книги / Цифровое моделирование вибраций в радиоконструкциях

щие момента времени через равные промежутки т и вы­ числим вторые разности

Ox=[u(t+x)—2u+u(t—т)]/т2,

ay= [v (t + T ) — 2v + v(t—т)]/т2,

где w — перемещения в направлении г, т — шаг по вре­ мени.

В результате получены известные в теории упруго­ сти уравнения Ламэ, выраженные в разностной форме. Если подставить все полученные выражения в уравнения ( 1.1), разделить на объем элемента hxhvhz и устремить шаги сетки к нулю, то с учетом предельного перехода к бесконечно малым величинам, например

можно получить уравнения Ламэ в дифференциальной форме

<*+*»£+* (ë+S)+

где р — плотность материала.

От дифференцальной формы записи уравнений Ламэ к разностной можно перейти формально, используя со­ отношения вида (1.9). В трехмерных задачах при при­ менении прямоугольной системы координат так обычно и делают {3, 9]. В других случаях это может привести к значительным погрешностям, поскольку при предель­ ном переходе к бесконечно малым величинам в разност­ ном уравнении может исчезнуть ряд членов, влияние ко­ торых на решение тем больше, чем больше размеры эле­ мента. Кроме того, при получении уравнений из физиче­

где

U = (o+*x— О- *.*) + (0+*у— 0"*v) + (0+« -О -х г ) »

и напряжения, имеют три индекса: первый нижний ин­ декс определяет направление, в котором вычисляется разность, второй нижний индекс и верхний знак опреде­ ляют направление нормали к грани элемента, для кото­ рой эта разность вычисляется (рис. 1.7). Если материал блока однородный и изотропный, то направление при вычислении напряжений не играет роли. В этом случае для определения напряжений требуется найти двенад­ цать коэффициентов:

При одинаковых шагах сетки по всем направлениям количество ^различных коэффициентов сокращается до четырех. Все коэффициенты расчетной схемы (1.11) — (1.13)— безразмерны, поэтому напряжения а и ускоре­ ния U, V, W имеют размерность перемещений.

Прёдставление всех коэффициентов расчетной схемы в виде безразмерных величин удобно при масштабиро­

1.2. Осреднение механических характеристик неоднородных элементов

При расчленении блока на элементы следует различать элемен­ ты массы, для которых составляют уравнения движения, и элемен­ ты связей, для которых вычисляют напряжения. Размеры элемента связи определяются положением узлов модели-сетки, через переме­ щения которых выражаются напряжения (рис. 1.8). Например, при вычислении нормальных напряжений о+хх используются три элемен-

Рис. 1.8. Элементы связей в модели блока.

та связи. Первый элемент определяется первой разностью в выра­ жении (1.13). Он имеет те же размеры, что и элемент массы, но смещен по осп .v на половину шага hx (рис. 1.8). Второй и третий элементы определяются второй и третьей разностью в выражении (1.13). Они имеют вдвое больший объем и вытянуты в направлении осей у и г. При вычислении каждого компонента касательных на­ пряжений рассматриваются деформации двух элементов (рис. 1.9).

Если блок неоднороден, то в уравнениях движения узлов, на­ ходящихся вблизи границы раздела между областями с различными материалами, необходимо учесть неоднородность тех элементов связей, через которые проходят границы раздела. Для этого вычис­ ляют осредненную плотность материала рср и осредненные коэффи­ циенты Ламэ.

димо учитывать направление границ раздела между Материалами и вид деформации элемента связи, для которого производится осред­ нение. Рассмотрим для примера случай плоских границ раздела, нормальных к направлению оси х (рис. 1.10). Для вычисления мо­ дуля Юнга, входящего в коэффициент расчетной схемы Л+**, необ­ ходимо рассмотреть деформацию растяжения первого элемента связи (рис. 1.8) в направлении х.

Приложим к элементу связи растягивающие нормальные напря­ жения (рис. 1.11). Если напряжения в двух других направлениях отсутствуют, то коэффициентом пропорциональности между напря­ жениями и деформациями будет модуль Юнга:

*хх — ^хх/El•

Напряжения оХх в любом сечении, нормальном к оси х, будут оди­ наковыми, поэтому каждая часть элемента будет иметь отпоситель-

ное удлинение, обратно пропорциональное соответствующему зна­ чению модуля Юнга £,:

Cxxi = (JxxlEi.

