книги / Численные методы решения задач строительства. Ч. 1

датируется по меньшей мере 250-м годом до н.э., хотя и носит имя Гаусса.

Суть метода заключается в манипуляциях с уравнениями, врезультате чего из уравнений последовательно исключаются неизвестные. Полученная эквивалентная система (т.е. система с тем же самым решением) является системой с треугольной матрицей А.

Процесс решения состоит из двух этапов: прямого и обратного хода.

В результате прямого хода система приводится к системе с треугольной матрицей, а при выполнении обратного хода вычисляются последовательно все неизвестные [8, 13].

Продемонстрируем метод Гаусса на примере системы из трех уравнений. Обозначим каждое уравнение буквами A(i), B(i), C(i) (здесь (i) соответствует номеру шага).

Прямой ход

Шаг 1. Допустим ведущий элемент а11 отличен от нуля. Разделим первое уравнение на а11. Полученное при этом уравнение домножим последовательно на коэффициенты (–а21) и (–а31) и сложим с соответствующими элементами 2-й и 3-й строки.

Выполняемые действия показаны справа от системы уравнений. В результате выполнения этого шага из всех уравнений, кроме 1-го, исключается неизвестное х1.

Ведущий (главный) элемент – элемент, стоящий на главной диагонали.

51

Действия:

Шаг 2. Выполняя аналогичные действия со вторым и третьим уравнениями (1-е уравнение при этом остается неизменным), исключаем неизвестное х2:

Действия:

Выполнив два шага для системы 3-го порядка, получили систему, эквивалентную заданной и имеющую верхнюю треугольную матрицу коэффициентов, из которой легко вычисляются все неизвестные. (Для общности можно выполнить 3-й шаг, поделив последнее уравнение на главный коэффициент.)

Обратный ход. Из последней строки полученной системы (3.3б) находим значение неизвестного х3:

b(2) x3 a3(2) .

33

Подставляя его во 2-ю строку системы (3.3б), получим значение х2:

x2 b2(2) a23(2) x3.

Имея х2, х3, аналогичным образом найдем х1 из 1-го уравнения этой же системы:

52

x1 b1(1) a12(1) x2 a13(1) x3.

Рассмотрим простой численный пример.

Пример 3.1. Методом Гаусса решить систему уравнений

Составим матрицу коэффициентов, включая свободные члены (расширенную матрицу):

Прямой ход

1-й шаг. 1-ю строку матрицы делим на а11 = 2. Умножаем полученную строку сначала на (–3) и складываем со 2-й, а затем на (–4) и складываем с 3-й:

2-й шаг. 2-ю строку матрицы А(1) делим на а22 = –5. Умножаем полученную строку на (–3) и складываем с 3-й строкой этой же матрицы:

53

Обратный ход

Из последнего уравнения (3-я строка матрицы) получаем

x3 5,8 . 2,9

Из 2-го уравнения находим

x2 1,6 1,3x3 1,6 1,3 2 1.

Из 1-го уравнения получаем

x1 2 2x2 1,5x3 2 2 1 1,5 2 1.

Таким образом, полученное решение имеет вид

X 1, 1,2 .

Решение этого примера с использованием электронных таблиц Excel приведено в подразд. 3.6.1.

В процессе решения системы возможны три случая:

1.Решение системы существует и является единст-

венным, когда матрица коэффициентов невырожденная (при этом на последнем шаге решения получается одно уравнение с одним неизвестным).

2.Система уравнений вообще не имеет решений (та-

кой случай имеет место, когда на некотором шаге получается строка, в которой все коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член не равен нулю).

3.Система уравнений имеет бесконечное множество решений (это получается, когда на некотором шаге в системе получается строка, в которой все коэффициенты и свободный член равны нулю).

 При практическом применении метода Гаусса сле-

дует обратить внимание на следующие моменты:

1.Если в ходе приведения матрицы А к треугольному виду на главной диагонали окажется элемент, равный ну-

54

лю, эта схема расчета формально непригодна, хотя система может иметь единственное решение.

