книги / Численные методы решения задач строительства. Ч. 1

Далее, подставляя это найденное приближение в систему (3.20), получим 2-е приближение решения системы (вторую итерацию):

После новой подстановки будем иметь 3-е приближение:

Аналогично получим 4-ю итерацию:

Проверим выполнение условия «близости» двух итераций, т.е. условие (3.18)

max 1,020 1,036 ; 2,022 2,073 ; 0,991 1,057

max 0,016;0,051;0,066 0,066 0,1.

Таким образом, за приближенное решение системы (3.19) с точностью ε = 0,1 принимаем 4-ю итерацию

X (4) {1,020; 2,022; 0,991}.

Чтобы получить решение СЛАУ (3.19) с точностью ε = 0,001, потребуется 8 итераций. Точное решение: х1 = 1;

х2 = 2; х3 = 1.

61

Решение данного примера с использованием электронных таблиц Excel приведено в подразд. 3.6.3.

3.3.2. Метод Гаусса–Зейделя

Метод представляет собой модификацию метода Якоби. Основная идея метода заключается в том, что при вы-

числении (k + 1)-й итерации неизвестное xi(k 1) вычисляется с учетом уже найденных x1(k 1) , x2(k 1) , , xi(k1 1) .

Проиллюстрируем метод для n = 3. Пусть система линейных алгебраических уравнений уже приведена к нормальному виду:

x3(1) 3 31x1(1) 32 x2(1) .

Этим заканчивается построение 1-й итерации:

X (1){x11 , x21 , x31 }.

62

Используя значения X (1) , можно таким же способом построить следующие итерации. Итерацию с номером (k + 1) можно представить следующим образом:

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока

два соседних приближения X (k ) , X (k 1) не станут доста-

точно близкими. Критерий близости может быть задан условием (3.18), и если оно выполняется, то за приближенное решение системы (3.22) с точностью принимается (k+1)- я итерация, т.е.

Пример 3.3. Методом Гаусса–Зейделя решить ту же самую систему (3.19), которую решали методом Якоби.

Система, приведенная к нормальному виду:

В качестве нулевого приближения возьмем вектор свободных членов :

Применяя алгоритм Гаусса-Зейделя, последовательно получим

x(1) 0,75 0,125 1,5 0,5 1,25 1,188,

1

x2(1) 1,5 0,333 1,188 0,167 1,25 2,104,x3(1) 0,125 0,25 1,188 0,25 2,104 1,021.

63

Точное решение этой системы имеет вид х1 = 1; х2 = 2;

х3 = 1.

Расчетная схема метода Гаусса–Зейделя с использованием электронных таблиц Excel аналогична расчетной схеме метода Якоби, приведенной в подразд. 3.6.1.

3.3.3. Условия сходимости итерационного процесса

Прежде чем применять итерационные методы для решения какой-либо системы, необходимо убедиться, что решение может быть получено, т.е. итерационный процесс сходится к точному решению.

Доказывается теорема [2]: если хотя бы одна из норм матрицы нормальной системы (3.14) меньше единицы, то итерационный процесс сходится к единственному решению. То есть изложенные выше итерационные методы можно использовать для систем, удовлетворяющих одному из следующих условий [6]:

n

1 maxi ij 1

j 1

либо

n

2 maxj ij 1, (3.25)

i 1

либо

i 1

64

А для системы (3.11) итерационный процесс сходится, если элементы матрицы А удовлетворяют условию (3.12), т.е. матрица А является матрицей «с преобладанием диагональных элементов».

Пример 3.4. Показать, что для системы (3.19) примера 3.2 итерационный процесс является сходящимся.

Решение. Матрица системы, приведенной к нормальному виду (3.20), имеет вид

Для проверки достаточного условия сходимости вычислим нормы матрицы :

Достаточное условие сходимости (3.25) итерационного процесса выполнено.

Таким образом, теорема сходимости накладывает жесткие условия на коэффициенты заданной системы уравнений

A X B.

Однако если det A 0, то с помощью конечного числа элементарных преобразований исходную систему всегда можно привести к эквивалентной такой, что условие сходимости (условие преобладания диагональных элементов) (3.12) будет выполнено.

Пример 3.5. Привести систему к виду, пригодному для использования итерационных методов решения:

65

Решение:

1. В уравнении (В) коэффициент при х2 по модулю больше суммы модулей остальных коэффициентов. Принимаем уравнение (В) за 2-е уравнение новой системы:

2,5x1 + 7x2 – x3 = 3,5.

