книги / Механика.-1
.pdf
2. В случае линейной зависимости между величинами х и у, которая аппроксимируется прямой, не проходящей через начало координат,
y a bx. |
(II.7) |
Коэффициенты а и b могут быть вычислены по формулам:
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
xi2 yi |
xi yi xi |
|
|||||||||||
|
|
а |
|
i 1 |
i 1 |
|
i 1 |
|
i 1 |
|
, |
|
(II.8) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n xi2 |
xi |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
n |
|
|
|
|
||
|
|
b |
n xi yi |
yi xi |
. |
|
(II.9) |
|||||||||
|
|
|
i 1 |
|
i 1 |
i 1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n xi2 |
xi |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Предположим, что мы провели эксперимент и получили |
||||||||||||||||
следующие данные: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
4 |
|
5 |
||
xi |
|
1,0 |
|
|
|
1,9 |
|
|
|
3,1 |
|
4,0 |
|
4,9 |
||
yi |
|
1,6 |
|
|
|
2,5 |
|
|
|
3,0 |
|
3,7 |
|
4,6 |
||
Для упрощения расчетов составляем вспомогательную |
||||||||||||||||
таблицу и заполняем ее (табл. II.1). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица II.1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Номер |
xi |
|
|
|
yi |
|
|
|
xi уi |
|
xi2 |
|||||
измеренияi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,6 |
|
|
||
1 |
|
1,0 |
|
|
|
|
1,6 |
|
|
|
1,0 |
|||||
2 |
|
1,9 |
|
|
|
|
2,5 |
|
|
4,75 |
|
3,61 |
||||
3 |
|
3,1 |
|
|
|
|
3,0 |
|
|
9,3 |
|
9,61 |
||||
4 |
|
4,0 |
|
|
|
|
3,7 |
|
|
14,8 |
|
16,0 |
||||
5 |
|
4,9 |
|
|
|
|
4,6 |
|
|
22,54 |
|
24,01 |
||||
Σ |
14,9 |
|
|
|
15,4 |
|
|
52,99 |
|
54,23 |
||||||
71
Рассчитаем коэффициенты а и b:
а 54,2315,4 52,9914,9 45,591 0,928; 5 54,23 222,01 49,14
b 5 52,99 15,414,9 35,49 0,722. 5 54,23 222,01 49,14
Таким образом, уравнение прямой будет выглядеть следующим образом:
y 0,928 0,722x. |
(II.10) |
|
Для построения отрезка прямой линии найдем две точки, |
||
вычислив координаты с помощью уравнения (II.10): |
|
|
x1 = 0, у1 = 0,928; x2 = 5, |
у2 = 0,928 + 0,722·5 = 4,538. |
|
|
На листе миллиметровой |
|
|
бумаги проведем оси координат, |
|
|
причем ось у проведем верти- |
|
|
кально, а ось х – горизонтально. |
|
|
Выберем и нанесем на оси |
|
|
координат масштаб так, чтобы на- |
|
|
ши экспериментальные точки рас- |
|
|
полагались на графике наилучшим |
|
|
образом – занимали на графике |
|
Рис.II.2.Применениеметода |
максимальнуюплощадь. |
|
наименьшихквадратов |
Нанесем на график экспери- |
|
|
ментальные точки и две |
точки |
(x1,у1) и (x2,у2),рассчитанные нами (рис. II.2). Для экспериментальных и «теоретических» точек используем разные обозначения (кружки,крестики,треугольникиит.п.).
Через две «теоретические» точки проведем отрезок прямой линии. При правильных расчетах линия пройдет на графике наилучшим образом, т.е. так, что экспериментальные точки будут располагаться справа и слева от прямой. Все построения желательно делать карандашом.
