книги / Численные методы. Ч. 4

Рис. 2.6. Сходимость на последовательности сеток Qnзначений интеграла

ю

fe~*dx, вычисленных по формуле парабол (Симпсона) 0

На рис. 2.6 приведена зависимость погрешности численного определения

ю

интеграла je~s dx с помощью формулы парабол (Симпсона).

О

Выводы

1. Найдены приближенные значения определенного интеграла от заданной Функции на указанном отрезке с ипользованием формулы парабол (Симпсона).

2.С уменьшением шага разностной сетки погрешность определения при­ ближенного значения интеграла уменьшается.

3.Погрешность вычисления интеграла по формуле трапеций не превышает

Ю”6 (согласно табл. 2.4), если шаг интегрирования равен 1,25-КГ1.

4. Для вычисления определенного интеграла на компьютере с процессо­ ром Intel® Pentium® 4 (тактовая частота 2,2 ГГц, объем оперативной памяти 512 Мбайт) при заданной точности КГ6 по формуле прямоугольников (с централь­ ной точкой) с шагом 3,9-10-3 требуется 0,8-1(Г3 с; по формуле трапеций с ша­ гом 1,95-10 3 - 3,1-10“3 с; по формуле парабол (Симпсона) с шагом 1,25-10-1 - 0/МО-4 с. Очевидно, что затраты ресурсов вычислительной техники (при оди­ наковой точности) для вычисления определенного интеграла будут наимень­ шими при использовании формулы парабол (Симпсона).

5. При вычислении определенного интеграла снижение погрешности при Уменьшении шага интегрирования наблюдается лишь до некоторого значения

^ =7,8 -1 О**3. Дальнейшее уменьшение шага интегрирования не приводит к по­ вышению точности вычисляемого значения определенного интеграла.

Рис. 3.2. Численные решения задачи Коши методом Эйлера при различных шагах интегрирования:

И= 0,5 (a), h = 0,25 (5), Л = 0,125 (в)ик = 0,0625 (г)

Рис. 3.3. Сходимость на последовательности сеток численных решений задачи Коши, полученных методом Эйлера: зависимости погрешностей 5ЛЛ/2 (-о-) и 5Л(-А-) от шага интегрирования h

На рис. 3.3 приведены зависимости погрешностей bh hj2 и 5Лполучаемых

численных решений от шага интегрирования И.

Выполнение расчетов

Для различных значений шага интегрирования h определяются, в соответ­ ствии со схемой Рунге - Купы 2-го порядка, численные решения заданного уравнения (табл. 3.2). Результаты численного решения задачи этим методом показаны на рис. 3.4.

Таблица 3.2

Численные решения задачи Коши dy/dx =- у , у |х=0 = 1 методом Рунге - Кутты 2-го порядка при различных шагах интегрирования h

решениями (для общих точек **), а также отклонения 6А= maxly* -у(х*)| по-

Рис. 3.4. Численные решения задачи Коши методом Рунге - Купы 2-го порядка при различных шагах интегрирования:

h = 0,5 (a), h = 0,25 (б), h = 0,125 (в) и h = 0,0625 (г)

Рис. 3.5. Сходимость на последовательности сеток Q„ решений задачи Коши методом Рунге - Кутгы 2-го порядка: зависимости

погрешностей 5ЛЛ/2 С- 0 - ) и (~д- ) от шага интегрирования h

1. Найдено с помощью метода Рунге - Купы 2-го порядка численное ре­ шение поставленной задачи Коши.

2.Исследована сходимость численного решения: с уменьшением шага ин­ тегрирования h сокращается отклонение численного решения от точного а также различие двух численных решений, полученных с шагами с шагами А, А/2, hJ4, А/8,..., соответственно.

3.Установлено, что для получения численного решения с погрешностью не выше КГ6 шаг интегрирования должен быть не более 4,0-10"3 (см. рис. 3.5).

4.Следует отметить некоторое повышение погрешности численного ре­ шения при малых шагах интегрирования. По-видимому, при шагах интегриро­ вания, меньших 4,7-10-7, на точность получаемого решения оказывает влияние погрешность округления данных, хранимых в ЭВМ.

5.Для получения численного решения задачи Коши методом Рунге - Кутгы 2-го порядка с заданной погрешностью на компьютере с процессором Intel® Pen­ tium® 4 (тактовая частота 2,2 ГГц, объем оперативной памяти 512 Мбайт) с шагом 4,0-10 '3 требуется 4,6*10-5 с.

-разработать вычислительную программу, реализующую метод Рунге - Кутты 3-го порядка;

-найти численное решение дифференциального уравнения;

-исследовать сходимость последовательности численных решений при уменьшающихся шагах интегрирования;

-определить шаг интегрирования, обеспечивающий погрешность чис­ ленного решения не более 10-6;

-оценить быстродействие вычислительной программы.

Алгоритм решения

Пусть для отрезка [а, Ъ], на котором ищется решение дифференциального уравнения, построена = {х0 = а; х,- = а + / •h; i = 0,п\ h = (b- а)/п } - сеточная

область с постоянным шагом И. Для нахождения численного решения методом Рунге - Кутты 3-го порядка вычислительный процесс строится в соответствии с выражениями

K3 = f( x k +h,y i -h K i+ 2 h K 2),

Л + 1 = Л + £ (* 1 + 4 * 2 + * з* k = l,2,..„ y 0 =y(0).

Здесь, как и ранее, у к - результат численного решения дифференциально­ го уравнения. Погрешность аппроксимации исходного дифференциального уравнения приведенной схемой Рунге - Кутты имеет третий порядок, 5 = o(h3 ) .

Выполнение расчетов

Для различных значений шага интегрирования h определяются, в соответ­ ствии со схемой Рунге - Кутты 3-го порядка, численные решения заданного уравнения (табл. 3.3).

Таблица 3.3

Численные решения задачи Коши dy/dx = -у , y\xsQ = 1, методом Рунге - Купы 3-го порядка при различных шагах интегрирования И

С использованием численных решений, полученных для разных шагов ин­

решениями (для общих точек хД а также отклонения бА= тах|у* -у(х*)| полученных численных решений от точного.