книги / Численные методы. Ч. 1
.pdf
В практических исследования часто возникает ситуация, когда необходимо
аппроксимировать |
табличные значения fk = Г(хк), к = 0,п с |
помощью приближения |
||
Ф(х), содержащего |
определяемые коэффициенты ск, к = 0,ш в |
количестве, меньшем чем |
||
число узловых точек, m < п. По этой причине, в отличие |
от рассмотренных ранее |
|||
способов аппроксимации функции полиномами Ньютона, Лагранжа, сплайнами, |
не |
|||
используется условие f(xk) = cp(xk), k = 0,n |
равенство значений функции f(x) |
и ее |
||
приближения ф(х) для заданного числа значений аргумента. Так, в рассматриваемом методе наименьших квадратов, “близость” аппроксимирующего многочлена к самой функции оценивается с помощью какой-либо нормы, то есть “в среднем” для всего отрезка, на котором строится аппроксимация. Для получения алгоритма построения приближения воспользуемся полученными соотношениями (4.26) - (4.31).
Пусть известен набор значений fk =f(xk), k = 0,n функции для ряда значений ее
аргумента. Для рассматриваемого случая положим Н = Rn+I. В линейном пространстве размерности (п+1) скалярное произведение и норма определяются известным образом:
■I
(u-v) = Z ukvk> u .v e R n+\ к=П
Пусть отыскиваемое приближение ср(х;с„,с,, ...,ст ) зависит от известного числа m параметров с0,ср ...,
Степень отклонения функции f(x) от ее приближения ср(х) определяется соотношением
Г - фГ Ч И 2-2 (г,ф)+МГ =
(4.32)
= E fk - 2 2 fkv(xt;c0,c...... |
, с« )+ Х ф’(х1; с„ с...... |
с.). |
|
к=о |
к=о |
к=0 |
|
Для определения наименьшего отклонения воспользуемся необходимыми условиями минимума функции нескольких переменных:
# 1 М |
Г = - 2 £ г кФ .(* 0 + 2 2 |
ф.(*к) £ срфр(*к) |
|
|
4=0 |
к=0 |
р=0 |
^ - |f - 4 > r = - 2 Z f k< P iW + 2 2 |
ф|(хк) £ срфр(*к) = 0, |
||
W 'l |
к=0 |
|
р=0 |
OCfn |
к=0 |
к=0 |
Фт(Хк) £ СрФр(Хк) = 0. |
р=0 |
|||
В итоге получена система линейных алгебраических уравнений относительно
коэффициентов разложения ср, р = 0,ш:
п п п п
С»2Z Ч>о(Хк )ф»(хк) + Cl S Ф| (Хь )фо(*к) + - - - + С т £ ф т (хк)фо(хк)= 1 Х ф о (хк). |
|||
к=0 |
коU |
к-0 |
к-0 |
п |
п |
п |
п |
•|С,.Хфр(хк)ф.(хк)+с.Г ф |( хк)ф.(хк) + - |
+с".2фл.(хк)ф1(хк) = 2 гкф|(хк) ’ |
||
к*и |
к»о |
к-0 |
к-0 |
п |
п |
п |
. п |
со2ф»(Хк)фп.(хк) +С|Е ф |(Хк)фт(Хк) + - |
+Ст 2 ф т ( хк)фт(Хк) = Х ,'кФт(Хк)- |
||
I к=о |
к-о |
к-0 |
к-0 |
Пример приближения функции | х | на отрезке [-1, 1] с использованием метода
аименьших квадратов приведен на рис. 4.7.
Контрольные вопросы и задания
♦Сформулируйте задачу аппроксимации. Каковы условия разрешимости этой задачи9
♦Укажите требования к аппроксимирующим функциям. В каком случае интерполяция называется линейной?
♦Что представляют собой разделенные разности? Поясните их геометрический смысл.
♦Укажите порядок построение интерполяционного многочлена Ньютона. Что представляет собой схема Горнера?
♦Укажите порядок построение интерполяционного многочлена Лагранжа.
