книги / Численные методы решения задач строительства. Ч. 1

в настоящее время для устройства перекрытий различных объектов, пространственных конструкций в виде оболочек, висячих покрытий и др.

Дискретизация. Общим для всех численных методов является сведение непрерывной математической задачи к задаче конечномерной, то есть переход от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента. При этом область изменения аргумента x заменяется дискретным множеством точек (узлов) xi , Это множество на-

зывается сеточной областью (разностной сеткой или просто сеткой):

n {x0 = a, xi = xi–1 + h (i = 1, 2, …. n–1), xn = b, h = (b – a)/n},

где xi – узлы сетки (i = 0, 1, 2, ….n); h – шаг сеточной области, а заданная непрерывная на [a, b] функция y = y(x)

заменяется функцией дискретного аргумента yi = f(xi), (i = 0, 1, 2, …, n) на этой сеточной области (т.е. таблицей). Так заданная функция называется сеточной [3, 12].

Если исходная математическая задача формулируется в виде дифференциального уравнения или системы таких уравнений, то при численном решении задачи ее заменяют системой конечного, возможно, очень большого числа ли-

нейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и говорят, что проведена дискретизация исходной математической задачи.

В общем случае дискретную модель можно рассматривать как конечномерный аналог исходной математической задачи.

Чаще всего дискретная модель зависит от некоторого

параметра дискретизации (например, шага сетки h), при стремлении которого к нулю число узлов сетки xi, (i = 0, 1, 2, ….n) неограниченно возрастает.

После дискретизации задачи строится вычислительный алгоритм (последовательность арифметических и логических операций, выполняемых на ЭВМ), т.е. выбирает-

11

ся какой-либо численный метод, дающий за конечное число действий решение дискретной задачи.

Результатом реализации ЧМ на ЭВМ является число или таблица чисел {xi ,yi}, где i = 0, 1, 2, ….n.

Полученное решение принимается за приближенное решение исходной задачи.

Для одной и той же задачи можно использовать несколько численных методов. Пользователю надо уметь выбрать наиболее рациональный из них для каждого конкретного случая. Правильный выбор численного метода делается на основе знания его характеристик, таких как универсальность, экономичность, устойчивость, простота. И выбирая тот или иной численный метод, надо помнить,

что уровень точности метода должен быть адекватен точности модели.

Кроме того, надо помнить, что вычислительный алгоритм (численный метод) должен давать решение исходной задачи с заданной точностью за конечное число действий (за допустимое машинное время).

Численные методы не всесильны. Они не заменяют аналитические методы. Ихследуетприменять вкомбинации.

Погрешности вычислений

На некоторых этапах вычислительного эксперимента могут возникнуть погрешности, искажающие результаты вычислений. Поэтому оценка степени достоверности получаемых результатов в процессе вычислительных работ является важным вопросом.

Рассмотрим источники погрешностей на отдельных этапах решения задачи [6, 9, 12].

Погрешность задачи, обусловленная неточным зада-

нием математической модели. Погрешность ММ рассмат-

риваться здесь не будет.

12

Исходные данные задачи чаще всего являются основным источником погрешностей. Для вычислителя это неустранимая погрешность (не зависит от математики). Исходные данные чаще всего задаются неточно. Они могут быть получены в процессе эксперимента. В технических задачах погрешность измерений допускается в пределах 5– 10 %. То же в процессе предварительных расчетов, где надо учитывать погрешности округления.

Погрешность метода, или погрешность дискретизации, возникающая при замене исходнойзадачи– дискретной.

Погрешность численного метода связана с тем, что точные операторы заменяются приближенными. Например, интеграл заменяется суммой, производная – разностью, функция – многочленом (разложение в ряд), бесконечный итерационный процесс заканчивается после выполнения конечного числа итераций и т.д.

Погрешность метода надо выбирать так, чтобы она была в несколько раз меньше погрешности исходных данных. Большая погрешность снижает точность результата, а меньшая бесполезна, так как приводит к необоснованному увеличению объемов вычислений. Надо помнить, что никакие манипуляции с данными не увеличат их точность.

Как правило, описание того или иного численного метода содержит оценку точности этого метода.

Погрешность округлений возникает при вычислениях с помощью ЭВМ, что связано с ограниченностью разрядной сетки.

Понятия точности, устойчивости и сходимости при численном решении

При выборе численного метода необходимо оценить такие его характеристики, как точность, устойчивость

и сходимость.

13

Точность – это мера близости численного решения к точному, или истинному, решению.

Устойчивость. При решении инженерных задач неизбежно появляются погрешности исходных данных (входных параметров). Поэтому возникает вопрос о том, насколько чувствительными могут оказаться сами задачи и их решения к таким погрешностям.

Вопрос об устойчивости решения – это вопрос о том, как зависит решение задачиотвходных параметров.

Если решение существует и единственно, то возможны два варианта.

1.Решение задачи непрерывно зависит от входных параметров, т.е. малым изменениям входных параметров (возмущениям) соответствует малое изменение решения задачи. Такое решение называется устойчивым, а сама задача – корректной.

2.Если же небольшие возмущения исходных данных приводят к большим изменениям решения, то это решение называется неустойчивым, а сама задача – некорректной.

Корректность. Задача называется поставленной корректно, если решение существует, единственно и устойчиво относительно исходных данных из некоторого класса ее ре-

шений [8, 12].

Применять ЧМ для решения некорректно поставленных задач нецелесообразно, поскольку погрешности округления, возникающие в расчетах, будут быстро возрастать по ходу вычислений, что приведет к существенным искажениям результатов.

