации знаки плюс
и минус не ставят. Причинами вариации показаний в приборах или
визмерительных механизмах являются люфты, трение в подвиж ных деталях или элементах и т. д.
1-6. Общие сведения о динамических характеристиках средств измерений
Рассмотренные выше основные метрологические свойства средств измерений характеризуют их только при статическом преобразова нии измеряемой величины. При измерении (преобразовании) вели чины, меняющейся во времени, результаты измерения могут оказать ся искаженными помимо допускаемых (статических) погрешностей и погрешностей, обусловленных условиями измерения, погреш ностью еще одного вида, возникающей только в динамическом режиме и получившей вследствие этого наименование динамической погрешности.
В дальнейшем под динамической погрешностью средства измере ний будем понимать разность между погрешностью средства измере ний в динамическом режиме и его статической погрешностью, соот ветствующей значению величины в данный момент времени. При этом полагаем, что погрешности, обусловленные условиями измерения, отсутствуют.
Если входная величина выражается функцией х (t), а выходная величина — функцией у (t), то в каждый момент времени при отсут ствии статических погрешностей абсолютная динамическая погреш
ность
b (f)= y(t)-y» (t), |
(i-6-i) |
где уи«— выходная величина «идеального» в динамическом отноше нии прибора, равная уа (t) = kx (t); здесь k — коэффициент пере дачи (или чувствительность) «идеального» прибора.
В дальнейшем будут рассматриваться методы описания линейных динамических измерительных устройств, под которыми понимают устройства, подчиняющиеся принципу наложения (суперпозиции). Согласно этому принципу эффект нескольких приложенных к изме рительному устройству воздействий равен сумме эффектов каждого из этих воздействий в отдельности.
а,у»
Рис. 1-6-1. Отклонение выходной величины от входной |
в динамическом |
|
режиме. |
|
|
а — при изменении входной величины с постоянной скоростью; |
б — при ступен |
|
чатом изменении входной величины; |
в — при синусоидальном |
изменении вход |
ной |
величины. |
|
В общем случае для количественной оценки динамической по грешности необходимо знать:
1) закон изменения входной величины х (/), который может быть установлен точно или приближенно на основании изучения свойств контролируемого объекта;
2) закон изменения выходной величины у (t), который зависит не только от вида входной величины, но и от динамических свойств данного средства измерений.
На рис. 1-6-1 представлены графики, иллюстрирующие различие выходных величин у (t) реального и у„ (/) = kx (/) идеального при боров при различных законах изменения входной величины х (t).
Абсолютная динамическая погрешность в каждый момент вре мени выражается разностью ординат пунктирной и сплошной ли-
ний и, как видно из графиков, зависит от характера изменения х (t). Например, при изменении входной величины с постоянной скоро стью динамическая погрешность увеличивается с возрастанием скорости изменения входной величины и при достаточно больших значениях t выходная величина у (t) запаздывает относительно у„ (0 на время 7\ (рис. 1-6-1, а).
Ступенчатому изменению входной величины в зависимости от свойств средства измерений соответствует апериодическое измене ние или затухающие колебания выходной величины (рис. 1-6-1, б). В последнем случае динамическая погрешность периодически, с опре деленной частотой, изменяет свой знак, уменьшаясь по мере зату хания колебаний. При синусоидальном изменении входной величины с амплитудой Ах и некоторой постоянной частотой выходная вели чина в установившемся режиме представляет собою также синусо идальные колебания с амплитудой Ау той же частоты (рис. 1-6-1, в). Как видно из графика, амплитуда и фаза выходной величины не совпадают с амплитудой и фазой входной величины. Изменение амплитуды и фазовый временной сдвиг выходной величины зависят от свойств средств измерений и частоты входных колебаний.
Динамические свойства средств измерений зависят от внутрен ней структуры средства измерений и его элементов. Следует иметь в виду, что измерительные устройства (манометры, дифманометры), предназначенные для измерения давления, разности давлений, расхода вещества по перепаду давления в сужающем устройстве и других величин, в эксплуатационных условиях работают при нали чии соединительных импульсных линий. В этом случае необходимо учитывать влияние соединительных линий на динамику манометров и дифманометров [5].
Динамические свойства первичных преобразователей, например термоэлектрических термометров или термометров сопротивления зависят от размеров, положения чувствительного элемента в системе термометра, теплофизических свойств его отдельных элементов, а также от условий теплообмена между термометром и средой, температура которой измеряется.
