книги / Механика.-1

Лабораторная работа № 3 ИЗМЕРЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАШИНЫ АТВУДА

Цель работы – изучение динамики поступательного движениясвязаннойсистемытелсучетомсилтрения.

Приборы и принадлежности: машина Атвуда, смонтиро-

ванная на лабораторном модуле ЛКМ-3, набор грузов и перегрузов, нить с крючками длиной 60 см (зеленая), измерительная сис- темаИСМ-1(секундомер).

Сведения из теории

Рассмотрим движение механической системы, состоящей из вращающегося легкого блока, через который перекинута нить с привязанными грузамимассамиm1 ит2 (т1 < т2)(рис.1).

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для движения грузов:

Если нить нерастяжимая, то ускорения грузов одинаковы:

а1 а2 а.

Спроецируем векторные уравнения (1) на направление ускорения движения каждого груза:

31

Из уравнений (2) получим:

Разность сил натяжения нити (T2 –Т1) зависит от меры инертностиблока(моментаинерции)итрениявподшипникахблока.

В предельном случае отсутствия сил трения и нулевой массы блока и нити Т2 = Т1, поэтому

Отсюда ускорение свободного падения

Учтем влияние сил трения в подшипниках оси блока (пренебрегая массой блока). Введем в уравнение (3) вместо разности (Т2 – Т1) «эффективную» силу сопротивления F:

При сухом трении в подшипниках и незначительном изменении массы грузов m1 и m2 в первом приближении можно

а ускорение а зависит от величины k = (т2 – m1)/(m1+ m2). Кинематическая связь ускорения а грузов с угловым ускоре-

ниемβблокаприотсутствиипроскальзываниянитиимеетвид:

где R – радиус блока.

При равноускоренном движении угол поворота блока при начальной угловой скорости ω0 = 0

32

где t – время поворота блока на угол . Из формул (7) и (8) следует:

Описание установки

Машина Атвуда представляет собой блок, закрепленный на стойке 10, через который перекинута нить. К концам нити подвешены грузы m1 и т2 (рис.2). Вращение блока регистрируется фотодатчиком,которыйфиксируетповоротблоканаодиноборотиболее.

Рис. 2. Машина Атвуда на модуле ЛКМ-3

Порядок выполнения работы

Задание I. Измерение ускорения свободного падения Подготовьте ИСМ-1 к работе: подключите датчик угла по-

ворота блока к разъему №2 на задней стенке модуля ИСМ-1, переключатель 1 переведите в положение К2, переключатель 4 – в по-

33

ложение «: 1», переключатель 5 – в положение «ОДНОКР», переключатель 8 – в положение «+» или «–», переключатель 9 – в среднееположение.Включитепереключателем«СЕТЬ»питаниемодуля.

1. Перекиньте нить через большой блок, радиус которого R = 25 мм, и закрепите на концах нити грузы примерно одинаковой массы m1 и т2 (m1≈ т2 ≈100 г, точное значение массы грузов выгравировано на каждом грузе). Убедитесь, что грузы

всвободном состоянии находятся в равновесии. Массу т2 увеличьте на 10 г с помощью перегруза. Значение массы грузов

m1 и т2 с точностью до десятых долей грамма занесите в табл. 1. Переведите груз m1 в нижнее положение и остановите качание второго груза. Вращая блок, добейтесь срабатывания датчика угла поворота, о чем свидетельствует загорание индикатора 3, при этом прорезь на блоке будет находиться вблизи нулевой отметки шкалы блока. Нажмите кнопку 7 «ГОТОВ» и отпустите

груз m1. Система грузов придет в движение, и таймер модуля ИСМ-1 зафиксирует время одного оборота блока в секундах или

вмиллисекундах в зависимости от положения переключателя 2. Результат измерения занесите в табл. 1.

Таблица 1

2.Рассчитайте ускорение грузов по формуле (9).

3.Рассчитайте ускорение свободного падения g по формуле (5).

4.Повторите измерения и расчеты по пп. 1–3 не менее 5 раз

ирассчитайте среднее ускорение грузов а и среднее ускорение свободного падения g.

34

5.Замените перегруз массой 10 г на другой перегруз, массой 20 г. Повторите измерения по пп. 1–4.

6.Проведите те же опыты по пп. 1–5 с перегрузами в 10 г

и20 г, изменив массу наборных грузов вдвое (m1≈ т2 ≈ 200 г).

7.Найдите среднее значение ускорения свободного падения g по всем измерениям.

8.Оцените абсолютную и относительную погрешности нахождения ускорения свободного падения g по методу Стьюдента. Результат запишите в стандартном виде:

Задание II. Определение ускорения свободного падения

сучетом трения в подшипниках оси блока

1.Разность масс грузов в нашем эксперименте должна составлять всего 2–10 % от их суммарной массы (при большей разности масс движение грузов становится слишком быстрым, что приводит к выходу из строя установки). При этом на результаты эксперимента заметно влияет трение в подшипниках оси блока. Введя в уравнение движения грузов некоторую «эффективную» силу сухого трения F, получим уравнение движения грузов с учетом силы трения в подшипниках оси блока:

приближении постоянно. Рассчитайте коэффициенты k m2 m1 m1 m2

для каждого значения массы и занесите в табл. 1.

