книги / Численные методы. Ч. 1
.pdfДоказательство. В силу определения введенной нормы на сеточной области необходимо проверить точки хк, для которых S"(xk) = ck.
Обозначим погрешность
|
|
Zk=ct - f " W . k = Q,n. |
|
Для к - 0 |
и к = п. в частности. z0 = zn = 0. |
|
|
Уравнения (4.18) в новых обозначениях принимают вид |
|
||
к |
и +4zt + zk„ = 6f„k -(f"(xk.,) +4f"(xk) + f"(xk„)), |
k = l,n -l, |
|
{ |
|
|
(4.19) |
U- = |
z„=°- |
|
|
Обозначим |
|
|
|
|
|
Vi = 6f„k -(f"(xk-l)+4f"(xk) + f"(xk.,))= |
(4.20) |
=6{f,..k-f"(xk))-(f"(xk ,)+4f"(xt ) + f"(xk„))+6f"(xk) =
=^ . k - к х к))-(Г '(хк„,)-2Г(хк) + Г (хки)) = ^ к
причем
f"(xk ,)-2f"(x„) + f"(xkt|) |
|
|
h! |
|
|
разностный аналог второй производной функции f"(x) в точке xv |
||
Воспользуемся формулами Тейлора: |
|
|
f k . I) = f(xk)+hf'(xk) + y f"(x ^ ) + y f'" ( x k) + ^ f ; f t ) , |
^ е (х к,хы ), |
|
f(xk.,) = f(xk) - hf'(xk) + y r ( x k) - k f "'(xl ) + L f " ( ;) > |
Qб (хк.,,хк). |
|
Аналогичным образом построим разложение для функции f "(х): |
||
^2 |
л б(хк,хк>1) . |
|
f"k.i)= f"(xk)+hf'"(xk) + y f k"(T)), |
||
r ( xk-,)=f''(xk)-l4'"'(xk) + y f " ( S ) > 9 б(хк.„хк).
Теперь можно оценить разностные аппроксимации производных:
r„k = |
h!r(x t) + ^ f r ( ^ ) + ^ f ;v(c))= f"M + ^[fr(< 0+ fr(c)]. |
|||
|
(f" U = Л [ ^ С ( п ) +^ГГ(9)] = ^ ( л И Г ( э ) ) . |
|||
|
h2{ |
2 “ ' |
2 ‘ ' ') |
2 |
Подставим полученные выражения в формулы (4.20): |
||||
IV11= |6(f„.k - f "(*а)) - (f")„ . hJ | < 6|Г_, - f~(*t )|+Kf ")ttk hJ| < |
||||
|
4 hi f‘v^ |
+7 hi f" |
^ 4 hi f" N +7 hi f"(»)i- |
|
Отсюда получаем |
|
|
|
|
Mu. = |
^ [™ x|f7 (!;)| + max|f;v (C)| + 2max|fk" (o)| + 2m^x|fk'v(9)(]= |
|||
Теперь, согласно формулам (4.19), получаем |
|
4zt = ЧЧ - zk+, - zk_,, |
|
4|zk| < |44|+|zt .,f+ K -,|s max|V t| + max|2 k.J + max|zk.,| = |
+ Щ ^ |
Поскольку эта оценка имеет место во всех точках сеточной области Пп, то она справедлива и в точке, где |zk| достигает максимума, то есть
Следовательно.
4IN o.s H L . + + I L -
Н и. s jll'i'llu. ^ M 4hJ,
откуда сразу следует утверждение леммы 4.1.
Теперь можно преобразовать второе слагаемое в правой части формулы (4.24):
a (f'(x )- f"(xk)) + (l -a )(f'(x ) -f" (x k.,)) =
= a [( x - x k)f"'(x) - |
f lv(ijk )1+(1 - a)[(x - xк_,)f '"(x) - |
f ,v t ) |
|
L |
J |
L |
“ |
=f'"(x)[a(x - xk)+(I - aXx - xk_,)]- ^[a(x - xk):f1 ( l k)+(l - a)(x - xk.,)' Г (£k)] =
=f" '( x )[( l- a ) a h - (l- a )a h ] - ^ a h :( l - a ) Jf'v(^k) + ( l - a ) a !h:f"(Ck)j =
= ~ “a h !(l -<x)[(l - a ) f ,v(^k)+ a flv(Ct )].