Сходимость – это постепенное приближение последовательно вычисляемых приближенных решений к предельному (точному) решению.

Термин сходимости применяется к построению ите-

рационной последовательности, в которой одно прибли-

14

женное решение (итерация) становится исходной информацией для следующего приближенного решения.

Таким образом, в сходящемся процессе разница между соседними приближениями (итерациями) уменьшается, стремясь в пределе к нулю.

Итак, чтобы получить решение задачи с необходимой точностью, ее постановка должна быть корректной, а применяемый ЧМ должен обладать устойчивостью и сходи-

мостью.

15

ГЛАВА 1

Основные понятия матричного исчисления

Матричная форма расчетов известна давно. Однако до появления ЭВМ она не находила широкого применения изза трудоемкости матричных операций при ручном счете.

Решение алгебраических задач при расчете строительных объектов требует знания матричного аппарата, так как, работая на ЭВМ, удобнее всего процесс расчета представлять в матричном виде. Чтобы при решении задач не обращаться к специальным руководствам, напомним основные понятия, которые в дальнейшем потребуются при изучении данного курса.

1.1. Матрицы и векторы

Матрица – прямоугольная таблица, составленная из элементов (чисел), и имеющая m строк и n столбцов (раз-

мерность m n), Обозначается матрица чаще всего большими буквами A или [A]:

Если m = n, матрица называется квадратной. Если m = 1, это матрица-строка (вектор-строка).

Две матрицы A aij и B bij равны друг другу, если

они одного типа (имеют одинаковое число строк и столбцов – размер [m n]) и соответствующие элементы этих матриц равны между собой: aij bij для всех i и j.

16

Если n = 1, то матрица называется матрица-столбец, (вектор-столбец). Будем особо выделять вектор и обозна-

чать его X :

Квадратная матрица, у которой все элементы равны нулю, кроме элементов, стоящих на главной диагонали, на-

зывается диагональной:

Диагональная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны 1, называется единичной и обозначается обычно буквой Е:

Если в матрице строки и столбцы поменять местами, получается транспонированная матрица (обозначается Ат).

Каждой квадратной матрице А ставится в соответствие число, вычисляемое по определенным правилам – определитель (det A). Например, определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов:

i 1

17

Алгоритм преобразования матрицы к треугольному виду приведен во второй главе.

Если определитель матрицы det A = 0, то матрица на-

зывается вырожденной, и невырожденной в противном случае.

Эквивалентны следующие высказывания: матрица А является невырожденной, если:

столбцы (строки) матрицы А линейно независимы;

равенство AX 0 означает, что X 0.

Обратная матрица. Доказывается теорема, что если матрица А невырожденная (det A ≠ 0), то она имеет обратную матрицу (обозначается А–1).

Матрица называется обратной по отношению к данной, если ее умножение как справа, так и слева на данную матрицу дает единичную матрицу:

Процесс нахождения обратной матрицы называется

обращением матрицы.

1.2. Матрицы специального вида

При использовании численных методов для решения задач строительства приходится сталкиваться с матрицами, специальная форма которых позволяет облегчить процесс вычисления. Рассмотрим некоторые из них.

Матрица, в которой большинство элементов равно нулю, называется разреженной. Такие матрицы появляются при расчетах моделей, в которых существенно локализованы связи и действующие нагрузки (стержневые системы, например, фермы), или при разностной аппроксимации дифференциальных уравнений. Элементы aij такой матрицы обычно вычисляются по заданным формулам, и их

18

можно не хранить в оперативной памяти машины. Это очень важно, так как порядок таких матриц может достигать нескольких десятков и даже сотен тысяч.

Ленточная матрица – это разреженная матрица, в которой все ненулевые элементы расположены симметрично относительно главной диагонали.

Такие матрицы встречаются при решении краевых за-

дач методом конечных разностей или вариационными методами – Ритца, конечных элементов.

Структуру ленточной матрицы можно представить в виде

Ширина ленты

Трехдиагональная матрица – частный случай лен-

точной матрицы, ширина ленты которой равна 3 (или каждая строка матрицы содержит три ненулевых элемента, за исключением первой и последней, содержащих по два ненулевых элемента).

Такого вида матрицы получаются при решении краевых задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, или при определении критических сил спосо-

бом упругих грузов.

Квадратная матрица называется симметричной, если ее элементы симметричны относительно главной диагонали

( aij aji ). Многие физические задачи равновесия, строительной механики приводят к симметричным матрицам.

19

Решение систем линейных алгебраических уравнений не представляет никаких затруднений для диагональных матриц, в которых элементы aij 0 при всех i и j, кроме i = j.

Такого вида матрицы получаются при решении систем линейных алгебраических уравнений методом Жордана– Гаусса. Правда, привести матрицу к диагональному виду не просто.

Треугольные матрицы встречаются при решении систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса. Эти матрицы интересны тем, что решение СЛАУ сводится к рекуррентным (последовательным) вычислениям неизвестных:

При транспонировании эти матрицы превращаются одна в другую.

Элементарные преобразования матриц. В курсе ал-

гебры доказывается теорема, что всякую невырожденную

матрицу (det A 0) можно привести к матрице треугольного вида, эквивалентной исходной, с помощью конечного числа элементарных преобразований.

Элементарными называются следующие преобразования:

–перестановка двух строк (столбцов) местами;

–умножение строк (столбцов) на одно и то же число;

–прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца).

Если det A 0, т.е матрица невырожденная, то и ее эквивалентная матрица тоже является невырожденной.

20