книги / Численные методы решения задач строительства. Ч. 1
.pdf
Zmin 1 x1 x2
при ограничениях
x |
x |
1 0, |
1 |
2 |
|
3x1 2x2 6 0, |
||
3x1 x2 9 0, |
||
x |
0, |
x 0. |
1 |
|
2 |
Последовательность действий:
1.Подготовим таблицу, как показано на рис. 6.14. Ячейки, содержащие целевую функцию (А10) и изменяе-
мые ячейки (проектные параметры x1, x2) В10:С10, тонируем. Для контроля счета в ячейки В10:С10 введем единицы.
Значения проектных параметров х1=1 и х2=1 можно рассматривать как начальное приближение решения задачи.
2.Систему ограничений (6.12) запишем в виде, как показано на рис. 6.14, т.е.:
aix1 + bix2 – di ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4, 5.
Рис. 6.14. Расчетная схема для примера 6.2
151
Обратите внимание на то, что знаки неравенств одинаковы для всех строк системы ограничений. В рациональности этого вы убедитесь ниже.
3.В ячейки В3:D7 введем коэффициенты системы ограничений.
4.В ячейку E3 введем формулу для вычисления левой части 1-го ограничения, т.е.
E3=СУММПРОИЗВ($B$10:$C$10;B3:C3)+D3,
и после ввода скопируем ее вниз до конца таблицы. Не лишним будет проверить результаты счета для заданных значений х1 = 1 и х2 = 1.
5. Формулу для целевой функции запишем в ячейке
A10:
A10=1-В10-С10.
6. Выберем команду меню Данные\Поиск решения
и в появившемся окне сделаем соответствующие установки (рис. 6.15). Ограничения устанавливаются с помощью кнопки Добавить, которая вызывает окно Добавление ограничения для ввода этих ограничений (см. рис. 6.15).
Рис. 6.15. Окно «Поиск решения»
152
7. После щелчка на кнопке Выполнить, при условии, что введено все верно, результат решения будет иметь вид, как показано на рис. 6.16.
Рис. 6.16. Результаты решения примера 6.2
Результаты можно сохранить или отказаться от них (восстановив исходные значения). Можно получить один из ви-
дов отчетов (Результаты, Устойчивость, Пределы). Отчет можно оформить на отдельном листе Книги с соответствующим именем.
6.5.2. Решение транспортной задачи
Рассмотрим задачу, приведенную в примере 6.8.
В качестве проектных параметров были приняты xij (i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, 3) – количество цемента, перевозимого с i-го завода на j-й ЖБК.
Известна Cij – стоимость перевозки единицы продукта с i-го завода на j-й ЖБК.
Целевая функция:
Zmin = 3x11 + 5x12 + 7х13 + 11х14 + |
|
+ x21 + 4x22 + 6x23 + 3x24 + |
(6.29) |
153
+ 5x31 + 8x32 + 12x33 + 7x34
Ограничения:
x11 +x12 +х13+х14 = 150, |
|
x21 +x22 +x23+x24 = 130, |
|
x11 +x21 +х31 = 150, |
(6.30) |
x12 +x22 +x32 = 120, x13 +x23.+x33 = 80, x14 +x24.+x34 = 50,
xij 0 (i = 1,2,3; j = 1,2,3,4).
Последовательность действий:
1. Подготовим таблицу, как показано на рис. 6.17. Ячейки, содержащие целевую функцию I10 и изменяемые
ячейки (проектные параметры xij, i = 1, 2, j = 1, 2, 3) D4:D6, F4:F6; Н4:Н6, J4:J6, тонированы. Для контроля сче-
та в изменяемые ячейки введем какие-либо числа, например единицы. Эти значения проектных параметров можно рассматривать как начальное приближение решения.
2.Введем исходные данные (цены перевозок) из таблицы примера 6.8 в соответствующие ячейки рис. 6.17.
3.В ячейку I10 введем целевую функцию:
I10 = СУММПРОИЗВ(C4:C6;D4:D6) + +СУММПРОИЗВ(E4:E6;F4:F6)+ +СУММПРОИЗВ(G4:G6;Н4:Н6;)+ +СУММПРОИЗВ(I4:I6;J4:J6).
4.Подготовим таблицу ограничений. Для этого в ячейку D10 введем формулу D10=D4+F4+H4+J4-B4, а затем скопируем ее вниз на две строки.
