книги / Цифровое моделирование вибраций в радиоконструкциях

Погрешность тригонометрической части решения имеет положитель­

вязкость не учитывается. Дифференциальное уравнение второго по­ рядка.

Рис. 2.5. К определению погрешностей при периодической нерегуляр­ ности сетки.

(рис. 2.4). Дифференциальное уравнение второго порядка. Максимальная амплитудная погрешность нерегулярности равна

вязкость не учитывается. Нерегулярность имеет периодический ха­ рактер .(рис. 2.5). Дифференциальное уравнение второго порядка.

Погрешность каждого шага вычислений имеет вид «ряби»

(рис. 2.5,6—г) и в дальнейших шагах вычислений не возрастает. Максимальная относительная (по отношению к первой производ­ ной от перемещений по координате) погрешность амплитуды равна

регулярная, вязкость не учитывается. Дифференциальное уравнение четвертого порядка.

Максимальная амплитудная погрешность равна

кость учитывается. Дифференциальное уравнение третьего порядка. Максимальная амплитудная погрешность равна

где п — количество шагов вычислений по времени, пх — количество шагов по координатам, приходящееся на половину длины волны.

Сравнивая полученные результаты, можно заметить, что суще­ ственное отличие в величину погрешностей вносит только количе­ ство измерений в задаче. В случае дифференциальных уравнений второго порядка коэффициенты разностной схемы Л и С приходит­ ся брать значительно меньшими единицы из условия устойчивости, особенно если область неоднородная. Влиянием этих коэффициен­ тов на величину погрешностей можно пренебречь.

Учет вязкости приводит к затуханию погрешностей по экспонен­ циальному закону. Поэтому относительная погрешность (2.27) вы­ числяется по отношению к амплитуде колебаний в начале расчета.

МожнЪ предположить, что и в других случаях колебательных процессов, например в неоднородных областях сложной формы, для которых анализ погрешностей очень сложен, оценку величины по­ грешностей можно производить .по полученным формулам для наи­ худшего случая, когда погрешность равна

где М — мерность задачи.

Относительная фазовая погрешность определяется при этом по

Таким образом, получена погрешность для вычисления переме­ щений. Вследствие линейной зависимости напряжений и ускорений от перемещений оценки погрешностей для них в случае колебатель­ ных процессов получаются теми же и могут вычисляться по фор­ мулам (2.28) и (2.29).

В итоге погрешность зависит прежде всего от количества шагов сетки /1х, приходящихся на половину длины волны колебаний в ха­ рактерном для модели направлении. Поэтому с возрастанием часто­ ты или уменьшением длины волны при том же шаге сетки погреш­

Полученные оценки погрешностей позволяют, исходя из задан­ ной точности расчета, выбрать минимальное количество узлов в мо­ дели-сетке конструкции и сделать процесс вычислении возможно более экономичным с точки зрения объема вычислений на ЦВМ и требуемого объема оперативной -памяти машины.

2.4. Осреднение по времени

Для уменьшения погрешностей вида «ряби» можно применять в процессе расчета осреднение искомых вели­ чин по координатам и времени. В теории разностных схем подробно анализируется осреднение по времени, которое не только исключает погрешность в виде «ряби», но и позволяет получить абсолютно устойчивые схемы, некритичные к выбору шага по времени [8, 9]. Осредне­ ние по времени приводит к тому, что на верхнем времен­ ном слое получается не одна, а несколько неизвестных.

слое имеется только одна неизвестная.

Замена явных схем неявными приводит к катастрофи­ ческому росту объема вычислений, поскольку вместо от­ дельных уравнений, в каждом из которых одно неизвест­ ное, приходится решать на каждом временном слое си­ стему уравнений. В этой системе число уравнений и чис­

получается настолько большим, что на современных ЦВМ в общем случае удается решать только одномерные не­ стационарные или двумерные стационарные задачи. Однако неявные схемы абсолютно устойчивы в смысле физического и вычислительного требований. Шаги по времени (при расчете по неявным схемам могут выбирать­ ся из условий устойчивости сколь угодно большими. Однако практически они ограничиваются собственными частотами конструкции и частотой внешних воздействий.

Рассмотрим на примере построение неявной схемы. Явную разностную схему для общего случая трехмерной

где Fi(t) — сила, действующая в направлении i и -вычис­ ленная для момента времени /; т — масса элемента.

