книги / Численные методы решения задач строительства. Ч. 1

3.В столбце А сформируем номер узла следующим образом: А6 = 0; в ячейку А7 введем формулу А7 = А6 + 1

ископируем ее вниз до конца таблицы. (Это позволит в дальнейшем приспособить таблицу для любого значения шага h, т.е. для любого n).

4.В столбце В сформируем значения узлов следую-

щим образом: xi+1 = xi+h, i = 0, 1, 2, …. Введем в ячейку В6 значение а, т.е. B6 = B1. В ячейку В7 запишем форму-

лу B7 = B6 + $B$3 и скопируем ее вниз до значения нижнего предела интегрирования b.

5.В столбце С формируем значения подынтегральной функции f(x) в узлах сетки. Для этого в ячейку С6 введем формулу С6 = В6*В6 и скопируем ее вниз.

6.В столбцах D и E накапливаются результаты суммирования в соответствии с формулами (4.8), (4.11). Для этого обнулим ячейки D6 и E6. В ячейки D7 и E7 запишем формулы численного интегрирования:

D7 = D6+C6*$B$3,

E7 = E6+(C6+C7)*$B$3/2

и скопируем их вниз до конца таблицы.

Приближенные значения интеграла (интегральные суммы) получены в ячейках D16 и E16 по методу прямо-

угольников и трапеций соответственно.

В данном случае не составляет труда найти точное значение этого интеграла:

J 2 x2dx 2,3333

1

и сравнить с полученными результатами.

Изменяя значения ячеек В1, В2 (пределы интегрирования а и b), D1 (количество разбивок n), С6 (формула подынтегральной функции f(x)), можно использовать эту схе-

91

му для вычисления любого определенного интеграла с необходимой точностью.

Например, уменьшим шаг разбивки (количество разбивок при этом увеличилось вдвое, n = 20), т.е. введем в ячейку D1 величину 20. Выделим последнюю строку таблицы на рис 4.7 и копируем ее вниз до значения b = 2. Получим приближенное значение интеграла с шагом h = 0,05.

Аналогичным образом можно изменять и другие параметры.

 Замечание. Из рис. 4.3, 4.4, 4.5 видно, что численное интегрирование может сопровождаться значительными погрешностями. Для снижения погрешности следует уменьшить шаг разбивки h либо использовать более точные методы.

Контрольные вопросы

1.Геометрический смысл определенного интеграла. Когда возникают задачи численного интегрирования?

2.Идея численного интегрирования. Понятие интегральной суммы.

3.Оценка погрешности численного интегрирования. Метод половинного шага.

4.Методы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Геометрическая интерпретация методов численного интегрирования.

5.Сравнение численных методов интегрирования между собой.

92

ГЛАВА 5

Аппроксимация

Аппроксимация (от лат. Approximo – приближаюсь) –

замена одних математических объектов другими, близкими к исходным.

Математический энциклопедический словарь

5.1. Задачи аппроксимации

Большинство численных методов основаны на замене одной функции f(x) (известной или неизвестной) другой

функцией (х), близкой к f(x). Как правило, функция (х) обладает «хорошими» свойствами и является «удобной» в аналитических и вычислительных операциях.

Такую замену называют аппроксимацией, или – приближением функции f(x) функцией (х).

Функцию (х) называют приближением, или аппроксимирующей функцией.

Таким образом, задача о приближении (аппроксимации) функции f(x) функцией (х) состоит в построении

функции (х), близкой (в некотором смысле) к функции f(x) на заданном отрезке [a, b], т.е.

Для решения этой задачи необходимо ответить на ряд вопросов.

1.Что известно о функции f(x)? Задана она аналитически или таблицей своих значений, какова степень ее гладкости?

2.Какую функцию (х) выбрать в качестве аппроксимирующей функции?

93

3.Что понимать под близостью между функциями f(x)

и(х), т.е. какова степень приближения (5.1)?

Термин близости (отклонения) двух функций понимается по-разному в зависимости от обстоятельств. При этом мы получаем различные задачи теории приближения, из которых рассмотрим две: интерполирование и среднеквадратичное приближение.

5.2.Интерполирование функций

5.2.1.Постановка задачи интерполирования

Простейшая задача интерполирования заключается в следующем [3, 6]. На отрезке [a, b] заданы n + 1 точек x0, x1, …, xn, которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции у = f(x) в этих узлах: y0 = f(x0),

y1 = f(x1), …, yn = f(xn). Требуется построить функцию (х) (интерполирующую функцию), принимающую в узлах ин-

терполяции те же значения, что и функция f(x), т.е.

Геометрически это означает, что нужно найти кривую

у = (х), проходящую через заданную систему точек (уз-

лов) (xi, yi), i = 0, 1, ..., n (рис. 5.1).

y = φ(x)

Рис. 5.1. Геометрический смысл задачи интерполирования

94

В такой общей постановке задача может иметь бесчис-

ленное множество решений или совсем не иметь решений.

Однако задача становится однозначной, если в качестве интерполирующей функции взять многочлен Pn(х) степени не выше n, удовлетворяющий условиям

Интерполяционную формулу

обычно используют для приближенного вычисления зна-

чений данной функции у = f(x) в точках х [х0, хn], отличных от узлов интерполяции. Такая операция называется

интерполированием функции. С другой стороны, имея ин-

терполяционную зависимость (5.4), можно сделать прогноз о поведении функции у = f(x) вне отрезка [a, b], это уже на-

зывается экстраполяцией.

Таким образом, под интерполяцией понимается нахождение приближенных промежуточных значений таблично заданной функции строго внутри таблицы, тогда как экстраполяция – нахождение приближенных значений функции за пределами промежутка [x0, xn].

