книги / Численные методы. Ч. 1
.pdf= f(xt„/2)h + r(xt„ ^ ~ ^ )1 “ |
+ } |
r ( ^ ) ^ p ^ d x - f ( x kl„)h = |
Ч-, |
4- |
1 |
=т jff"(^Xx- хк-.«)а<1х •
"*k-i
Полученное выражение позволяет оценить погрешность:
| ч ф | ! Г' ( Ф - *t-ui)2<ix * - , |
jf'\ 4 \ (X- xk.„,):dx |
|||
|
|
|
|
(7.6) |
. Mi.k (X-Xk.|,;)3 |
=м, |
h5 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
Здесь обозначено: |
М ,к = |
max |f"(x)| |
|
|
|
|
Чч-.ч)1 |
' |
|
Формула (7.6) устанавливает, что при ограниченности второй производной на рассматриваемом отрезке погрешность формулы прямоугольников имеет третий
порядок. Для всего отрезка интегрирования [а. Ь] получаем
где М 2 = max|f"(x)|.
Иными словами, для всего интервала [а. Ь] погрешность рассмотренного способа интегрирования имеет второй порядок.
Аналогичным способом можно проверить также часто применяемую на практике формулу интегрирования
Ч
Jf(x)dx = f(xk,)h.
Ч-i
геометрический смысл которой пояснен на рисунке 7.2.
Оценка погрешности интегрирования на отрезке [xk_,. хк]. аналогично предыдущему случаю, приводит к результату
v k = f'(xi-i)Y + 7 ! f"0;)(x-Xk I ):«*х. “ *k i
|4/k!<0{h;).
Рис. 7.2. Схема численного интегрирования методом прямоугольников
Для всего интервала [а, Ь] погрешность интегрирования составляет
|4/|< ^ jh (b_ a), М, = njajij|f'(х)|.
На рис. |
7.3 приведены графики, |
отражающие |
сходимость |
процесса |
|
|
10 |
|
|
приближенного |
вычисления определенного |
интеграла J e -Xdx |
с помощью |
формул |
|
|
о |
|
|
метода прямоугольников с центральной точкой (формула (7.5)), “левой” точкой (рис.
7.2) и “правой” точкой |f(x)dx * f(xk)h . *k-i
ю
Рис. 7.3. Значения интеграла J e xdx, вычисленные точно (-------) и по формулам метода
о
прямоугольников с центральной (- о -)» “левой” (- Л -) и “правой” (- 0 -) точками на
сетках Оп
Формула трапеций
Заменим функцию f(x) на отрезке [xk4, хк] линейным приближением |
|
|||||
|
|
f(x ) s b _ ^ f(Xii) + £ _ ^ L f(xk). |
|
|||
Это |
означает, |
что в разложении |
(7.2) |
удерживаются две |
функции |
|
Я*о(х) = |
4>,(x) = ^ b = L . |
|
|
|
|
|
п |
|
п |
|
|
|
|
Тогда весовые коэффициенты |
|
|
|
|
||
|
|
с; = /Фо(х)(1х = |
с," = )ч>,(x)dx= |
|
||
|
|
Ч-. |
L |
xk-i |
1 |
|
Отсюда вытекает формула метода трапеций (рис. 7.4): |
|
|||||
|
J |
e f(xk.,) | + f(xk) ^ |
= у [г(хы ) + f(xk)] • |
(7.8) |
||
Воспользуемся формулами Тейлора |
|
|
|
|
||
|
f(xk4) = f(x) + f '(xXxk-i - x) + |
|
■ $ б[хы ,хк], |
|
||
|
Г(хк) = f(x) + f ’(xXxk - x) + |
|
. C e [xk-,'xk]. |
|
||
Рис. 7.4. Схема численного интегрирования методом трапеций
м ;к |
h (x - * k-1)> |
(* -x k-,)4 |
| (x -x k)4 |
t (x-x„)J |
||
~2h |
3 |
■ |
4 |
hr |
x “ |
_ h ~ T ^ |
|
, Mlk |
|h4 |
h4 |
h4 |
h4 |
|
|
2h |
I 3 |
-----н— |
12 |
||
|
4 |
4 |
3 |
|||
Погрешность для всего отрезка интегрирования [а, Ь]
М |
£ |
" Мг П Г " =Ml |
- а) |
(7.9) |
|
имеет второй порядок.