Для аналитического описания динамики линейных измеритель ных устройств применяют линейные дифференциальные уравне ния. Однако средства измерений, применяемые на теплоэнергетиче ских установках, во многих случаях являются физическими уст ройствами, содержащими нелинейные элементы [14, 15]. Поэтому в инженерной практике идут на упрощение, которое обычно сво дится к линеаризации характеристик средств измерений. Это поз воляет использовать для описания характера динамического пре образования сигнала средством измерений линейные дифференциаль ные уравнения вида
Где а, н |
bf <— постоянные коэффициенты (/ = Û, 1, 2, |
п; } = |
— 0, 1, 2 |
, т). |
|
Если в результате аналитического изучения исследуемого сред ства измерений получено днфференциалыгсе уравнение, которое путем упрощений оказалось возможным привести к виду (1-6-2), то для оценки допустимости сделанных упрощений необходимо иметь для сравнения экспериментальные данные при некотором заданном виде испытательного воздействия. При этом для линеаризованных уравнений должны быть указаны исходный режим и границы допу скаемого изменения входной величины, в которых принятые допу щения позволяют использовать уравнение вида (1-6-2).
Наряду с дифференциальными уравнениями для описания дина мических систем используют передаточные функции.
Для нулевых начальных условий уравнение (1-6-2) в изображе ниях по Лапласу записывают в следующем виде:
А (р) Y (р) = В (р) X (р), |
(1-6-3) |
|
где |
|
|
А (р) = а,,рп+ |
а,,-!/)" 1 + . . . + ахр + |
о0; |
в (Р) = ьтрт+ |
bm.lP>" 1 + ... + V + |
Со |
отношение изображения выходной величины Y (р) к изображе нию входной величины X (р) при нулевых начальных условиях на зывается передаточной функцией. Согласно (1-6-3) передаточная функция имеет вид:
W (р) — -1Ù — ëJp). |
(1-6-4) |
|
{Р> Х(р) |
А р) * |
|
|
(РУ |
|
Другими словами, передаточная |
функция определяется |
отно |
шением полинома правой части В (р) к полиному левой части А (р) уравнения (1-6-3).
Как отмечалось выше, в большинстве случаев средства измере ний или измерительные системы (например, первичный преобразова тель— вторичный прибор) являются системой из последовательно соединенных элементов направленного действия (см. рис. 1-5-2). В этом случае передаточная функция измерительной системы равна произведению передаточных функций каждого элемента
W(p) = W1(p)Wi (p). |
(1-6-5) |
Если измерительная система состоит из первичного прибора (манометра или дифманометра) с импульсными линиями и вторич ного прибора, то передаточная функция такой измерительной системы имеет вид (1-6-5), но (р) — является передаточной функцией первичного прибора с импульсными линиями [5].
Передаточная функция полностью характеризует динамические свойства линейной системы и позволяет производить оценку свойств средств измерений. Для измерительных целей описание динамиче ских свойств средств измерений передаточной функцией удобно
использовать в тех случаях, когда коэффициенты дифференциаль ного уравнения зависят от условий применения средств измерений, а вид аппроксимирующей функции не изменяется. Характерным примером средств измерений такого типа являются термоэлектриче ские термометры, термометры сопротивления, манометрические термометры.
Динамические характеристики средств измерений, характери зующие реакцию средств измерений на гармонические воздействия в широком диапазоне частот, принято называть частотными харак теристиками, которые включают в себя амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики. Частотные характеристики имеют наглядный физический смысл и могут быть получены эксперимен тальным и расчетным путем.
При экспериментальном определении частотных характеристик на вход средства измерений с помощью генератора подаются гармо нические, например, синусоидальные колебания
jf(/) = A.vsin(o)<-f ф*). |
(1-6-6) |
Если исследуемое средство измерений является линейной дина мической системой, то колебания выходной величины в установив
шемся режиме будут также синусоидальными (см. рис. |
1-6-1, в) |
у (t) = Ay sin (at + cpÿ), |
(1-6-7) |
где ф„ <— начальная фаза, рад; со — угловая скорость, рад/с. Амплитуда выходных колебаний и их фазовый (временной)
сдвиг зависят от свойств средств измерений и частоты входных колебаний.
Зависимость А (со), показывающая, как изменяется с частотой отношение амплитуды выходных колебаний Аи линейной динами ческой системы к амплитуде входных колебаний Ах, называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) этой системы
„ |
А и (со) |
( | - М )
Зависимость от частоты сдвига по фазе между входными и вы ходными колебаниями называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) системы
<р (со) = ф^ (со) — ф* (со). |
(1-6-9) |
Значение амплитудно-частотной характеристики исследуемого средства измерений для данной частоты колебаний со*
Сдвиг по фазе ф (со*.) между колебаниями у (t) и х (t) для значе ния со* определяется по формуле
Ф Ю = —со*Д^= — |
(1-6-11) |
где |
Ai <— время, |
соответствующее сдвигу |
(отставанию) по фазе |
между входными |
и выходными колебаниями |
(см. рис. 1-6-1, в), с; |
|
Тк = |
2л/со* — период колебаний, с. |
|
|
Эксперимент по определению частотных характеристик прово дится для нескольких значений Т* входных колебаний с фиксиро ванной амплитудой. Следует отметить, что у реальных средств изме рений с возрастанием частоты обычно уменьшается амплитуда вы ходных колебаний и увеличивается временной сдвиг At выходной величины относительно входной, в результате чего растет и дина мическая погрешность.
