книги / Цифровое моделирование вибраций в радиоконструкциях

Т а б л и ц а 2.1

Значения поргмещений на последующих шагах вычислений

По результатам вычислений, приведенным в табл. 2.1, видно, что если коэффициент А разностной схемы не превышает единццу, то решение остается ограниченным по величине. Если же коэффициент А превышает едини­ цу, то решение безгранично растет и, следовательно, ста­ новится неустойчивым. При этом, естественно возникает требование, определяющее устойчивость решения: коэф­ фициент А не должен 1превышать единицу. Интересно, что полученное условие устойчивости совпадает с физи­ ческим требованием: «скорость счета» при решении с помощью явной схемы должна быть выше скорости распространения возмущений в рассматриваемой среде. Явная схема определяет состояние каждого узла моде­ ли-сетки в следущий момент времени (Н -т) в зависимо­ сти от состояния данного и соседних узлов в два преды­

дущих момента времени t и (t—т). Таким образом, лю­ бое возмущение при расчете может быть передано за шаг по времени только к соседним узлам, т. е. на один шаг по координате h. Отношение Л/т определяет макси­ мальную скорость распространения возмущений, кото­ рую может обеспечить явная схема. Эту скорость мы ус­ ловно назвали «скоростью счета».

Если в действительности возмущения в среде пере­ даются с большей скоростью v, то численные решения будут отставать от действительных процессов и правиль­ ного решения мы не получим. Таким образом, физиче­ ское требование будет иметь вид

h jx ^ v или vx/h^l.

Следовательно, при разностном решении краевой задачи с помощью явной схемы должны выполняться два усло­ вия устойчивости: физическое и вычислительное. В слу­ чае расчета продольных колебаний упругого стержня с помощью явной схемы (2.2) оба эти условия совпа­ дают. Однако в других случаях, например, при решении двумерных и трехмерных задач или при решении урав­ нений других типов, эти условия могут различаться.

Проверка физического требования устойчивости при расчете упругих колебаний обычно не представляет ни­ какой "сложности, поскольку скорости распространения упругих волн в среде обычно известны или могут быть вычислены с помощью характеристик среды. Например, при решении трехмерной задачи теории упругости ско­ рость продольных волн определяется через коэффициен­ ты Ламэ Л и р и плотность р:

v = Y (Я —(—2|х)/р.

Физическое условие устойчивости запишется в виде (2.3)

где h — наименьший из шагов сетки.

Проверка вычислительного условия устойчивости яв­ ляется более сложной. Возьмем в качестве вычисли­ тельного критерия устойчивости разностного решения следующий критерий: если при проверке разностной схе­ мы с помощью теста «шахматная доска» окажется, что каждая искомая величина в следующий момент времени больше по модулю, чем та же величина в предыдущий момент времени, то решение неустойчиво. При этом нет необходимости проверять все величины во все последую­

дифференциальных уравнений не удается. Однако во многих случаях даже трехмерных нестационарных про­ цессов можно подобрать условия задачи таким образом, что дифференциальное уравнение будет иметь аналити­ ческое решение. Сравнивая такие аналитические реше­ ния с разностными, можно получить величину погрешно­ стей дискретизации среды. При этом, если количество таких задач достаточно велико и задачи достаточно раз­ нообразны, а оценки погрешностей получаются идентич­ ными, то полученные оценки можно распространить и на другие подобные задачи, где аналитические решения неизвестны. Эту методику мы и применим для получе­ ния оценок величины погрешности дискретизации.

При таком подходе нужно прежде всего разбить по­ грешности дискретизации на две категории. К первой отнесем плавные погрешности, по форме напоминающие само решение. Такие погрешности имеют длины волн по координатам и частоты, мало отличающиеся от длин волн и частот действительных процессов.