На рис. 7.5 показан график сходимости приближенного значения определенного
ю
интеграла J e 'xdx. полученного с помощью формул метода трапеций.
10
Рис. 7.5. Значения интеграла J e 'xdx, вычисленные точно ( ) и по формуле метода
о
трапеций (- о -) на сетках По
Формула Симпсона1
Заменим на отрезке [хкч, хк] функцию f(x) полиномом Лагранжа. В частности,
для трех точек xk_|t хк_1/2, хк полином второй степени имеет вид
L / л (х - хк-1/2Xх~х )f(хfc-■) , (x - xt-,Xx- x t)f(xt-W) | (x -»t.lXx~ xi-w)f(x*) -
( x k-l - х к -1 /гХ Х И "" X k ) |
( x k-l/3 ~ x k - lX X k-l/! ~ X k ) |
( x k “ X k - lX * k — X k -V l) |
= ^ [ ( x - xk-i/iXx " xk)f(xk i) - X х - xk-iX х - xk)f(xk-w) + (x - xk-.Xx - xk-w)f(xk)]-
Это означает, что в разложении (7.2) оставлены три функции:
2
<p«(x)= p -(x- xk-i/2Xx- xk)'
ф.(х) = - £ ( х- хЛ х-*к).
4>!(X) = -j^(X- Xk-lXX- Xk-|«)-
Для определения коэффициентов С,1;, С,к, С2 вычислим интегралы:
с; = / ф„(х)<1х=Л J(x- хк-шХх- xk)dx=Л jf(x- хк+хк - хк-шХх- хк>ь=
(x ~ xt )3 , h ( x - x t ); |
h. |
||
J (x -x k)2dx +^ jf(x -x k)dx |
2 |
2 |
6 ’ |
3 |
|||
C,k = jf<Pi(x)dx =~j^7 jf(x-x k.lXx-x l[)dx =- ^ jf(x-xk+xk-x k_,Xx-xk)dx = |
||||
•I |
*k-l |
|
|
|
'k |
*k |
= ■ |
(x - xJ 3 , h (x ~ x0 2 |
2h |
J(x - xk)2dx + h J(x - xk)dx |
' 3 ’ |
|||
|
|
|
|
|
c 2k = |
/ ф 2(х)с1х = |
J ( x - x k.,X x -x k_1/2)dx = |
|
|
1 Симпсон Томас [20.8.1710 - 14.5.1761] - английский математик. С 1713 года был профессором Вулиджской военной академии, с 1746 года был избран членом Лондонского королевского общества.
Рассматриваемый метод интегрирования иногда называют также методом парабол.
156
*k |
h %k |
(X —Xk—1/2)3 |
h (x-X k_1/a)2 |
|
j |
( x - x k.l/2)2dx + - J ( x - x k.w)dx |
|||
|
|
3 |
2 |
2 |
Формула приближенного интегрирования Симпсона (рис. 7.4):
1 f(x)dx « |[ f ( x k.,)+4f(xk_m)+f(xk)]. |
(7.10) |
Рис. 7.6. Схема численного интегрирования методом Симпсона
Для оценки погрешности выражения (7.10) приближенного интегрирования, как и ранее, воспользуемся формулами Тейлора для представления f(x), f(xk_,), f(xk) вблизи
точки xk_, |
|
|
f(xk.,) = f(xk.|/!) - f ,(xk_l„ )|+ f" (x k.,n) Y |
vhJ . - .ftxh* |
|
- f",(xk_,n) ^ + f ', ( ^ ) ^ . |
||
f(xk) = f(xk.,n) + r( x k.,n) ^ f " ( x k.t)I) ^ |
v h 3 . c » tr\ h |
|
+ f"'(xw;j) i - + f №( C ) ^ . |
||
((x) = ((Хк-кг) + f ’(Хц/,)- |
k(x-x„-,n)3 |
|
+ (*(Хцв) |
2 |
|
Здесь принято, что £,£,<; б[хк_,,хк].