Экспериментальное определение частотных характеристик средств измерений следует проводить во всем рабочем диапазоне
Рис. 1-6-2. Амплитудно-частотная (а), фазо-частотная (б) и комплексная частот ная (в) характеристики динамической системы.
частот от 0 до о)й, при котором АЧХ отличается от 0. Здесь —■ верхняя граница, которая может быть выбрана из условия
Л Как*)**
На практике обычно выбирают г = 0,05 + 0,1.
Типичные АЧХ и ФЧХ показаны на рис. 1-6-2. Амплитудночастотная характеристика представляет собой убывающую функ цию частоты, а фазо-частотная характеристика — возрастающую функцию частоты (со знаком минус). Средствам измерения с колеба тельными свойствами характерно наличие резонансного пика на АЧХ.
Частотные характеристики средств измерений с неколебатель ными и колебательными свойствами показаны на рис. 1-6-3.
Передаточная функция позволяет легко получить частотные характеристики средств измерений расчетным путем. Для этого
используется подстановка р = /<в (/ = j / -—-1), в результате кото рой выражение (1-6-4) принимает вид
где W (/со) — комплексная частотная характеристика.
Отделяя в числителе и знаменателе выражения (1-6-12) вещест венную часть от мнимой, получим
|
ИГ (/<D) = Я И + //(«>), |
(1-6-13) |
где Я(со) и / (со) |
соответственно вещественная и мнимая частот |
|
ные характеристики |
системы. |
|
Рис. 1-6-3. Амплитудно-частотные (а ), фазо-частотные
(б) характеристики средств измерений с неколебатель
ными (кривые 1) и колебательными (кривые 2) |
свой |
||
|
|
ствами. |
|
Комплексная |
частотная |
характеристика может |
быть записана |
и в показательной форме |
|
|
|
|
W (/со) = А (со) е |
|
|
Модуль W (/со) |
равен |
|
|
л H |
= I W (/СО) I = V R2H + Р (со) = |
. |
|
а ее аргумент |
ср (со) = |
arctg / (со)/Я (со). |
|
|
|
||
Таким образом, характеристика W (/со) объединяет в себе две рассмотренные выше частотные характеристики средства измере ний: амплитудную А (со) и фазовую <р (со).
Полную динамическую характеристику средства измерений
(звена) дает изменение значения W (/со) звена |
при изменении со |
от 0 до оо. Геометрическое место конца вектора |
W (/со) при измене |
нии со от 0 до оо называется частотным годографом или комплекс ной частотной характеристикой динамической системы. Эту характе ристику называют также амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) динамической системы.
Типичная комплексная частотная характеристика КЧХ сред ства измерений показана на рис. 1-6-2, в. Любая точка этой харак теристики, определяющая положение вектора W (/со) на комплекс ной плоскости, задает значение А (со*) как длину вектора и значе-
ние ср (<»к) как угол, образованный этим вектором с положительной вещественной полуосью R (со). Направление поворота по часовой стрелке принято считать отрицательным. При стремлении <о к нулю № (/со) стремится к значению коэффициента передачи k. Мнимая часть W (/со) при этом обращается в нуль. По КЧХ можно осущест вить оценку динамической точности линейной динамической си стемы.
Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики пол ностью описывают динамические свойства линейных средств изме рений и позволяют, в частности, установить область частот нор мальной их работы или рабочую полосу пропускания частот.
Рабочей полосой пропускания частот средств измерений назы вают область частот, в которой отклонение А (ш) от значения АЧХ при (о = 0 не превышает =Ы0% (или ± 5%), а сдвиг по фазе ф (со) не превышает 30° (я/6, рад). Верхнее значение частоты рабочей по лосы пропускания называется граничной частотой согр (рис. 1-6-3).
Для характеристики динамических свойств средств измерений используют ряд параметров, определяемых по переходным харак теристикам (функциям). Переходная характеристика представляет собой реакцию динамической системы на единичное ступенчатое воздействие
На практике используют ступенчатые воздействия произволь ного значения. Переходная характеристика h (t) связана с реакцией линейной динамической системы у (t) на реальное (неединичное) ступенчатое воздействие
х (0 = х01 (0
простым соотношением
где х0 — значение произвольного ступенчатого воздействия. Переходная характеристика h (t) может иметь апериодическую
(рис. 1-6-4, а) или колебательную (рис. 1-6-4, б) формы. Динамические характеристики линейного средства измерений
не зависят от значения и знака ступенчатого возмущения, и пере ходные характеристики, снятые экспериментально при различных значениях ступенчатых возмущений, должны практически совпадать. Если опыты при различных по значению и знаку ступенчатых возмущениях приводят к неодинаковым количественным и ка чественным результатам, то эго свидетельствует о нелинейности исследуемого средства измерения.
По переходным характеристикам, представленным на рис. 1-6-4, можно определить ряд используемых на практике параметров,