2. В процессе вычислений встречаются ведущие элементы, которые малы по сравнению с другими элементами соответствующих строк. Это обстоятельство может привести к значительным ошибкам округления.

Чтобы избежать всего этого, каждый цикл (шаг) следует начинать с перестановки строк, в результате которой ненулевой элемент перемещается на главную диагональ. При этом среди элементов столбца находится главный элемент, т.е. максимальный по модулю в соответствующем столбце, который и выводится на главную диагональ. В таком варианте метода погрешности обычно невелики. Такую модифи-

кацию метода называют методом Гаусса с выбором главно-

го элемента.

3.2.2. Метод прогонки

Метод прогонки является модификацией метода Гаусса для частного случая систем уравнений с трехдиагональной матрицей вида

Метод прогонки состоит из двух этапов: прямой и об-

ратной прогонки. При прямой прогонке каждое неизвестное xi выражается через xi+1 с помощью прогоночных коэффици-

ентов Ui, Vi.

55

Из 1-го уравнения системы (3.4) выражаем x1:

Из 2-го уравнения системы (3.4) выражаем x2:

Обратная прогонка состоит в последовательном вычислении неизвестных xi. Сначала вычисляется неизвестное xn из двух последних уравнений преобразованной сис-

темы (3.9):

56

Затем, используя выражение (3.7), последовательно вычисляются все остальные неизвестные xn 1, xn 2 , , x2 , x1.

Алгоритм метода прогонки:

1. Вычисляются прогоночные коэффициенты Ui, Vi по формулам (3.8) для i = 1, 2, … n – 1 при условии, что

U0 = 0, V0 = 0.

2.Определяются xn из выражения (3.10).

3.По формуле (3.7) последовательно вычисляются все

остальные неизвестные xn 1, xn 2 , , x2 , x1.

3.3. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

В этой группе методов мы познакомимся с двумя старыми и простыми методами: методом Якоби и методом Га- усса–Зейделя [8, 14].

3.3.1. Метод Якоби (простых итераций)

Задана система линейных алгебраических уравнений

Для сходимости итерационного процесса необходимо выполнение условия «преобладания диагональных элемен-

тов», т.е. диагональные элементы матрицы А должны удовлетворятьусловию

57

Преобразуем систему (3.11) к эквивалентной, выражая неизвестное xi из каждого i-го уравнения:

Используя выражение (3.14), строим последовательность приближений (итераций), выбрав в качестве нулевого при-

ближения, например, нулевой вектор или столбец свободных членов:

58

Таким образом, получили последовательность при-

Если эта последовательность имеет предел

X lim X (k ) ,

k

то он является точным решением системы (3.11).

На практике итерационный процесс продолжается до тех пор, пока два соседних приближения не станут достаточно близкими.

Критерий близости двух приближений X (k ) и X (k 1)

может быть определен следующим образом:

Если условие (3.18) выполнено, то итерационный процесс прекращается. За приближенное решение системы

(3.11) с заданной точностью принимается (k)-е приближение, т.е.

X X (k ) .

Если условие (3.18) не выполняется, то итерационный процесс (3.17) необходимо продолжить до тех пор, пока условие не выполнится.

 Замечания

1. Начальный вектор X (0) может быть взят произволь-

ным, так как сходимость итерационного процесса зависит

только от свойств матрицы , и если процесс сходится при каком-нибудь начальном приближении, то он будет сходиться к тому же предельному вектору и при любом другом выборе этого начального приближения.

59

2. Сходящийся процесс итерации обладает важным свойством самоисправляемости, т.е. отдельная ошибка в вычислениях не отразится на окончательном результате, так что ошибочное приближение можно рассматривать как новый начальныйвектор.

Пример 3.2. Методом Якоби решить систему линейных алгебраических уравнений:

Решение. Условие преобладания диагональных коэффициентов матрицы системы выполнено. Приведем эту систему к нормальному виду:

В матричной форме систему (3.20) можно записать так:

За начальное (нулевое) приближение решения системы примем нулевой вектор, т.е.

Подставляя эти значения в правые части уравнения (3.20), получим первое приближение решения системы (первую итерацию):

60