72
ПРИЛОЖЕНИЕ III
Пример обработки результатов прямого измерения
Измерялась длина l стержня штангенциркулем с ценой деления = 0,1 мм. Были получены следующее данные:
№п/п |
l,мм |
li – l ,мм |
l2 = (li – l )2,мм2 |
1 |
20,8 |
+0,12 |
0,0144 |
2 |
20,4 |
–0,28 |
0,0784 |
3 |
20,7 |
+0,02 |
0,0004 |
4 |
20,9 |
+0,22 |
0,0484 |
5 |
20,5 |
–0,18 |
0,0324 |
6 |
20,8 |
+0,12 |
0,0144 |
|
124,1 |
|
|
l |
20,68 |
|
|
n
1. Находим сумму: li 124,1 мм, и среднее значение:
i 1
l = nli = 20,68 мм.
2.Находим погрешности отдельных измерений и их квадраты: (li – l ), (li – l )2. Заносимвтаблицурезультаты.
3.Вычисляем сумму квадратов погрешностей: (li – l )2 = =1884·10–4 мм2.
4.Задаемся надежностью = 0,95 и по таблице (прил. I)
находим: ( , n) = 2,6 и ( , ) = 2.
5.Вычисляем абсолютную случайную погрешность:
lcл = ( , n) |
li2 |
2,6 |
1884 10 4 |
0,20 мм. |
|
n(n –1) |
6 5 |
||||
|
|
|
73
6. Оцениваем систематические погрешности. Устанавливаем предельную погрешность прибора:
lпр = = 0,1 мм, и вычисляем приборную погрешность:
lст |
( , ) |
= 2 |
0,1 = 0,085 мм. |
пр |
3 |
3 |
|
|
|
Отсчет по нониусу округляем до целого деления ( = 0,1 мм) инаходимпогрешностьокругления:
|
|
lокр = |
= 0,95 0,1 = 0,048 мм. |
||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
7. Находим полную абсолютную погрешность: |
||||
l = |
l2 |
( lст)2 |
l2 |
|
0,202 0,0852 0,0482 = 0,22 мм. |
|
сл |
пр |
окр |
|
|
8. Относительная погрешность
l = l/ l = 0,22/20,68 = 0,0106; 1,1 %.
9. Итог: l = (20,68 0,22) мм, 1 % при = 0,95.
74
ПРИЛОЖЕНИЕ IV
Пример обработки результатов косвенного измерения
Определялось ускорение свободного падения g с помощью математического маятника.
1. После обработки результатов измерений длины маятника l и периода колебаний Т были получены данные:
l = (1,203 0,004) м при = 0,95; Т = (2,21 0,02) с.
2. Связь между g, l, и Т следующая:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g = |
4π2l |
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисляем среднее значение ускорения: |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
4π2 |
|
|
4 3,142 1,203 |
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
g = |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
2 |
|
9,71 м/с . |
|
|
|||
|
|
|
T |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,21 |
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
Поскольку |
|
g |
|
представляет |
собой |
|
произведение: |
|||||||||||
g = 4 2l1T–2, то сначала вычисляем относительную ошибку: |
|||||||||||||||||||
g = |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
Δπ 2 |
|
l 2 |
|
T 2 |
|
||||||
4επ |
εl |
4εT |
4 |
π |
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
T |
|
|||||
= |
0,005 |
2 |
|
0,004 2 |
|
0,02 |
2 |
|
|
–2 |
= 0,19. |
||||||||
4 |
3,14 |
|
|
|
1,203 |
|
4 |
2,21 |
|
= 1,86 10 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4.Абсолютная погрешность g = g g = 9,71 0,19 =
=0,184 м/с2.
5.Окончательный результат:
g = (9,7 0,2) м/с2, 2 % при = 0,95.
75
Учебное издание
Авторы:
Сираев Р.Р., Бачева Н.Ю., Герцен Т.А., Винокуров В.Е., Любимова Н.Ю., Нуруллаев Э.М., Паршаков А.Н., Шарифулин В.А., Яковлев М.В.
МЕХАНИКА
Лабораторный практикум
Редактор и корректор Е.В. Копытина
Подписано в печать 17.03.2019. Формат 60×90/16. Усл. печ. л. 4,75. Тираж 60 экз. Заказ № 32б/2020.
Издательство Пермского национального исследовательского
политехнического университета.
Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский проспект, 29, к. 113.
Тел. (342) 219-80-33.