книги / Численные методы. Ч. 4

Рис. 1.9. Погрешность решения алгебраического уравнения методом Ньютона в зависимости от номера итерации к

На рис. 1.9 показана сходимость решения заданного уравнения: зависи­ мость 8 ^ = |х(*+1) - х(Л)| от номера итерации.

Выводы

1.Разработана программа решения нелинейного алгебраического уравне­ ния методом Ньютона.

2.Уменьшение погрешности решения с ростом числа итераций (см. рис. 1.9) свидетельствует о сходимости последовательности решений заданного

нелинейного уравнения, получаемых методом Ньютона.

3.С помощью разработанной программы найдено решение х = 0,32499 за­ данного нелинейного алгебраического уравнения с погрешностью, не превышаю­ щей КГ6.

4.Для решения заданного нелинейного алгебраического уравнения мето­ дом Ньютона на компьютере с процессором Intel® Pentium® 4 (тактовая частота 2,2 ГГц, объем оперативной памяти 512 Мбайт) требуется 1,5-10-4 с.

5.Для получения решения заданного нелинейного алгебраического уравне­ ния на вычислительной машине с указанными характеристиками методом поло­

винного деления требуется 1,7-КГ4 с, методом простых итераций - 1,6*10"4 с, ме­ тодом Ньютона - 1,5*1O'4 с. Следовательно, наибольшей производительностью при заданной точности обладает метод Ньютона.

1.3. Аппроксимация функций

Под аппроксимацией заданной функции /(х ) понимается нахождение функции ф(х) из некоторого определенного класса (например, среди алгебраи­ ческих многочленов заданной степени), в том или ином смысле близкой к /(х ) и дающей ее приближенное представление.

Для решения ряда прикладных задач возникает необходимость прибли­ женной замены функции f( x ) некоторым набором известных функций, вычис­ ление которых проще организовать. В частности, может рассматриваться зада­ ча о наилучшем приближении в нормированном пространстве Я, когда задан­ ную функцию / € Я требуется заменить линейной комбинацией известных

элементов ср* е Я , к = 0,л, так, чтобы отклонение 1/ - *=0 У было мини-

мальным.

Частный случай аппроксимации функции - задача интерполирования - со­ стоит в том, чтобы функцию /(х ), известную лишь в узлах некоторой сетки

заданного отрезка, то есть определенную в виде таблицы, /(х ,)= / ,,/ = 0,л,

приблизить непрерывной на этом отрезке функцией ср(х), которая в точках х, совпадает с заданными табличными значениями,

Ф(*/)=//> <= 0,л.

Функция ср(х) может определяться, например, следующим образом:

п

Ф ( * ) = 1 > л ( х)’

к=0

где ф*(х) - набор линейно независимых функций. Очевидно, что в приведен­ ных примерах задач о наилучшем приближении и интерполировании функция ф(х) определяется набором параметров ак, к = 0, п , от которых зависит линей­ но. В противном случае говорят о нелинейной аппроксимации.

1.3.1. Интерполяционный многочлен Ньютона

Задание. Аппроксимировать функцию /(x ) = |xj на отрезке [-1, 1] с ис­

пользованием полинома Ньютона. Исследовать сходимость последовательно­ сти полиномов на равномерной и чебышёвской сетках.

Алгоритм решения

Для произвольной функции /(х ) определим разделенные разности: - первая разделенная разность

f{xh Xj)= [/(* ,)-/(ху)] Дх,- -Ху),

- вторая разделенная разность

f { xi’xj>xk)~ [/^*i’xj )~ f(,xj ’хк)] j{xi ~ xk)i - третья разделенная разность

f{xi>Xj<xk,x,)= |/(х,,х>)х * )-/(х у,х*,х/)] /{ х .- х ,)

и так далее. Пусть Рп(х) - искомый интерполяционный многочлен степени п. Запишем для него разделенные разности:

Л.(х.х0) = [/5л(х ) - />п(д:о)] /( х - х 0), / >я(х,х0,х1)= [Рл(х,х0) - Р л(х0>х,)] /(х - х ,),

Рл(х,х0,х,,х2) = [Рл(х,х0,х,)—Рл(х0,х,,х2)] /( х - х 2) , ...

Отсюда получаем выражение для полинома в виде pA x )= pA*o)+рАх-хо)(х ~ хо)=

=^n(*o)+ (* - * o )k (Jfo ^ i)+ (* -;lciK(*.Xo,x1)]=

=^(*о)+(*~*о) [pn(Jco.xI)+(x -x,X />„(x0,x1,x2)+ (x -x 2)/5„(x,x0,xl,x;,)}]=..

Иначе это выражение можно записать в такой форме:

^(* )= ^ (х о )+ (х - х 0)/,л(х0,х1)+

+(х- х0)(х- х,)Рп(хо,х,,х2)+(х- х0)(х- х,)(х- х2)/5„(х,х0.х|,х2)+...

Поскольку в точках xh / = 0, п значения полинома Р„(х,) должны совпадать со значениями заданной функции /(*, ), то должны совпадать и соответствую­ щие разделенные разности: / ’„(XQ^ /(*о)» Рп(хо>х\)= /(*o»xi) и так далее. По­ этому искомый полином записывается в форме

Рп = /(*0 )+ (Х - Х0)[/■(*0.■*1)+ (*~ *1 ){/(*0 •*1.■*2 )+ •'• ■•}]

или

Л(х) = /(х 0)+ (х - х0)/(х0,х,)+ (х - х0)(х - х, )/(х0,х, .х2)+ ...

Погрешность аппроксимации функции /(х ) полиномом Рп(х) на отрезке

[a, b] определяется выражением

Погрешность аппроксимации можно уменьшить, если использовать в ка­

честве узловых точек корни полинома Чебышева степени п,

В этом случае оценка погрешности полинома Ньютона имеет вид

Выполнение расчетов

Пусть на отрезке [-1, 1] построена равномерная сетка, содержащая 5 узлов. Воспользуемся аналитической зависимостью /(х ) = |х| для табличного задания функции. Узловые координаты х, и соответствующие им значения функции /(* ,) приведены в табл. 1.9. Здесь же представлены значения разделенных раз­ ностей, определенные с использованием приведенных выше соотношений.

Использование полученных разделенных разностей позволяет построить на отрезке [-1, 1] полином Ньютона, соответствующий функции /(х ) = |х|, за­ данной таблично с помощью равномерной сетки, содержащей 5 узлов:

P4(x)=l + fx + l) ( - I + (х + 0,5){0 + (х - 0)[1,3333 + (х - 0,5)(-1,3333)]}).

Аналогичным образом строятся аппроксимации на сетках, содержащих 3, 9,17,33 и 65 узлов1. Вид соответствующих функций приведен на рис. 1.10.

1Рекомендуется выполнять вычисления с использованием переменных вещественного типа «двойной точности».

38

На рис. 1.11 показана зависимость погрешности аппроксимации полино­ мами Рп(х) заданной функции /(х ) = | х | на равномерных сетках:

Рис. 1.10. Аппроксимация на отрезке [-1,1] функции /(х ) = |х| полино­ мами Ньютона Л»(х), построенными с использованием равномерных сеток

Рис. 1.11. Погрешность аппроксимации у функции /(х ) = |х|

полиномами Ньютона Рп(х) на отрезке [-1,1] в зависимости от номера п на равномерных сетках