книги / Численные методы. Ч. 1
.pdfТеорема 7 3 . Если многочлен а (х ) степени п ортогонален на [a,b] любому
многочлену степени меньше п, то корни многочлены <о(х) различны и расположены на этом отрезке.
Доказательство. Предположим, что многочлен ©(х) имеет m различных корней нечетной кратности на [а, Ь]. Очевидно, что ш < п. Покажем, что m = п.
Обозначим корни 4|. £2..... £m; представим ©(х) в виде
и(х) =(х -^ )и'(х - ^ Г - ...(х - ^ П1)а*г(х),
где а , . а 2,...,а т - нечетные числа, функция г(х) не меняет знак на [а, Ь]. Вычислим интеграл:
J = |ш(хХх-^Хх-^.; ... (x-^m) r(x)dx=
(7.21)
= } ( х - ^ Г '( х - ^ Г 1• ..,(x - ^ m)“*tl .r(x)dx.
а
Поскольку а, +1, а 2 +1..... а т +1 - четные числа и г(х) знакопостоянна на [а, Ь], то интеграл (7.21) отличен от нуля. С другой стороны, если m < п, то многочлен
4(x)=(x-4lXx-^)---(x-^m)
имеет степень меньше п. и по условию теоремы имеем J = 0. Следовательно. m=n, что и требовалось доказать.
Погрешность интерполяционных формул Гаусса определяется выражением
^ = |
s е(а ь ] |
и оценивается неравенством
М;п=п|ах1|г|!",(х^
Контрольные вопросы и задания
♦Определите понятия “квадратурная формула” и “квадратурная сумма”.
♦Как оценивается погрешность квадратурной формулы?
♦Как определяется порядок погрешности квадратурной формулы?
♦Получите оценку точности квадратурной формулы для варианта метода прямоугольников, изображенного на рис. 7.2.
♦ Поясните с помощью рисунков 7.1 и 7.2 преимущество формулы (7.5) перед
Лк
квадратурной формулой J f(x)dx » f(xk_,)h .
♦Оцените точность квадратурных формул методов трапеций и Симпсона.
♦Оцените погрешность квадратурной формулы Эйлера (7.13).
♦ Поясните идею оценки погрешности квадратурных формул методом Рунге.
♦ При оценке точности квадратурных формул методом Рунге используется
выражение J k - Jh k ; |
2P-I |
I (*^h/2.k Jh.k)‘ Проанализируйте величину погрешности |
|
|
2*~х-V |
в случае, когда р = 1.
♦Как оценить погрешность квадратурной формулы при интегрировании с переменным шагом?
♦Какие формулы приближенного интегрирования относятся к квадратурным формулам интерполяционного типа?
♦В каком случае квадратурная формула интерполяционного типа является точной?
♦Какие формулы приближенного интегрирования являются квадратурными формулами наивысшей точности?
♦Какая идея лежит в основе построения квадратурных формул Гаусса наивысшей точности?
♦Проверьте точность интегрирования полиномов для случая, рассмотренного в примере 7.1.
♦ Покажите, что если формулы Гаусса точны V ха, а = 0,п, то они точны и для
любого полинома Рп(х) степени п.