5.Для ввода следующих четырех ограничений воспользуемся автосуммированием. Например: D13=СУММ(D4:D6)- D7, аналогичные формулы запишем в ячейки D15:D17.
154
Рис. 6.17. Схема решения транспортной задачи
6.Последнюю строку ограничений добавим непосредственно в окне «Поиск решения».
7.Выделим ячейку I10 (целевая ячейка) и выберем ко-
манду меню Данные\Поиск решения. В появившемся окне
«Поиск решения» сделаем установки, как показано на рис.
6.18.Для ввода ограничений используем кнопку Добавить.
Рис. 6.18. Окно «Поиск решения»
155
Результат счета приведен на рис.6.19, минимальная стоимость перевозок составляет 2040 у.е.
Рис. 6.19. Результаты решения транспортной задачи
Контрольные вопросы
1. Математическая постановка задач оптимизации
встроительстве.
2.Классификация задач математического программиро-
вания.
3.Общая постановка задачи линейного программиро-
вания.
4.Геометрический метод решения задач линейного программирования.
5.В чем заключается идея симплекс-метода решения задач линейного программирования?
6. Основные задачи линейного программирования в сфере проектирования и управления строительным производством
156
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Антонов В.И., Копелевич Ф.И. Элементарная математика для первокурсника. – СПб.: Лань, 2013. – 112 с.
2.Вержбицкий В.М. Вычислительная и линейная ал-
гебра. – М.: Высш. шк., 2009. – 351 с.
3.Вержбицкий В.М. Основы численных методов. –
М.: Высш. шк., 2009. – 840 с.
4.Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – М.:
Добросвет, 2009. – 320 с.
5.Горлач Б.А. Линейная алгебра: учеб. пособие. –
СПб.: Лань, 2012. – 480 с.
6.Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – СПб.: Лань, 2007. – 664 с.
7.Информатика в строительстве (с основами численного моделирования) / А.Б. Золотов, П.А. Акимов,
В.Н. Сидоров, М.Л. Мозгалева. – М.: Архитектура – С. 2010. – 336 с.
8.Кашеварова Г.Г., Пермякова Т.Б. Численные методы решения задач строительства на ЭВМ / Перм. гос. техн. ун-
т. – Пермь, 2007. – 352 с.
9.Киреев В.И., Пантелеев А.В. Численные методы
впримерах и задачах. – М.: Высш. шк., 2008. – 480 с.
10.Попов А. EXCEL: практ. руководство. – М., 2007. –
301с.
11.Самарский А.А. Введение в численные методы: учеб. пособие для вузов. – 3-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2005. – 288 с.
12.Турчак Л.И. Плотников П.В. Основы численных методов: учеб. пособие. – 2-е изд. – М.: Физматлит, 2002. – 304 с.
13.Щипачев В.С. Высшая математика. – СПб.: Лань, 2013. – 384 с.
157
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Предисловие...................................................................................... |
3 |
Введение............................................................................................ |
6 |
Глава 1.Основные понятия матричного исчисления................... |
16 |
1.1. Матрицы и векторы........................................................... |
16 |
1.2. Матрицы специального вида............................................ |
18 |
1.3. Действия над матрицами.................................................. |
21 |
1.4. Нормы матрицы и вектора................................................ |
23 |
1.5. Функции MS Excel для операций над матрицами............ |
24 |
Глава 2.Численные методы решения |
|
нелинейных уравнений.................................................................. |
26 |
2.1. Первый этап. Отделение корней...................................... |
28 |
2.2. Второй этап. Уточнение корня......................................... |
32 |
2.2.1. Методполовинногоделения (бисекции)....................... |
33 |
2.2.2. Методхорд......................................................................... |
35 |
2.2.3. МетодНьютона(метод касательных) ............................ |
38 |
2.2.4. Модифицированный метод Ньютона............................. |
41 |
2.3. Реализация численных методов решения |
|
нелинейных уравнений средствами |
|
приложения MS Excel ...................................................... |
41 |
Глава 3.Численные методы решения систем |
|
линейных алгебраических уравнений.......................................... |
48 |
3.1. Системы линейных алгебраических уравнений............. |
48 |
3.2. Прямые методы решения систем линейных |
|
алгебраических уравнений.............................................. |
50 |
3.2.1. Метод Гаусса............................................................... |
50 |
3.2.2. Методпрогонки................................................................ |
55 |
3.3. Итерационные методы решения систем линейных |
|
алгебраических уравнений.............................................. |
57 |
3.3.1. МетодЯкоби (простых итераций).................................. |
57 |
3.3.2. МетодГаусса–Зейделя. .................................................... |