 Замечание. Понятия интерполирование и экстра-

полирование становятся очевидными, если знать их латинское происхождение: inter – между, extra – вне, polire – делать гладкими.

5.2.2. Интерполяционная формула Лагранжа

Пусть на отрезке [a, b] функция у = f(x) задана таблич-

но, т.е. (xi, yi), (i = 0, 1, ..., n), где yi = f(xi). Заданную функ-

цию называют «сеточной».

Постановка задачи: найти алгебраический многочлен (полином)

k 0

95

т.е. имеющий в заданных узлах xi, (i = 0, 1, ..., n) те же значения, что и сеточная функция у = f(x).

Сам многочлен Ln(x) называется интерполяционным полиномом, а задача – полиномиальной интерполяцией.

Найти многочлен Ln(x) – это значит найти его коэф-

фициенты a0, a1,…, an. Для этого имеется n+1 условие (5.6), которое записывается в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных ai, (i = 0, 1, …, n):

где xi и yi (i = 0, 1, …, n) – табличные значения аргумента и функции.

Из курса алгебры известно, что определитель этой системы, называемый определителем Вандермонда,

отличен от нуля и, следовательно, система (5.7) имеет

единственное решение.

Определив коэффициенты a0, a1, …, an, решая систему (5.7), получаем так называемый интерполяционный поли-

ном Лагранжа для функции f(x):

96

Доказывается [3, 6], что по заданным n + 1 значениям функции можно построить единственный интерполяционный многочлен Лагранжа (5.8).

На практике широко используются интерполяционные многочлены Лагранжа первой (n = 1) и второй (n = 2) степени.

При n = 1 информация об интерполируемой функции

у = f(x) задается в двух точках: (x0, y0) и (x1, y1), и многочлен Лагранжа имеет вид

Для n = 2 многочлен Лагранжа строится по трехточечной таблице

97

Приближенные равенства

называются соответственно формулами линейной и квад-

ратичной интерполяции.

Пример 5.1. Построить интерполяционный полином Лагранжа для функции, заданной таблицей:

Решение. Подставляем исходные данные в формулу (5.8). Степень полученного многочлена Лагранжа не выше третьей, так как функция задается четырьмя значениями:

L3 (x) 1(x 2)(x 3)(x 5) / (1 2)(1 3)(1 5)5(x 1)(x 3)(x 5) / (2 1)(2 3)(2 5)

. 14(x 1)(x 2)(x 5) / (3 1)(3 2)(3 5) .

81(x 1)(x 2)(x 3) / (5 1)(5 2)(5 1)

x3 2x2 3x 1.

Пользуясь интерполяционным полиномом Лагранжа, можно найти значение функции в любой промежуточной точке, например при х = 4:

L3 x 43 2 42 3 4 1 43.

Интерполяционные полиномы Лагранжа используют-

ся в методе конечных элементов, широко применяемом при решении задач строительства.

Известны и другие формулы интерполяции, например

интерполяционная формула Ньютона [3, 6], применяемая при интерполяции в случае равноотстоящих узлов, или интерполяционный полином Эрмита [3].

Сплайн-интерполяция. При использовании большого числа узлов интерполяции используют специальный при-

98

ем – кусочно-полиномиальную интерполяцию, когда функ-

ция интерполируется полиномом степени т между любыми соседними узлами сетки.

5.3. Среднеквадратичное приближение функций

5.3.1. Постановка задачи

Среднеквадратичное приближение функций – это другой подход к получению аналитических выражений для аппроксимирующих функций. Особенностью таких задач является тот факт, что исходные данные для построения тех или иных закономерностей имеют заведомо прибли-

женный характер.

Эти данные получены в результате какого-либо эксперимента или вычислительного процесса. Соответственно, эти данные содержат погрешности эксперимента (погрешности измерительной аппаратуры и условий, случайные ошибки и пр.) или погрешности округления.

Допустим, исследуется какое-либо явление или процесс. В общем виде объект исследования можно представить кибернетической системой («черный ящик»):

Переменная х – это независимая, управляемая переменная (входной параметр).

Переменная Y – это реакция (отклик) объекта исследования на воздействие входного параметра. Это зависимая переменная.

Предположим, что при обработке результатов этого эксперимента обнаружена некая функциональная зависимость у = f(x) между независимой переменной х и зависимой переменной у. Эта зависимость представлена в виде табл. 5.1 значений xi, yi (i = 1, 2, …, n), полученных в ходе эксперимента.

99

Таблица 5 . 1 . Значения результатов эксперимента

Если аналитическое выражение функции у = f(x) неизвестно или весьма сложно, то возникает задача найти функцию y = (х), значения которой при x = xi , возможно, мало отличалось бы от опытных данных yi (i = 1, ..., n). Таким образом, исследуемая зависимость аппроксимируется функцией y = (х) на отрезке [x1, xn]:

Аппроксимирующая функция y = (х) называется эмпи-

рическойформулой (ЭФ), или уравнением регрессии (УР).

Эмпирические формулы не претендует на роль законов природы, а являются лишь гипотезами, более или менее адекватно описывающими опытные данные. Однако значение их весьма велико. В истории науки известны случаи, когда полученная удачная эмпирическая формула приводила к большим научным открытиям.

Эмпирическая формула является адекватной, если ее

можно использовать для описания исследуемого объекта с достаточной для практики точностью.

Для чего же нужна эта зависимость?

Если приближение (5.9) найдено, то возможно:

• просчитать значение y для любого x x1, xn (ин-

терполяция);

•сделать прогноз о поведении исследуемого объекта вне отрезка x1, xn (экстраполяция);

•выбрать оптимальное направление развития исследуемого процесса.

Уравнение регрессии может иметь различный вид и различный уровень сложности в зависимости от особен-

100