Произведем оценку:
|a(f'(x)- f"(*L))+(1 - “Xf'(x)“fk"■}-
i i a h ’(!-a )[(l-a )|f ,v(^k) |+ a |r (Ck)|] S
2 i ah2C- a ( o - “ )<£“ / " |
- |
|
< —- a lr ( l - a ) < —- h “ |
||
2 |
v |
' 8 |
При выводе последнего соотношения учтено, что
Г (xJ s ЗД1Г И =м" а(|' а)4 -
Теперь можно оценить левую часть тождества (4.24):
H x ) - S L f ( x ) | , ^ i + M l!L = Z ^ i , M 4h^. V xe[xk.,.x t ]. |
(4.25) |
Учитывая, что выражение (4.25) справедливо для любого отрезка, его можно использовать и для оценки погрешности |f"(x)-S"(x)| на всем участке [а,Ь]:
|f"(x)-S"(x)|< M 4h2
Отсюда получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
Hf" - s"f(..b] =^ |
" М |
- S"(*)| 5 M<hJ. |
|
|||
то есть утверждение (4.23) теоремы. |
|
|
|
|
|
||
Для |
доказательства |
соотношения |
(4.22) |
введем |
отрезке |
||
[xk_,.xk] вспомогательную функцию r(x) = f(x)-Sk(x). В силу определения |
сплайна, |
||||||
r(xv_.) = r(xk) = 0. Но тогда, в соответствии с теоремой |
Ролля1. существует хотя бы |
||||||
одна точка с e[xk_,.xk], г'(£) = 0. |
|
|
|
|
|
||
В этом случае, используя теорему Лагранжа, можно произвести оценку |
|
||||||
|
|г'(х)| = |г'(х) - Г'ф| = |г"(дХх - ф |
|Г"(С)| • h • |
|
||||
откуда, с учетом соотношения (4.25), получаем |
|
|
|
|
|||
|
|f'(x)- s ; (х)| S |f"(C)- S"(C)| h < м |
у |
|
||||
Поскольку это неравенство справедливо на любом отрезке [xk_,.xk], |
|||||||
помощью можно получить получить утверждение (4.22) теоремы: |
|
||||||
|
lr - s V |
^ |
’(x)' slW |£ M J,‘ |
|
|||
Для |
получения последнего |
утверждения |
(4.21) |
построим на отрезке |
[ \ .xk ] |
||
функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
g(t) = r(t) - s k(i)-K (t |
.4_,Xl - xi)- |
|
||||
Из условия обращения этой функции в нуль для произвольно выбранного |
|||||||
значения |
xe[xk4,xk] |
|
|
|
|
|
|
Ролль Мишель (21.4.1652 - Х.11.Г19] - франт |
С 1685 года является членом |
||
Парижской академии наук. |
|
|
|
Теорема Ро.лли. (10): |
функция Г(\) непрерывна |
интерва- |
(a.hj. |
Д1н|»фсре1Щир\ема о всех его внугрешшч точках и irieei на компах интервала равные значения, ю существует хотя бы одна точка : е[а.Ь]. Г(:) = 11
g(x)= f(x)- skW- K (x-xk.,X x -xk) = °
определим значение константы
K f(x)~Sk(x) (x - x k.,)(x -x k) '
Очевидно, что теперь
g(x) = g(xk) = g(xk.,) = 0.
Это означает, что существует хотя бы одна точка 4 e[xk_|,xk], g"(4) = 0. Отсюда получаем
g"(4) = f"(4)-SL'(4)-2K = o,
f(x) - Sk(x) = ^[f"(4) - Sk(4)](x - xk.,Xx - xk) .
Отсюда, с использованием неравенства (4.25), следует оценка отклонения значения сплайн-аппроксимации от значения функции для выбранной точки х =[xk_,.xk]:
|f(x)-Sk(x)| = i|f"(4)-S'i'(4)|.|(x -xt_,)(x-xk)| <
Здесь учтено, что
max 1(х- Xк-1
Поскольку последнее неравенство справедливо для любого x e[x k_,,xk], получим выражение (4.21) теоремы:
что и требовалось доказать.
с- вектор коэффициентов {с0, с,, . . сп }т ;
?- вектор {f„,f,......f„}T, fk =(f,<pk)H, k = 0,n.