Если в качестве силы взять ее среднее значение в два момента времени (/+ т ) и (t—т), то получим типичную неявную схему

в каждое уравнение (2.31) будет входить не одно неиз­

шать систему из 3N уравнений с таким же количеством неизвестных, где N — число узлов в модели-сетке.

Единственным приемлемым способом расчета с по­ мощью неявных схем в настоящее время является способ прогонки [3]. Объем вычислений в этом случае всего в несколько раз больше, чем ври расчетах с помощью явной схемы. Однако этот способ -применим только при решении одномерных задач в том случае, если коэффи­ циенты при неизвестных перемещениях -на верхнем вре­ менном слое образуют трехдиагональную, пятидиаго­ нальную и т. д. матрицу. Способом прогонки, например, можно решать задачи по расчету продольных или изгибных колебаний стержней, если изгиб-ные колебания опи­ сываются дифференциальным уравнением четвертого по­ рядка. Однако при практических расчетах такие простые задачи, как правило, не интересуют радиоконструкторов.

Попытки применить метод прогонки к решению более сложных задач привели к появлению различных прие­ мов, позволяющих заменить сложную неявную разност­ ную схему более простыми с тем, чтобы использовать при расчетах метод прогонки [8, 9].

Наиболее универсальным приемом является замена трехмерной задачи несколькими одномерными. Разуме­ ется, такое расчленение сложной задачи на более про­ стые на все время нестационарного процесса произво­ дить нельзя. Нельзя, например, вычислять деформации растяжения в направлении оси х отдельно от деформа­ ций растяжения в направлении других осей и от дефор­ маций сдвига, поскольку все виды деформаций связаны между собой. Однако такое расчленение можно произве­ сти на небольшом интервале времени, равном шагу т.

Поясним смысл такого расчленения на примере трех­ мерной задачи теории упругости. Каждый узел в трех­ мерной модели-сетке находится под действием несколь­

одномерных схем осреднение механических свойств ма­ териалов блока приходится производить не по элементам связей, но по элементам вдвое больших размеров.

Однако и в виде (2.32) уравнения сил еще достаточно сложны, чтобы применять их при построении одномер­ ных схем. Поэтому их разбивают на более простые вы­ ражения, соответствующие квадратным скобкам в урав­ нениях вида (2.32). В результате одномерные уравнения движения записываются в виде

9 [и (х -J- h) — 2и -f-и (х — А)] =

две для каждой пары касательных напряжений.

Таким образом, имеем 21 одномерную схему. В про­ цессе вычислений эти схемы можно группировать, вводя в группу уравнения, не связанные между собой. Напри­ мер, можно одновременно вычислять перемещения u (t+ + т/9 ), v(t+x/9) и w ( t + т/9) с помощью уравнений вида (2.33). Уравнения можно объединить в девять групп и производить вычисления перемещений узлов с помощью таких групп уравнений последовательно. Поскольку те­ перь каждая сила будет действовать на одной девятой интервала т, силы должны быть увеличены в девять раз, чтобы количество движения осталось прежним.

Теперь в левой части уравнений (2.33) нужно запи­ сать среднее арифметическое значений сил в два момен­

Уравнение (2.34) определяет движение отдельно взя­ той (локальной) цепочки узлов, вытянутой в направле­ нии оси х. Такие уравнения называют локально-одномер­ ными. Решив системы таких уравнений для всех цепочек

внаправлении х, вычисляют перемещения узлов цепочки

вмомент времени (Н -т/9). Поскольку уравнение содер­ жит три неизвестных в соседних узлах цепочки, матрица коэффициентов системы получается трехдиагональной и такую систему можно решать методом прогонки.

Если выполнить те же преобразования для второго уравнения (2.33), имеющего в левой части смешанную разность по координатам х и у, то получим, что уравне­

ние будет иметь пять неизвестных перемещений узлов в момент времени ( t + 2т/9). Эти узлы не будут располо­ жены на одной линии. Уравнение не будет одномерным и решать его методом прогонки нельзя,.

Для уравнений, содержащих смешанные разности (число таких уравнений для трех направлений равно две­ надцати), можно произвести поворот координатных осей

всоответствующей координатной плоскости на 45° При этом смешанные разности исчезают и появляются вто­ рые разности для цепочек узлов, вытянутых в направле­ нии повернутых осей.