♦Покажите, что полиномы Ньютона и Лагранжа, построенные на одном множестве табличных значений функции, тождественны.
♦Приведите оценку погрешности аппроксимации функции, заданной таблично, полиномом Ньютона (Лагранжа).
♦Укажите условия сходимости процесса интерполяции полиномами. Приведите примеры.
♦Обоснуйте преимущества метода интерполяции для решения нелинейного уравнения.
♦Опишите способ решение нелинейного уравнения с помощью обратной интерполяции.
♦Укажите порядок построение интерполяционного многочлена Эрмита.
♦Опишите идею сплайн-аппроксимации функции и порядок построения кубического сплайна.
♦Что понимается под сходимостью процесса интерполяции кубическими сплайнами? Сформулируйте и докажите лемму об оценке сходимости по "сеточной" норме.
♦Сформулируйте и докажите теорему о сходимости процесса интерполяции функции кубическими сплайнами.
♦Опишите порядок построения наилучшего приближения функции использованием теории гильбертовых пространств.
♦В чем заключается метод наименьших квадратов для аппроксимации функции, заданной таблично?
5. АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ
ЗНАЧЕНИЙ
Пусть А - квадратная матрица размером п х п ; если существуют такие векторы
X e R n, X * 0, что |
|
|
|
АХ = XX, |
|
|
(5.1) |
то X называется собственным значением, а |
X - собственным вектором матрицы А, |
||
соответствующим этому собственному значению. |
|
|
|
В иной записи, |
|
|
|
АХ - XX = (А - ХЕ)Х = О, |
Х * 0 . |
(5.2) |
|
Очевидно, что система линейных однородных алгебраических уравнений (5.2) |
|||
имеет нетривиальное решение лишь в случае |
|
|
|
aii“ k |
а12 |
|
а .„ |
a2i |
а22 |
^ |
а2п |
det(A - ХЕ) = det |
|
|
|
. аш |
а02 |
|
апп |
Понятно, что характеристический многочлен det(A-XE) является полиномом степени п от переменной X Это, в свою очередь, означает, что существует п корней характеристического многочлена, и, следовательно, имеется п собственных значений
Хк и соответствующих им собственных векторов |
Хк, к = 1,п для матрицы А. |
||
Пример 5.1. Пусть задана матрица |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
А = |
4 |
‘ |
|
5 |
||
Требуется определить собственные значения и векторы этой матрицы. |
|||
Характеристический многочлен |
|
|
|
1-Х |
2 |
|
|
det[A-XE] = |
= (1-Х Х 4-Х )-10=Х 2-5 Х -6 . |
||
5 |
4 -Х |
|
|
i6X,, j(X-.V]( =K(5A)X‘.Y>)|^K6A)Xj.|Y*|S|SA|-|X*|.jY*|.
Отсюда следует оценка
N * м - м - м =С. Ц8А|. |(Х‘,Y‘)j
Величина
С,= И - И |
■ |
|(Х' ,Y‘)| |
|
называется коэффициентом перекоса-, <р{- угол между векторами X', Y'
Далее будем предполагать, что матрица А симметрична1, то есть А = Ат , и все ее собственные числа различны. В этом случае собственные векторы матрицы А образуют в Rn полную ортонормированную систему, которую можно использовать в качестве базиса. Очевидно, что для симметричных матриц X' = Y ', а значит, имеет место устойчивость собственных значений:
Н Ф М -
Для оценки устойчивости собственных векторов теперь рассмотрим случай i * j . В силу формулы (5.3) следует
(А(6Х'),Y1)=(бХ' ,ATY’) =(бХ1AjYJ) = Х,(бХ',У').
Используя это выражение и условие ортогональности векторов
(x\Y j) =0, i* j.
из соотношения (5.4) получаем
((6А)Х‘,Y') = Х,(бХ',Y’) - Х,(бХ‘,Y*).
((5A)X‘,Y')
(6X‘,Yj) =
Х.-Х,
1В этом случае, согласно [7], все собственные числа матрицы А вещественны.