2. Из оставшихся неиспользованных уравнений системы составляем линейно независимые между собой комбинации. За 1-е уравнение новой системы можно взять линейную комбинацию (2С) + (А):

10х1 – х2 + 2х3 = 0.

3. За 3-е уравнение новой системы можно принять линейную комбинацию (2А) – (В), т.е.

–0,5х1 – х2 – 7х3 = 2,5.

Витоге получаем систему линейных алгебраических уравнений, эквивалентную исходной, но «с преобладанием диагональных элементов»:

3.4. Устойчивость решения СЛАУ относительно исходных данных

(или обусловленность задач и вычислений)

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

A X B.

66

Будем считать, что det A 0, B 0.

Матрица А и вектор правой части B во многих случаях задаются приближенно. Они получены либо в процессе эксперимента, либо в процессе каких-то промежуточных расчетов, содержащих соответственно погрешности эксперимента либо погрешности округления.

Естественно встает вопрос, как эти погрешности (возмущения) исходных данных влияют на точность решения. Чтобы на него ответить, надо познакомиться с особой характеристикой матриц, которую называют обусловленно-

стью [3].

 Замечание. Говорят, что задача, модель или вычисление плохо обусловлены, если они чувствительны к ма-

лым изменениям (возмущениям) входящих в нее величин,

т.е. исходных данных. В противном случае – хорошо обу-

словлены.

Таким образом, обусловленность характеризует устойчивость решения системы относительно исходных данных.

Введем еще одно определение: задача решения СЛАУ является корректной, если решение существует, единственно (det A 0) и непрерывно зависит от исходных данных (матриц А и В), т.е. малым изменениям исходных данных соответствуют малые изменения решения задачи.

Прежде всего оговорим различие между плохо обусловленной задачей и плохо обусловленнымивычислениями.

Если задача плохо обусловлена, то никакие усилия,

потраченные на организацию изощренных вычислений, не могут дать правильный ответ, исключая случайность. С плохо обусловленными задачами можно столкнуться при расчетах стержневых систем методами строительной механики. Например:

67

при расчете рам методом перемещений, если два узла соединены очень жесткой частью конструкции;

при расчете конструкции методом сил, если выбрать основную систему так, что перемещение в устраняемой связи, соответствующее приложенной в ней паре нагрузок, равно или меньше перемещений в других устраненных связях от этой же нагрузки.

Все плохо обусловленные вычисления являются ре-

зультатом применения численно неустойчивых алгоритмов. Например, метод исключения Гаусса без выбора главного элемента может обладать таким недостатком.

У плохо обусловленной матрицы обратная матрица является неустойчивой, т.е. элементы обратной матрицы значительно изменяются при малом изменении элементов исходной матрицы.

Пример 3.7. Рассмотрим плохо обусловленную систе-

му, записанную в матричном виде:

Решение этой системы х1 = х2 = х3 = х4 = 1.

Если изменить правые части на 0,1 и принять их рав-

68

Если принять величину 1-го коэффициента в 1-м уравнении равной 4,99 вместо 5, то получим решение

Существенно изменится при этом и обратная матрица. Следует отметить, что чем больше порядок системы, тем сильнее сказывается влияние небольших возмущений

коэффициентов системы на ее решение.

Обусловленность матрицы (системы) является качест-

венной характеристикой, хотя мы будем стараться оценить ее количественно. Существует несколько способов оценки обусловленности.

Например, обусловленность матрицы (системы) можно оценить с помощью величины, называемой мерой обу-

словленности (A):

где A – норма матрицы А; A 1 – норма обратнойматрицы.

Число (A), часто обозначаемое cond A (от английского слова conditioned – «обусловленный»), служит также коэффициентом роста относительных погрешностей при неточном задании элементов матрицы А.

Чем больше (A), тем сильнее сказываются возмущения в исходных данных на решении системы линейных уравнений. Если число (A) велико, то система считается плохо обусловленной. Говорить о том, «что такое хорошо, а что такое плохо» в отрыве от контекста решаемой задачи, почти бессмысленно, так как здесь могут играть роль размерность задачи, точность, с которой должно быть найдено ее решение, точность представления чисел в ЭВМ и т.п.

69

Однако можно дать оценку снизу меры обусловленности.

Число обусловленности (A) не может быть меньше 1. Матрица, а соответственно, и система будет хорошо обу-

словленной, если (A) стремится к единице.

Пример 3.8. Оценим обусловленность матриц А и В:

Решение:

Обратные матрицы

Мера обусловленности (A) = 12 0,292 = 4,506 невелика и матрица А хорошо обусловлена.

70