35

3.Построив график зависимости ускорения а от величины k

иубедившись в том, что эта зависимость линейная, найдите g как угловой коэффициент графика. Ускорение свободного падения можно найти так:

где индексы 1, 2 указывают произвольные точки на прямой линии, не совпадающие с экспериментальными точками (на графике их следует отметить различными маркерами).

4.Для более точного определения ускорения свободного падения воспользуйтесь методом наименьших квадратов (прил.II,

формулы(II.7)–(II.9)).

С учетом того, что зависимость a (k) линейная, ее можно представить в виде уравнения a = Ak + B, где A – угловой, B – свободный коэффициенты. Определите эти коэффициенты методом наименьших квадратов. Ускорение свободного падения совпадает с угловым коэффициентом g = A, а свободный коэф-

трения в блоке можно найти как F = (m1+m2) B.

Сравните результаты, полученные в первом и втором заданиях.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение кинематическим характеристикам материальной точки, движущейся прямолинейно: траектории, перемещению, пути, скорости, ускорению.

2.Дайте определение кинематическим характеристикам материальной точки, движущейся по окружности: углу поворота, угловой скорости, угловому ускорению. Какова связь между линейными и угловыми кинематическими характеристиками?

36

3.Что изучает динамика поступательного движения? Как вводится понятие силы, действующей на частицу, и массы частицы в динамике? Запишите уравнение движения материальной частицы.

4.Как изменяется закон сухого трения в зависимости от внешнего воздействия на тело, находящееся на поверхности другого тела? От каких факторов зависит коэффициент трения?

5.Укажите другие виды трения.

6.Проведите анализ движения тела по наклонной плоскости при разных углах наклона.

7.Выведите рабочую формулу (5).

8.Выведите рабочую формулу (9).

9.Напишите основные формулы кинематики равноускоренного поступательного и вращательного движений.

37

Лабораторная работа № 4 МАЯТНИК ОБЕРБЕКА

Цель работы – изучение основного закона динамики вращательногодвижения,определениемоментаинерциисистемыгрузов.

Приборы и принадлежности: лабораторный модуль ЛКМ-3

со стойкой и блоком, стержень с отверстиями, два круглых груза, груз наборный, нить длиной 55 см с крючком (синяя), измеритель- наясистемаИСМ-1(секундомер),пластиковыйфиксатор.

Сведения из теории

Основной закон динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси:

связывает кинематическую характе-

ристику движения – угловое уско-

рение – с динамическими харак-

теристиками – моментом силы М и моментоминерцииI (рис.1).

Угловое ускорение характеризует изменение угловой скоростиво времени и направлено, как и моментсилы,вдольосивращения:

Угловое ускорение связано с касательной составляющей линейного ускорения аτ точки вращающегося тела соотношением

где r – кратчайшее расстояние от этой точки до оси вращения.

38

Моментом силы в общем случае называют векторную величину

где F – сила, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси вращения; r – вектор, соединяющий точку на оси c точкой при-

ложения силы. В уравнении (1) M – сумма составляющих моментов сил вдоль направления оси вращения.

Момент инерции I характеризует распределение массы в твердом теле относительно оси вращения и является мерой инертности вращающегося тела. Момент инерции равен сумме произведений элементарных масс mi, на которые мысленно разбито тело, на квадрат их расстояний до оси вращения:

i 1

Выражая mi через плотность тела: mi =ρ·ΔVi, где Vi – элементарный объем тела, и переходя к пределу при Vi → 0, получим:

Формула (6) позволяет теоретически найти момент инерции любого тела. Например, момент инерции тонкого однородного стержня длиной l и массой т относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его центр,

I ml2 /12.

Теорема Штейнера устанавливает связь между моментом инерции IС твердого тела относительно оси, проходящей через центр инерции, и моментом инерции относительно другой оси, параллельной первой:

где r – расстояние между осями; т – масса тела.

39

В данной работе требуется экспериментально найти момент инерции маятника Обербека (рис.2). Он состоит из блока радиусом R, который может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси. К блоку прикреплены симметрично относительно оси стержни, на каждом из которых могут свободно перемещаться грузы массами m1, что дает возможность изменять момент инерции маятника. Грузы m1 устанавливаются на одинаковом расстоянии от оси, так что центр инерции всей вращающейся части

маятника находится на оси вращения.

К концу нити прикреплен груз массой m. Из закона динамики вращательного движения следует:

Исходя из формулы (4) момент силы, создающийся силой натяжения нити Т,

где – угол между вектором T и отрезком R на рис. 2, рав-

ный 90°; sin = 1.

Запишем второй закон Ньютона для поступательного движения груза m в проекции на направление ускорения а:

В этой формуле сила натяжения нити T, действующая на груз, по модулю равна силе натяжения нити, действующей на

40