Ко второй категории отнесем высокочастотные по­ грешности, которые назовем «рябью». Погрешности вида «ряби» возникают тогда, когда применяются импульс­ ные воздействия на модель-сетку или нерегулярные сетки. Модель-сетка конструкции во многом напоминает атомарную структуру, где отдельные сосредоточенные массы (узлы) соединены упругими связями. Импульсное воздействие на такую структуру вызывает «раскачива­ ние» отдельных узлов (подобно тепловым колебаниям кристаллической решетки). Эти колебания приводят к тому, что решения получаются негладкими. Даже при небольших амплитудах таких погрешностей возникают затруднения при получении производных от искомых функций по координатам и времени при вычислении скоростей, ускорений и напряжений, поскольку погреш­ ности имеют малые длины волн (обычно равные двум шагам по координате) и малые периоды колебаний

(обычно равные двум шагам по времени).

Погрешности первой категории нельзя исключить из расчета, поскольку они неотделимы от решения. Погреш­ ности второй категории можно частично или полностью погасить, применяя различные способы осреднения вели­ чин в решении. Поэтому ниже мы приведем методику определения погрешностей первой категории и оценки, полученные для различных задач, а в последующих па-

раграфах изложим способы осреднения, применяемые при разностных расчетах с целью исключения погреш­ ностей вида «ряби».

В качестве простого примера рассмотрим частное ре­ шение. уравнения (2.1) для случая собственных колеба­ ний стержня:

где к — волновое число, © — круговая частота, С H D — постоянные, зависящие от граничных условий. Подстав­ ляя решение (2.6) в уравнение (2.1), получаем соотно­ шение, связывающее волновое число и круговую частоту

(2.7)

В качестве разностной схемы для расчета колебаний возьмем разностную схему (2.2), записанную для регу­ лярной сетки. A = v \ zjh2, на основании (2.7) можно по­ лучить второе соотношение между волновым числом и круговой частотой:

ц>Ч2=АкЩ2. (2.8) Предположим, что до некоторого момента времени вычисления производились по формуле (2.6), а начиная с этого момента, вычисления выполняются и точно, и приближенно по схеме (2.2). Сравнивая точное и при­ ближенное решение на первом шаге вычислений, полу­ чаем погрешность первого шага для любого узла моде­

ли стержня в виде

где

uo= (C sin кх+ D cos кх) sin ®to.

После проведения тригонометрических преобразова­ ний и разложения^ косинусов малых углов /ей и ют в сте­ пенной ряд получим погрешность первого шага вычисле­ ний в виде

ГДе 8 = (1—Л)/С4/14 /4 !_ (1_Л2)К6/1б/б| +

Полученное выражение показывает, что погрешность первого шага имеет четвертый порядок малости относи­ тельного шага по координате. Точное решение после пер­ вого шага вычислений теперь может быть представлено в виде суммы приближенного решения и погрешности первого шага:

«(i)=«(i)np—Ai.

В этом случае погрешность от первого шага вычислений может быть записана в виде

Действительно, подставив это значение в рекуррентную формулу |(2.11), мы убедимся в том, что равенство удо­ влетворяется с точностью до членов четвертого порядка малости по сравнению с величиной кН.

Продолжим анализ, считая, что погрешность первого шага вычислений изменяется по закону синуса (2.13). В следующих шагах вычислений появляются дополни­ тельные погрешности, которые будут накладываться на погрешность первого шага. Предположим, расчет разно­ стным методом начат в момент, когда решение достигало

Рис. 2.2. Сложение погрешностей последующих шагов вычислений.

своего максимального значения ит, тогда погрешность первого шага будет иметь максимальное значение через четверть периода.(рис. 2.2) и будет равна

грешность, которая достигнет максимума в момент вре­ мени to+T/4+x. Ее максимальное значение будет мень­ ше, чем у погрешности первого шага, поскольку решение в момент времени 4 + т будет меньшим я равным

Um COS (ùt.

Погрешность второго шага в момент времени to+TfA равна

Д^/4т= [ит2Ае COS8 (от]/шт = Д„п COS2сот.