Для преобразования смешанных разностей во вторые разности уравнения группируются по четыре так, чтобы

вгруппе оказались уравнения с искомыми величинами

иразностями, лежащими в одной координатной плоскос­

ти. Например, второе уравнение (2.33) группируется с тремя другими уравнениями, в которые входят переме­ щения и и V, лежащие в плоскости ху, и смешанные раз­ ности вычисляются через перемещения узлов, лежащих в этой плоскости.

Новые значения функций для координатных осей х и у, повернутых на 45°, можно выразить через и и v с по­

Складывая и вычитая уравнения в группе, получаем уравнения вида

Последнее уравнение распадается на два локально-одно­ мерных уравнения. В каждое из них входит вторая раз­ ность, выраженная через перемещения узлов, располо­ женных в направлении одной из повернутых осей. Два других уравнения будут содержать вторые разности от перемещений v в направлении повернутых осей х н у . Таким образом, из 12 уравнений со смешанными разнос­ тями получаются 12 уравнений со вторыми разностями. Теперь все уравнения можно решать методом прогонки.

Порядок вычисления перемещений узлов модели-сет­ ки в каждом шаге по времени может быть следующим:

1. С помощью трех уравнений вида (2.34) вычисля­ ют перемещения всех узлов каждой цепочки в направле­

u(t + Зт/9), о(^ + Зт/9), до(Н-Зт/9).

3.С помощью формул (2.35) производят вычисление перемещений в направлении повернутых координатных осей одной из координатных плоскостей, например плос­ кости ху (прямое преобразование).

4.Используя локально-одномерные схемы, получен­

ные из уравнений (2.36), вычисляют вначале значения ы(/+4т/9) и v(t + 4x/9), производя прогонку в направле­ нии одной повернутой оси, а затем вычисляют й(Н-5т/9)

и£>(Н-5т/9) в направлении другой повернутой оси.

5.Переходят к величинам и и v с помощью формул (2.35) (обратное преобразование).

6.Выполняют те же действия, что и в п. 3— 5 для

второй, а потом для третьей координатной плоскости. В результате получают значения всех перемещений в мо­ мент времени (Н -т). Затем цикл повторяют для следую­ щего шага по времени и т. д.

Такой сложный алгоритм вычисления перемещений в каждом шаге по времени при использовании неявных локально-одномерных схем оправдывает себя только в том случае, если имеется возможность увеличения ша­ га по времени, по по крайней мере, на порядок, по срав­ нению с расчетом с помощью явных схем.

При расчетах вибраций различной аппаратуры при­ ходится иметь дело с процессами, быстро протекающими во времени, причем конструктора, как правило, не инте­ ресуют вибрации на частотах ниже резонансных частот конструкции. Нижние резонансные частоты конструкций лежат в пределах от нескольких герц до нескольких со­ тен герц. Вычислительный процесс может занимать до десяти часов и больше. На нижних частотах граничные условия часто допускают увеличение шага по времени на порядок и больше. Поэтому при расчетах на нижних

значительного сокращения объема вычислений и оказы­ вается нецелесообразным, то для борьбы с погрешно­ стями в виде «ряби» можно рекомендовать ввести в рас­ чет осреднение по координатам.

2.5. Осреднение по координатам

Осреднение по координатам позволяет использовать для расчета явные схемы и тем самым избежать решения систем алгебраических уравнении. Можно ввести осреднение в виде отдельных операций, выполняемых на каждом шаге по времени, не изменяя основных расчетных соотношений, приведенных в первой главе.

Покажем эффект от введения осреднения на примере одномер­ ной задачи по расчету продольных колебаний стержня. Если после каждого обхода всей области и вычисления перемещений с помо­ щью формулы (2.2) вв'ести операцию вычисления среднего арифме­ тического перемещений трех соседних узлов с весовыми коэффици­ ентами

н (/+ т) = [u(x+h, /4-т) +L u (t+ т) +

где L — весовой коэффициент, и записывать в память ЦВМ полу­ ченные средние значения й на место прежних перемещений, то спек­ тральный состав полученных колебаний не изменится, поскольку осреднение является линейной операцией. Однако амплитудные зна­ чения гармоник будут уменьшаться. Если и есть амплитуда колеба­ ний, то после осреднения по формуле (2.37) она уменьшится в К оаз: