книги / Численные методы. Ч. 1

Решение характеристического уравнения

det(A - ХЕ) = (1 - ХХ2ХХЗ- ХХ4 - X) - е = 0.

дает корни (собственные значения):

X, = 2.5 ^5 14л/Г+е

Х2 =15

V5- 4л/Г+Ё

X, =Z5 + V5 + 4Vl+T

В табл. 5.1 приведены собственные значения исходной матрицы при различных

величинах е.

Таблица 5.1

Определение собственных значений матрицы при заданных величинах погрешности

Определение собственных значений и векторов

Метод интерполяции

Пусть задана матрица А размером п хп . Очевидно, что характеристический многочлен в этом случае имеет порядок п (полином степени п). и задача заключается в определении корней этого полинома.

Алгоритм вычисления собственных значений матрицы А следующий:

1.Строится функция f(X) = det(A - XE):

-на числовой оси выбирается (п+1) значений Хк, к = 0,п;

подсчитываются значения функции f(Xk), k = 0,n, например, с помощью

процедуры метода Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений;

- по найденным значениям fk, k = 0,n строится интерполяционный полином Рп(х) Ньютона (Лагранжа); ранее отмечалось, что для рассматриваемого случая многочлен степени п определяется единственным образом; в силу этого построенный полином как

раз и будет характеристическим.

2. Каким-либо из известных методов решения нелинейных уравнений

отыскиваются корни построенного полинома Рп(х), которые представляют собой собственные значения исходной матрицы.

Трехдиагональные матрицы

В практике инженерных расчетов часто встречаются трехдиагональные матрицы, у которых отличны от нуля лишь коэффициенты, расположенные на главной диагонали,

а также над и под нею. Пусть такая матрица имеет вид

Для определения собственных значений требуется подсчитать определитель

^2 ~ ( a 22 —X)D|(X) —a2lal2D0(X) —(a,, -X)(a22 - X ) - a 2laI2,

итак далее.

Поиск собственных векторов

При численных расчетах, как правило, отыскиваются лишь приближенные величины собственных значений Хк, к = 1,п. В этом случае

det(A-XkE)*0

Пусть Х \ j = l,n - собственные линейно-независимые векторы, соответствующие различным собственным значениям1; эти векторы в Rn можно взять в качестве базиса.

Разложим векторы Z(0), F по этому базису:

Zm = X1. F = £ P jX J

иJ=>

Подставим эти выражения в систему уравнений (5.5):

(а -Х ,е) Х < 'Х '- Х Р )Х1=0.

Coiaacno [7], собственные векторы, соответствующие попарно различным собственным

(качениям, лин Тшо независимы.

-3L.X»)-piX *]= i;[«‘0'(x J - X .) - P fJx^ =0.

В силу линейной независимости векторов Х \ j = I.n получаем

Повторим решение системы уравнений (5.5) с новой правой частью:

(A - X ^ Z '1' = Z m

Вновь представим решение в виде разложения

z (,) = £ a j )xj j=i

и повторим предыдущие рассуждения, что приведет к выражению

Очевидно, что поскольку величина а |‘м значительно преобладает над остальными

причем Z"” - произвольный начальный вектор.

Следует отметить, что если собственное значение вычислено достаточно точно, то

det^A- Xjе ) «0, что может привести к аварийной остановке вычислительного процесса.

В этом случае для повышения устойчивости расчетов в матрицу А-Х,Е вносится некоторая погрешность, например, за счет искажения собственного значения X,.

При выполнении примера 5.1 получены собственные значения X, = 6, Х2 = -1. Для определения собственных векторов, соответствующих первому собственному значению,

Выполним такую же процедуру для второго собственного значения:

Х2= Х2+ б = е - 1;

(2-e)Xj +2X5 = 1, |5Х?+(5- б)х ; =1;

ф -д -) ^ 5 !2 П * р .« , . с .

j-» "XJ

|х ‘к)Г +1 ® - А Х « > » = 0 ,

»Ж ,

где AXf> = \ f * ' ) - X f >.

Учитывая конкретный вид уравнений (5.7) и (5.8), получаем

£ ааАХ5к)-ДХ(к> Х<к)-Х(к, ДХ1к>= ^ а йХ«к»-Х,1)х:к). i= U:

(5.9)

2 £ х < к>ДХ<к> = 1 -£ (х < к') 2

к-1 pl

В результате такого итерационного процесса будет найдено какое-то собственное значение и соответствующий ему собственный вектор, в зависимости от начального приближения.

Пример 5.5. Определить методом линеаризации собственные векторы матрицы

А = Г' 21.

L5 4

Согласно формулам (5.9) получаем итерационную процедуру для вычисления собственных значений и векторов:

1 • AX',"’ +2- AXjk| - Х',к| • AX’11 - X'kl • AX|kl = XIU • X',11 -1 • X',k' -2- X.k':

• 5-AX',kl +4 AXjkl -X jkl • AX<kl -X,kl ■AX';kl = X,k’ X',k' -S-X ,1’ -4 -X .1':

■5 AXl,k’+(4-X(kl) AXlkl- X l k' AXk’ = X<k’ X';k' - 5 . X|k’- 4 - X'.k'

2XjklAX',kl +2X;k'AX;kl = 1-(X',l '): -(X'.k,):