П Р Е Д М Е Т н ы й У К А З А Т Е Л Ь
А
аппроксимация функции |
94 |
— Ньютона |
|
80,88 |
------в гильбертовом пространстве |
117 |
------модифицированный |
|
84 |
Б |
|
— обратных итераций |
|
141 |
|
— половинного деления |
|
73 |
|
Больцано Б. |
78 |
— простых итераций |
48, 75, 87 |
|
В |
|
—релаксации |
|
88 |
|
— решения итерационный |
|
42 |
|
Вандермонд А.Т. |
95 |
—решения, прямой |
|
17 |
|
|
—с чебышевским набором пнрамегрон |
61 |
|
Г |
|
------------ , неявный |
|
65 |
Гаусс К.Ф. |
17 |
— секущих |
|
84 |
— скорейшего спуска |
|
69 |
||
Горнер У.Д. |
96 |
|
||
--------- , неявный |
|
70 |
||
|
|
|
||
3 |
|
— стационарный |
|
48 |
|
— степенной |
|
140 |
|
Зейдель Ф.Л. |
45 |
|
||
— явный |
|
48 |
||
И |
|
—Якоби |
|
42, 90 |
94 |
модель математическая |
|
8 |
|
интерполяция функции |
|
|
|
|
—, сходимость |
101 |
Н |
|
|
—, — поточечная |
101 |
норма “кубическая" |
|
36 |
—, — равномерная |
101 |
-"сферическая”- |
|
36 |
—сплайнами |
106 |
— матрицы |
|
36 |
, СХОДИМОСТЬ |
ПО |
Ньютон И. |
|
80 |
к |
|
О |
|
корней отделение |
85 |
округление |
13 |
Коши О.Л. |
78 |
определитель Вандермонда |
95 |
коэффициент перекоса |
129 |
|
|
Кронекер Л. |
29 |
П |
|
Л |
|
параметры итерационные |
48 |
|
"переполнение" |
15 |
|
Лагранж Ж.Л. |
79 |
погрешность абсолютная |
12 |
Липшиц Р.О.С. |
77 |
— аппроксимации |
99, 146, 150 |
Лопиталь Г.Ф.А. |
86 |
------, порядок |
146 |
М |
|
— арифметических операций |
14 |
|
— исходных данных |
II |
|
мантисса |
13 |
— математической модели |
10 |
матрица треугольная, верхняя |
21 |
— неустранимая |
10 |
------, нижыяя |
22 |
— округления |
13 |
— положительно определенная |
49 |
— относительная |
13 |
метод верхней релаксации |
48 |
— проведения расчетов |
13 |
— Гаусса |
18 |
— регулируемая |
12 |
------, "обратный" ход |
21 |
— численного метола |
II |
------, “прямой" ход |
21 |
полином интерполяционный |
95 |
— Зейделя |
45. 90 |
------Лагранжа |
99 |
— интерполяции |
132 |
------Ньютона |
95 |
— квадратного корня |
30 |
----- Эрмита |
103 |
— линеаризации |
138 |
— характеристический |
126 |
— наименьших квадратов |
122 |
— Чебышева |
55 |
— наименьших невязок |
66 |
“потеря порядка” |
15 |
— наименьших поправок |
67 |
|
|
разности разделенные |
р |
95 |
|
решение приближенное |
9 |
— точное |
9 |
численное |
9 |
Ролль М |
115 |
Рунге К.Д.Т. |
161 |
С |
|
Самарский А.А. |
8 |
Сильвестр Д.Д. |
50 |
Симпсон Т. |
156 |
скорость сходимости |
54 |
собственное значение |
126 |
наибольшее |
140 |
наименьшее |
141 |
, устойчивость |
129 |
собственный вектор |
126 |
вектор, устойчивость |
130 |
сплайн |
106 |
сумма квадратурная |
149 |
схема Горнера |
96 |
сходимость итерационных методов |
47 |
Т |
|
Тейлор Б. |
80 |
У
устойчивость системы уравнений |
36 |
Ф
Фабер Г. |
101 |
Ферма П. |
6-1 |
формула Гаусса |
164 |
—квадратурная |
149 |
------интерполяционного типа |
163 |
— парабол |
156 |
— прямоугольников |
150 |
— Рунге |
161 |
— Симпсона |
156 |
— трапеций |
153 |
— Эйлера |
160 |
Фурье Ж.Б.Ж. |
121 |
Ч
Чебышев П.Л. |
55 |
число обусловленности |
38 |
Э
Эйлер Л. |
160 |
эксперимент вычислительный |
8 |
ЭрмитШ. |
103 |
Якоби К.Г.Я. |
Я |
42 |
б и б л и о г р а ф и ч е с к и й |
с п и с о к |
1.Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы: Учеб, пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры. 1989. - 432 с.
2.Калиткин Н. Н. Численные методы. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры. 1978.
-512с.
3.Крылов В. И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т.1. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры. 1976. - 304 с.
4.Крылов В. И.. Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т.2. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1977. - 400 с.
5.Воеводин В. В. Вычислительные основы линейной алгебры. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры. 1977. - 304 с.
6.Бронштейн И. Н.. Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1986. - 544 с.
7.Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1988.- 552 с.
8.Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1967. - 416 с.
9.Треногин В.А. Функциональный анализ. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1980-496.
10.Бермант А.Ф.. Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1973720.
11.Фаддев Д.К.. Фаддева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. - М.: Физматгиз. 1960. - 656 с.
12.Коллатц Л. Задачи на собственное значение. - М.: Наука, 1968. - 504 с.
