книги / Численные методы. Ч. 4
.pdfС учетом граничных условий получается система уравнений относительно постоянных интегрирования:
W O ) = С, sin(o)+ С2 cos(o)+ 0 = 1,
\y (l) = Схsin(l)+ С2 cos(l) + 1 = 0 ,
откуда С, = - ( l + cosl)/sinl, С2 = 1 , и окончательно точное решение задачи имеег вид (рис. 3.19) у(х)= * + cos х - (l + cos l)sin x/sin 1 .
Для построения пробных функций используется система полиномов, яв ляющаяся полной и замкнутой; каждый элемент этой системы дифференциру ется достаточное число раз.
Пусть Фо(*) = Со + с\х • Для удовлетворения заданным граничным условиям требуется, чтобы ср0 (о)= 1 и cp0 (l) = 0. Из соответствующей системы уравнений:
j9o(o) = c0+ciO = l, }ф0 (1)= с 0 +с11 = 0 ,
получаются с0 = 1, q = -1, то есть ф0 (х) = 1 - х . Остальные пробные функции представляются в виде фА= x*(l-x) = x* - x k+\ k = Гл, то есть удовлетворяют
однородным граничным условиям, ф*(о)= у к(l) = 0 , к =\ п .
Приближенное решение поставленной задачи представляется в виде раз ложения
Рис. 3.20. Приближенное решение дифференциального уравнения у* + у = х с граничными условиями у(0 ) = 1, .y(l) = 0 , полученное методом Галеркина при л = 3
С использованием приближенных решений, получаемых для разных л,
оцениваются различия 6 лл+1 |
=max|yn(x )->>п+1(х)| между этими решениями, а |
' |
хеП. |
также отклонения 6 Л=Ш£«|>'л(д:)-^(дг)! приближенных решений от точного (рис. 3.21).
б
Рис. 3.21. Сходимость последовательности приближенных решений граничной задачи, полученных методом Галеркина: зависимости погрешностей Ьп п+1 (-о-) и 6 „ (-Д-) от числа слагаемых л
в разложении искомой функции
Алгоритм решения
Пусть для линейного дифференциального уравнения второго порядка
У'(х)+ р{х)у'{х)+ q{x)y{x) = f(x )
с граничными условиями
(a0y(a)+aty'(a)=A,
1 М * ) + М * М
определены пробные функции: Ф0 (х), удовлетворяющая заданным граничным условиям:
Га0ф(а)+а,(р'(а)=Л,
10ОФ(*)+Р|ЯФМ,
иф*(4 Ь 1,п, удовлетворяющие однородным граничным условиям:
| а оФ* (а)+ а|Фг(а ) = О,
[Р .ф4 (6 )+Р|ф;(л)= о.
Приближенное решение строится с использованием этих функций в виде
п
Л,(*)=Ф о(*)+Ха*Ф*(х)-
где ак,к = 1,п - коэффициенты, подлежащие определению. Подстановка этого выражения в дифференциальное уравнение определяет невязку
е„(х) = _>£(*)+ р{х)у'п{х)+ q{x)y„{x)- f(x ),
величина которой зависит от значений коэффициентов ак, к = 1,л. Строится функционал
8 (у»)=
а
имеющий минимум, равный нулю, при е„(х) = 0. Очевидно, что достижение минимума в этом случае соответствует подбору таких коэффициентов ак раз ложения решения в ряд по пробным функциям, при которых ул(х) удовлетво ряет заданному дифференциальному уравнению.
Рассматривая б(у„) как функцию п переменных ак,к =\,л, можно запи сать необходимые условия экстремума:
* ~ Г"-
UJ |
a |
J |
Подстановка выражения е„ в это соотношение дает
\( \ ^ п(х) а
= \ ш ( х ) + ^ а кч1(х)+р{х) ФоМ + Х Х фК*)
+ «(*) Фо(*)+Ё а*Ф*(*) -/[(ф у +РФу + ?Фу)<Ьс= 0,
*=1 |
J |
J |
Z ак JI<PI(*)+ />(*№ (*) + ?(*)ф* (*)][ф'(*)+ p(xh 'j (x) + q{x)<?j(x)]dx =
к=1 fl
= J l / M - ф?(* )-/>(*№ (*)- ?(*)фо(*)][ф'(* )+ Я * )ф>W + ?(*)фу W]<bf. j = u
Обозначая
cy* = Дф*(*)+р (*)ф'*(х)+9(ас)ф*(аг)][ф^(х)+/?(х)<р^(дс)+9(х)(р/(х)]<1х,
a
f j = J I / W - ф;(х) - р (ас)ф^ х) - ? (х)фо(х)][ф;(х)+ р (х)ф' (X)+ ?(х)фДх)]<к,
a
полученные разрешающие соотношения можно представить в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов разложения решения по системе пробных функций,
п__
'£ ,c jkak = f j J = 1>n -
к=1
Условие разрешимости полученной системы линейных алгебраических уравнений может быть сформулировано в виде следующего утверждения: если у однородной граничной задачи, соответствующей исходной граничной задаче, существует только тривиальное решение, то система алгебраических уравне ний метода наименьших квадратов имеет единственное решение.