Абсолютное удлинение каждой части будет пропорционально ее ширине /«, а абсолютное удлинение всего элемента равно сумме аб­ солютных удлинении частей:

2

ехх =

3 ^ "

где

Следовательно, обедненный модуль КЭнга в данном случае 6yAet иметь значение

I

Это позволяет записать значение коэффициента Л+ж* для неодно­ родного элемента связи в виде

А + хх = Е + я

_________ vCpT2_________

2(1 + Vcp)2(l + 2vcp)/i2^pcp

Аналогично можно получить значения остальных коэффициентов для неоднородных элементов связей:

VçpT2

А+уу~= Е+ ^ 2(1 -j" vcp)2(l — 2 vcp)/i22pcp1

_________VçpT2________

A+ZZ — E+ZZ2(1 4- vcp)2(l — 2vcp)/ia|/Pcp’

Мы рассмотрели случай неоднородности, когда границы раздела нормальны к оси х. Если границы раздела между областями нор­ мальны к направлению другой координатной оси (у или z), то из­ менится лишь вычисление осредненного значения модуля Юнга. Для этого в выражениях (1.17) и (1.19) нужно выполнить циклическую перестановку

X4-IJ+-Z4-X ИЛИ Х4-2«-£/«-Х.

Выражения для самих коэффициентов] остаются те же.

Если в одном элементе связи проходят границы раздела в раз­ личных направлениях, следует разбить его на более мелкие простые элементы, в которых границы будут проходить в одном направле­ нии, и произвести осреднение модуля Юнга в этом направлении, за­ тем перейти к другим частям, где границы будут проходить в дру­ гом направлении, и выполнить осреднение в этом направлении и т. д.

Наличие неоднородностей затрудняет подготовку задачи, по­ скольку требуется вычисление коэффициентов для каждого узла сетки отдельно. Кроме того, требуется большой объем оперативной памяти ЦВМ для хранения коэффициентов каждого узла. В общем случае у каждого узла может быть восемнадцать различных коэф-

фициентов. Объем подготовительных работ и требования к объему оперативной памяти ЦВМ значительно уменьшаются при расчете блоков, в которых множество мелких деталей заливается компаун­ дом, пенопластом или резиной. Такой случай часто встречается в практике проектирования конструкций РЭА. При этом не меняют­ ся существенно упругие свойства заливки, но массу заливочных материалов при расчетах вибраций приходится учитывать. В этом случае для каждого узла вычисляется только осредненное значение плотности рСр. Среди значений рСр выбирается максимальное рт и отношение М = р ср/рт вносится в виде сомножителя в уравнения (1.11), которые записываются в виде

п(/+ т) =AfU +2 и—u(t—т),

v(t+ т) = M V + 2 Ü—v(t—т),

Теперь в выражения для коэффициентов (1.14) войдет не осредненная плотность для каждого элемента массы, а максимальная плот­ ность рт , общая для всех элементов. При регулярной сетке коэф­ фициенты всех узлов будут одинаковыми, но для каждого узла по­ требуется хранение в памяти ЦВМ одного коэффициента массы М.

1.3.Учет потерь энергии на внутреннее трение

вматериалах конструкции

Процессы вибраций в конструкциях РЭА во многом зависят от потерь энергии на внутреннее трение в материалах. Особенно вели­ ко влияние трения при расчетах на резонансных частотах кострукции. Например, при использовании линейной расчетной схемы, .по­ лученной ранее, отсутствие потерь энергии на внутреннее трение может привести на резонансных частотах к безграничному возра­ станию амплитуды колебаний и коэффициентов усиления. Следует учитывать также, что в конструкциях часто применяются материа­ лы с большими потерями на внутреннее трение специально для га­ шения вибраций.

Для количественного описания таких процессов применяют раз-/ личные упрощенные модели. Наиболее простой и удобной для рас­ четов является модель, в которой напряжения потерь пропорцио­ нальны скорости изменения деформаций во времени [12]. Коэффи­ циенты пропорциональности между напряжениями потерь и скоростью изменения деформаций имеют тот же смысл, что и соот­ ветствующие коэффициенты в гидродинамике. Поэтому их называют коэффициентами вязкости твердых тел.

Потери энергии сопровождают/ любой процесс деформирования, поэтому каждому виду деформации будут соответствовать свои по­ тери. Например, нормальные напряжения зависят от деформаций растяжения в трех направлениях и могут быть выражены в диффе­ ренциальной форме в виде