Подсчитаем интеграл в левой части формулы (7.10):
jf(x)dx = *к I
f(xk„,,Jx + f t x k„i;0 ^ ^ |
+ f1 x 1„lza ^ ^ |
+ f'1 x k„1,2)^ |
хк-1/г) |
|
24 |
||||
|
|
|
+J f^ ) (x-2rx )<dx=
*k-l
Подсчитаем выражение в правой части (7.10):
^[f(x k.,)+4f(xk.„2) + f(xk)] =
(хк-1/2) + f ”(Хк-,/!) + (f " (С) - f " (4)) + 4f(х к.„ ) •
Определим величину погрешности формулы Симпсона:
Vk = ][f(x )d x -|[f(x k.l)+ 4f(xk.i;j)+ f(x k)] =
Xfc-I
6f(xk-,«) + f"(xk.,(1) ^ + ^ ( f '* (c) - f"(?))]■
Лк-1 |
24 |
2304v |
|
|
Модуль погрешности на отрезке [xk_p xk]:
K N
■ .Ы г Ц ;г 5 *тн}-м“Я
Для всего отрезка [а. Ь] интегрирования погрешность
hs ■ |
|
|
|
; — У |
720 |
720v |
(7.11) |
7201? |
имеет четвертый порядок.
В последних выражениях использованы обозначения
M“ %№l|lf,vWl’ М<=ЭДИ4
На рис. 7.7 изображен график сходимости приближенного значения
ю
определенного интеграла Je'M x. полученного с помощью формул метода Симпсона.
Рис. 7.7. Значения интеграла Je Mx. вычисленные точно ( ------- ) и по формуле метода 0 Симпсона (- о -) на сетках П.
Формула Эйлера1
При исследовании численного интегрирования методом трапеций получена формула для вычисления погрешности на отрезке [хк_р хк ]:
Vk = - J |
г (у Л Х*-. - Х)'(Хк - х ) |
ч(»к - х ) г( х - х к-,) |
||
' ’ |
2h |
К> |
dx. |
|
|
2h |
|||
Положим ^=C = xk-i/2* то |
есть равными |
координате в середине указанного |
||
отрезка. Тогда может быть приближенно вычислена величина погрешности интегрирования:
|
•и |
*k |
|
| ( x k-, - x ) !(xt -x)dx+ |
J(xk - x )J( x - x k_,)dx |
2h |
,xk-i |
(7.12) |
f"(xk-i/2) |
|
|
12 + 12 |
|
|
2h |
|
|
Учитывая, что |
|
|
Vk = J f(x)dx -^[f(xk_,) + f(xt )],
xk-l
получим уточненную формулу интегрирования
} f(x)dx *y[f(xk.,)+ f(xk)]-^ -f"(xk.,„).
xk-l
Вспоминая, что согласно теореме Лагранжа f"(xk_I/2)h ® f'(xk) - f '( x k_,)> получим формулу интегрирования Эйлера:
J f(x)dx =^[f(xki)+ f(xk)]- Y^-[f'(xk)-f'(Xk-|)]• |
(7.13) |
xk-l |
|
Погрешность формулы (7.13) на отрезке [а, b] оценивается Формулой, |
|
совпадающей с выражением (7.11). |
|
1 Эйлер Леонард [4.4.1707 7.9.1783] математик, механик, физик. В |
1720 ^ д у Поступил в |
Базельский университет, где получил степень магистра искусств. С 1727 года работал в П^рбургсхой академии наук. В 1741 году занял пост директора класса математики Берлинской акад^цщ Двух. С 1759 года в течение ряда лет руководил этой академией. В 1766 году вернулся в Петербург гд^ до конца жизни подготовил около 400 научных трудов. Был избран членом Парижской ^кадерЦт наук и Лондонского королевского общества.