Скалярное произведение векторов определим обычным образом: |
|
||||||
|
|
|
|
(U>V) = Z Ut Vk’ |
U>V eR "+' |
|
|
|
|
|
|
k«0 |
|
|
|
Теперь выражение (4.27) можно представить следующим образом: |
|
||||||
|
|
|
|
||f-<p^i=(Ac,c)-2(f,c) + ||f|^. |
|
(4.28) |
|
Очевидно, что поиск элемента ф е Н наилучшего приближения сводится теперь к |
|||||||
поиску минимума функционала, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
F(c) = (Ac,c)-2(f,c), |
|
(4.29) |
|
поскольку слагаемое |f|^ |
в выражении (4.28) от параметров ск, к = 0,п не зависит. |
||||||
Исследуем свойства |
матрицы А. Поскольку акР = (фк’Фр)н = (фр’Фк)н = арк* то |
||||||
очевидно, что матрица А симметрична. |
|
|
|
||||
Если положить |
f = 0, то из соотношения (4.28) можно получить |
|
|||||
|
|
|
|
(Ас,с) = ||ф|||1>0 |
VcGRn+1. |
|
|
Если для какого-либо |
c 'e R ^ 1 имеет |
место равенство (Ас',с') = 0, |
то в силу |
||||
||ф|||1 = 0 получаем, |
что |
ф = с„ф0 +с[ф,+...+с„фп =0, и |
из условия |
линейной |
|||
независимости фк сН, |
к = 0,п следует |
=0, с[ =0, |
сп = ®- ^ о это означает, |
||||
что (Ас,с) >0 Vc * 0. то есть матрица А является положительно определенной. |
|||||||
Теорема 4.4. |
Если А - симметричная положительно определенная матрица, f |
||||||
заданный вектор, то функционал (4.29) имеет единственную точку минимума с тогда и только тогда, когда вектор с удовлетворяет системе линейных алгебраических уравнений
Ас =■f |
(4.30) |
Доказательство. В силу положительной определенности патрица А имеет
определитель, отличный от нудя, то есть система уравнений (4.30) разрешима и имеет
единственное решение.
Достаточность теоремы. Пусть с является решением системы уравнений (4.30). Для произвольного вектора v, согласно определению (4.29), имеет место:
F(c + v) = (А(с + v), с + v)- 2(f, с + vj =
= (А с, с) + (Ac, v) + (Av, с) +(Av,V) - 2(f,с) - 2^f,v j.
Учитывая симметрию матрицы А и вид функционала (4.29), запишем F(c + v) = (Ас, с) + 2(Ас,v) + (Av, v) - 2|f, с) - 2^f,v) =
= (Ac, c) + 2|(Ac. v) - |f,vjj +(Av, v) - 2(f, cj =
= (Av. v) + 2(Ac - f.vj+1(Ac. c) - 2|f.cJj = (Av, v) + 2|A^ - f,vj + F(c).
Принимая во внимание выражение (4.30), окончательно получаем F(c + v) = (Av, v) + F(c).
С учетом положительной определенности матрицы А последнее выражение приводит к неравенству F(c+v)>F(c) V V G R ,,+I но это и означает минимальное и. функционала (4.29) в точке с .
Необходимость. Пусть теперь вектор с доставляет минимум функционалу (4.29) Воспользуемся полученным выше равенством
F(c + v) = (Av,v) +2|Ас - f, vj + F(c).
Положим v = Xu. u eR n+l- произвольный вектор, X - скаляр: тогда
F(c + Xu) = X!(Au.u) + 2x(Ac - f.u) + F(c).
Полученное выражение теперь можно рассматривать как скалярную функцию
g(X) = X2(AU.U)+ 2Х(Ас - f.u) + F(c)
аргумента X.
В силу допущения о минимальности функционала (4.29) имеем F(c + Xu) > F (c), то есть g(X) > g(0) VX. Это, в свою очередь, означает, что Х=0 доставляет минимум функции g(X), откуда следует
g'(0) = ^2Х (Au,U) + 2^Ас - f,u jj^ = 2^Ас -f,u j = 0.
Поскольку последнее равенство справедливо Vu e R 1*1, получаем A c - f = 0, что и
требовалось доказать.
В компонентной записи система линейных алгебраических уравнений выглядит
следующим образом: |
|
|
|
|
Z^(<Pk.<Pp)H =(f.<PP)H. |
р = °.п- |
(4-31> |
||
1=0 |
|
|
|
|
Алгоритм определения элемента наилучшего приближения: |
|
|||
|
|
|
ь |
__ |
- вычисление коэффициентов матрииы:акр = (ф к,Фр) |
= |ф к(х)фр(х)<1х, к,р = 0,-п; |
|||
|
|
|
■ |
|
|
|
|
ь |
__ |
- вычисление значений правых частей: fp = (Лфр) |
= Jf(x)<pp(x)dx, |
р = 0,п; |
||
|
|
|
а |
|
- решение системы уравнений (4.31); |
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
- построение ф = c ^ k |
|
|
|
|
к=0 |
|
|
|
|
В случае ортонормированности |
системы |
фк, к = 0,п построение приближения |
||
Ф = 2^кФк значительно упрощается, |
поскольку в этом случае |
акр =(фк,фр)н = 6 кр и |
||
коомпоненты вектора ск определяются сразу:
|>
= (f,4>k)H =Jf(x)(pt (x)dx, к = ( й .