Выполнение расчетов
Точное решение поставленной задачи складывается из общего решения y l(x)=Cl sin(x)+ С2cos(x) и частного решения W = х >то есть
у{х) = С, sin(x)+ С2 cos(x)+ х .
С учетом граничных условий получается система уравнений относительно постоянных интегрирования:
|Я 0 )= С, sin(0)+ С2 cos(0)+ 0 = 1, V (l)= C ,cos(l)-C 2 sin(l)+l = 0,
откуда следует С, = (sin 1 - l)/cos 1, С2 = 1, и окончательно точное решение за дачи имеет вид (рис. 3.22) у(х) = х + cosх +(sin 1 - l)sin(x)/cos 1.
Для построения пробных функций используется система полиномов, являющаяся полной и замкнутой; каждый элемент этой системы дифференциру ется достаточное число раз. Пусть ф0(*)= с0 + С]Х. Для удовлетворения задан ным граничным условиям потребуем, чтобы сро(о)= 1 и Фо0) = 0. Из соответст вующей системы уравнений
|
|
|ф о(0 )=со+с, 0 = 1, |
|
|
|
1 Фо(1)=с , = 0 |
|
следует, что с0 = 1, с, = 0 |
, то есть <р0 (х)= 1 . |
|
|
Пусть |
остальные |
пробные функции представляются в |
виде |
Ф* = |
dQxk +c/jX*+I, к = \,п . Для удовлетворения однородным |
гра |
|
ничным условиям требуется выполнение равенств |
|
||
Г <р*(о)=4 ,0 + 4 0 = о,
1<P;(I)= 4 ,* + 4 (A + I) = O.
Таблица 3.8
Коэффициенты Cjk и правая частьfj системы линейных алгебраических уравнений, полученной методом наименьших квадратов при п = 3
|
к= 1 |
2 |
3 |
£ |
Решение а} |
|
1,86667 |
-1,56667 |
|
-0,35331 |
|
У = 1 |
-1,23810 |
-0,75000 |
|||
2 |
-1,56667 |
9,97143 |
9,92143 |
1,15000 |
0,04982 |
3 |
-1,23810 |
9,92143 |
16,74290 |
1 , 1 0 0 0 0 |
0,01005 |
С использованием приближенных решений, полученных для разных л, оцениваются различия 5л я+| = 1ш х|ул(х )-у п+1(х)| между этими решениями, а
также отклонения 5„ = тах|ул(х )-<у(х)| получаемых приближенных решений от точного (рис. 3.24).
Рис. 3.23. Приближенное решение дифференциального уравнения у" + у = х с граничными условиями у(0 ) = 1, /( l) = 0 , полученное методом наименьших квадратов при п = 3
При п >10 отмечается рост погрешности решения, получаемого методом наименьших квадратов. Это связано с плохой обусловленностью матрицы ко эффициентов CJk: расчеты показывают, что уже при л = 20 определитель этой
матрицы уменьшается до КГ92.
Для снижения влияния накапливаемых погрешностей округления при про ведении вычислительных работ использовано 1 0 -байтовое представления ве щественных чисел в ЭВМ.
Рис. 3.24. Сходимость последовательности приближенных решений граничной задачи, полученных методом наименьших квадратов: за висимости погрешностей 5ЛЛ+1 (-о-) и 5Л(-А-) от числа п слагае
мых в разложении искомой функции
Выводы
1 . Построена система пробных функций, удовлетворяющих условиям замкнутости, дифференцируемости, линейной независимости и соответствия граничным условиям.
2.Построены разрешающие соотношения (система линейных алгебраиче ских уравнений) метода наименьших квадратов для поставленной задачи.
3.Найдены приближенные решения для различного числа слагаемых в разложении искомой функции. Для учета плохой обусловленности системы ал гебраических уравнений при проведении вычислительных работ использовано
10 -байтовое представление вещественных чисел.
4.Показана сходимость последовательности приближенных решений и определена зависимость получаемой погрешности от числа слагаемых в разло жении искомой функции.
5.Для получения погрешности не выше 10"* необходимо взять не менее
пяти слагаемых в разложении решения по системе пробных функций.
6 . Для получения численного решения граничной задачи методом наимень ших квадратов с заданной погрешностью на компьютере с процессором Intel® Pen tium® 4 (тактовая частота 2,2 ГГц, объем оперативной памяти 512 Мбайт) требует ся 8 ,0 *1 0 -6 с.