книги / Механика.-1

блок в формуле (9) (поэтому они обозначены одинаково). Это справедливо, если массой нити можно пренебречь по сравнению с массой груза т.

Из выражений (9) и (10) получим:

Тангенциальные (касательные) ускорения точек участков нити, намотанной на блок, и точек на ободе блока равны, если нет проскальзывания нити по блоку, и равны ускорению груза m, если нить нерастяжима.

Тогда из (3) следует:

Из этой формулы следует, что ускорение а не зависит от времени, так как все остальные величины в этом уравнении постоянны; значит, движение маятника будет равноускоренным и при нулевой начальной скорости

где h – путь, пройденный грузом т за время t.

В данной работе измеряется время одного полного оборота блока, и за это время груз массой m пройдет путь

Подставив (14) и (15) в (13), получим формулу для вычисления момента инерции маятника:

41

Момент инерции маятника Обербека будет изменяться при изменении расстояния r от оси вращения маятника до центров грузов массами m1,перемещаемых вдоль стержней.

Согласно теореме Штейнера (7)

где IC – момент инерции всей вращающейся части маятника при условии, что центры грузов m1 находились бы на оси вращения.

Из (17) следует, что зависимость I от r2 линейная. В рассмотренной теории движения маятника Обербека не учитывались силы трения в подшипниках оси блока и сопротивление воздуха. Пренебрежение действием этих сил является главной причиной систематической погрешности измерения момента инерции.

Описание установки

Маятник Обербека монтируется на блоке 11, закрепленном на стойке 10 модуля ЛКМ-3 (рис. 3). К блоку радиусом 25 мм прикрепляют нить, к концу которой подвешивают наборный груз массой т = 100÷200 г. На ось блока через среднее отверстие надевают стержень 12 и закрепляют его пластиковым фиксатором 13. Вращая стержень, накручивают на блок нить и поднимают груз так, чтобы он не касался стержня. При опускании груза нить приведет во вращательное движение стержень. После полного раскручивания нити стержень, продолжая вращательное движение, накрутит нить на блок и поднимет груз. При этом вращательное движение прекратится и система перейдет в начальное состояние.

42

2.Накрутите нить на блок и прикрепите наборный груз т

ксвободному концу нити.

3.Поверните блок 11 со стержнем 12 так, чтобы прорезь блока совпала с нулевым делением шкалы, и добейтесь срабатывания индикатора датчика угла поворота 3. Нажмите кнопку 7 «ГОТОВ» и осторожно, без толчка, отпустите маятник, который под действием груза придет в движение. После одного полного оборота сработает датчик угла поворота блока, и на индикаторе появится значение времени поворота в секундах или миллисекундах в зависимости от положения переключателя 2. Время и массу груза занесите в табл. 1.

4.Рассчитайте по формуле (16) суммарный момент инерции I стержня и блока.

5.Рассчитайте абсолютную и относительную погрешности измерения момента инерции I системы по методу Стьюдента для прямых измерений. Результат запишите в стандартном виде:

Задание II. Измерение момента инерции маятника Обербека в зависимости от положения грузов на стержне

1.Закрепите на стержне 12 симметрично относительно оси вращения два круглых груза 14 (см. рис. 3). Занесите в табл. 2 расстояние от оси вращения до центра грузов r и массу наборного груза т.

2.Измерьте момент инерции системы так, как это описано

взадании I. Данные занесите в табл. 2.

44

Лабораторная работа № 5 ФИЗИЧЕСКИЙ МАЯТНИК

Цель работы – изучение физического маятника, определение ускорения свободного падения.

Приборы и принадлежности: лабораторный модуль ЛКМ-3

со стойкой и блоком, стержень с отверстиями, измерительная систе- маИСМ-1(секундомер),пластиковыйфиксатор.

Сведения из теории

Физический маятник – твердое тело, которое может совершать колебания под действием силы тяжести относительно неподвижной горизонтальной оси (рис. 1; O – точка, через которую проходит ось вращения, С – центр масс).

Предполагая известными массу маятника m, расстояние от точки подвеса до центра масс a = |OC|

и момент инерции маятника IC относительно оси, проходящей через центр масс, выведем формулу для периода колебаний физического маятника.

Запишем основное уравнение динамики вращательного движения:

где – проекция углового ускорения на ось вращения,

d 22 ; φ – угол отклонения маятника от положения равно- dt

весия; М – сумма проекций моментов сил на направление оси вращения. Если момент сил трения много меньше момента силы тяжести, то

46

где Mmg – момент силы тяжести; MT – момент упругой силы T. Проекция момента силы на ось равна произведению мо-

дуля силы F на плечо силы b:

Плечо силы – кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы. Плечо силы тяжести представлено на рис. 1 отрезком OB, т.е. bmg = |OB| =a sin φ. Поэтому момент силы тяжести

Линия действия силы T проходит через ось вращения (точка О на рис. 1), поэтому плечо этой силы равно нулю и момент также равен нулю: MT = 0. Следовательно, M = Mmg.

Уравнение движения (1) с учетом (4) примет вид

Перенесем слагаемые в левую часть уравнения и разделим на I:

Рассмотрим малые колебания маятника: /2; в этом приближении sin , и уравнение (6) можно записать в виде:

Это уравнение по форме близко к дифференциальному уравнению гармонических колебаний, известному в математике:

47

где А – амплитуда колебаний; 0 – циклическая частота колеба-

ний; – начальная фаза колебаний.

Поэтому логично предположить, что дифференциальное уравнение (7) описывает гармонические колебания физического маятника малой амплитуды с циклической частотой

Отсюда получим формулу периода Т малых колебаний физического маятника:

Чтобы выразить период колебаний через IC ‒ момент инер-

ции относительно оси, проходящей через центр масс, воспользуемся теоремой Штейнера:

На графике зависимости T (a) (рис. 2) видно, что период колебаний Т одинаков при двух различных значениях а: Т1 = Т2. Тогда из (13) следует:

48

Приведенная длина Lпр находится из формулы (17), в кото-

рой а1 и а2 определяются из графика зависимости Т от а, построенного на основе результатов эксперимента.

Для уменьшения погрешности измерения в эксперименте измеряют период колебаний маятника относительно осей, находящихся по обе стороны от центра тяжести. На рис. 2 представлена теоретическая зависимость периода колебаний от параметра a, которая зеркально симметрична относительно оси Т. Приведенная длина маятника на этом рисунке равна расстоя-

нию A B или B A .

Описание установки

Физический маятник представляет собой твердое тело, внашем случае – стержень 12, с отверстиями, который монтируется на блоке 11, закрепленном на стойке 10 модуля ЛКМ-3 так, чтобы ось блока не проходила через центр масс (рис. 3). В этом случае стержень может совершать колебания в поле силы тяжести. На оси стержень закрепляют пластиковым фиксатором 13.

Рис. 3. Физический маятник на модуле ЛКМ-3

50