62 |
3.3.3. Условия сходимостиитерационного процесса............. |
64 |
3.4. Устойчивость решения СЛАУ относительно |
|
исходных данных (или обусловленность задач |
|
и вычислений) .......................................................................... |
66 |
158
3.5. Примеры решения СЛАУ с использованием |
|
электронных таблиц MS Excel................................................ |
71 |
3.5.1. Реализация метода Гаусса................................................ |
71 |
3.5.2. Решение СЛАУ спомощью надстройки |
|
«Поискрешения» ............................................................. |
73 |
3.5.3. Реализация метода Якоби средствами |
|
приложенияMS Excel...................................................... |
75 |
3.5.4. Реализация методапрогонки |
|
средствамиприложенияMS Excel ................................. |
78 |
Глава 4.Численное интегрирование.............................................. |
80 |
4.1. Квадратурные формулы прямоугольников..................... |
83 |
4.2. Квадратурная формула трапеций..................................... |
85 |
4.3. Квадратурная формула Симпсона ................................... |
86 |
4.4. Реализация методов численного интегрирования |
|
средствами приложения MS Excel .................................. |
90 |
Глава 5. Аппроксимация ................................................................ |
93 |
5.1. Задачи аппроксимации...................................................... |
93 |
5.2. Интерполирование функций............................................ |
94 |
5.2.1. Постановка задачи интерполирования.......................... |
94 |
5.2.2. Интерполяционнаяформула Лагранжа......................... |
95 |
5.3. Среднеквадратичное приближение функций................. |
99 |
5.3.1. Постановка задачи............................................................ |
99 |
5.3.2. Методнаименьших квадратов...................................... |
102 |
5.3.3. Линейная эмпирическая формула |
|
(линейнаярегрессия) ..................................................... |
103 |
5.3.4. Коэффициенткорреляции.............................................. |
106 |
5.3.5. Квадратичное(параболическое) приближение........... |
106 |
5.3.6. Эмпирическиеформулыс двумя |
|
параметрами(метод выравнивания)............................ |
108 |
5.4. Решение задач аппроксимации с помощью |
|
электронных таблиц Excel ............................................. |
110 |
5.4.1. Построениеуравненийрегрессииметодом |
|
наименьших квадратовсиспользованием |
|
надстройки«Поискрешения»...................................... |
110 |
5.4.2.Построение линейной эмпирическойформулы
сиспользованием встроенных функций
ЛИНЕЙН иТЕНДЕНЦИЯ............................................ |
113 |
159
Глава 6.Численные методы оптимизации................................... |
116 |
6.1. Общие сведения .............................................................. |
117 |
6.1.1. Математическаямодель задачиоптимизации............ |
117 |
6.1.2. Классификациязадач математического |
|
программирования......................................................... |
120 |
6.2. Постановка задачиоптимального проектирования.......... |
122 |
6.3.Задачи линейного программирования............................ |
124 |
6.3.1. Общаяпостановка задачи.............................................. |
125 |
6.3.2. Геометрическийсмысл системы |
|
линейных неравенств..................................................... |
126 |
6.3.3. Геометрическийметодрешения задач |
|
линейного программирования...................................... |
130 |
6.3.4. Симплекс-методрешения задачлинейного |
|
программирования......................................................... |
137 |
6.4. Примерызадач линейногопрограммирования |
|
в сферепроектированияиуправления |
|
строительным производством.......................................... |
139 |
6.4.1. Задача об оптимальном плане |
|
выпуска продукции................................................... |
139 |
6.4.2. Задача об оптимальном раскрое материалов |
|
(о минимизации отходов) ......................................... |
142 |
6.4.3. Задача о планировании смен на предприятии........ |
144 |
6.4.4. Задача о покрытии местности |
|
при строительстве объектов..................................... |
144 |
6.4.5. Транспортная задача................................................. |
145 |
6.4.6. Задача о назначениях (проблема выбора)............... |
148 |
6.5. Решение задач оптимизации с помощью MS Excel ..... |
150 |
6.5.1.Решение задачипланированияпроизводства.............. |
150 |
6.5.2.Решение транспортной задачи....................................... |
153 |
Список литературы....................................................................... |
157 |
160