книги / Численные методы. Ч. 4
.pdf6,80 |
0,70 |
-3,40 |
2,70 |
1,80 |
-2,30 i |
2,10 |
1.90 ' |
-О М |
-зм |
0,59 |
6,99 |
-3,41 |
2,69Л |
1,79 |
-2,31 ! |
2,09, |
1,89 ! |
-0,911 |
- з л |
0,96 |
1,06 |
-0,84 |
3,06 |
2,16 |
-1,94 |
2,461 |
206 |
-ом |
-3,44 |
0,41 |
0,51 |
-3,59 |
10,81 |
1,61 |
-2,49 |
1,91 Г |
1,71 |
-1,09 : |
-3S9 |
0,49 |
0,59 |
-3,51 |
2,59 |
9,09 |
-2,41 |
•’" Г |
1,79 1 -1,01 |
-331 |
|
0 , 8 6 |
0,96 |
-3,14 |
2,96 |
2,06 |
1,26 |
2 3 6 1 _а и I |
-0,64 |
-ЗД4 |
|
0,46 |
0,56 |
-3,54 |
2,56 |
1 , 6 6 |
-2,44' |
9,66 |
1,76 |
-1,04 |
-334 |
0,48 |
0,58 |
-3,52 |
2,58 |
1 , 6 8 |
-2,42 1 |
1,98 f |
9 3 8 ! |
- 1 , 0 2 |
-3,921 |
0,74 |
0,84 |
-3,26 |
2,84 |
1,94 |
-2,16 j |
2Щ . 2,04! |
3,94 |
-3,66 |
|
1 , 0 0 |
1 , 1 0 |
-3,00 |
3,10 |
2 , 2 0 |
-1,90 1 |
2,50 | |
230 1 -0,50 |
-1,601 |
|
|
|
|
|
Вариант 23 |
|
|
|
|
|
-2,83 |
6,07 |
-0,53 |
-2,53 |
4,27 |
1,17 |
-2,03 |
-1,63 |
3,17 |
-1,33 |
-4,18 |
15,12 |
-1,38 |
-3,38 |
3,42 |
0,32 |
- 2 , 8 8 |
-2,48 |
2,32 |
-2,18 |
-3,58 |
5,82 |
2,52 |
-2,78 |
4,02 |
0,92 |
-2,28 |
- 1 , 8 8 |
2,92 |
-1,58 |
-3,40 |
6 , 0 0 |
—0,60 |
-1,30 |
4,20 |
1 ,ю 1 |
- 2 , 1 0 |
-1,70 |
3,10 |
-1,40 |
-4,02 |
5,38 |
- 1 , 2 2 |
-3,22 |
1 1 , 6 8 |
0,48 |
-2,72 |
-2,32 |
2,48 |
- 2 , 0 2 |
-3,74 |
5,66 |
-0,94 |
-2,94^ |
3,86 |
5,76 |
-2,44 |
-2,04 |
2,76 |
-1,74 |
-3,45 |
5,95 |
-0,65 |
-2,65 |
4,15 |
1,05 |
-0,35^ |
-1,75 |
3,05 |
-1,45 |
-3,48 |
5,92 |
- 0 , 6 8 |
- 2 , 6 8 |
4,12 |
1 , 0 2 |
-2,18 |
0,42 |
3,02 |
-1,48 |
-3,92 |
5,48 |
- 1 , 1 2 |
-3,12 |
3,68 |
0,581 |
-2,62 |
- 2 , 2 2 |
9,58 |
-1,92 |
-3,51 |
5,89 |
-0,71 |
-2,71 |
4,09 |
0,99 |
- 2 , 2 1 |
-1,81 |
2,99 |
0,99 |
|
|
|
|
Вариант 24 |
|
|
|
|
|
5,94 |
-Ф,96 |
-4,96 |
2,24 |
0,04 |
2,04 |
0,24 |
2,74 |
0,64 |
- 0 , 8 6 |
-0,53 |
5,17 |
-4,93 |
2,27 |
0,07 |
2,07 |
0,27 |
2,77 |
0,67 |
-0,83 |
-0,16 |
-0,56 |
-2,46 |
2,64 |
0,44 |
2,44 |
0,64 |
3,14 |
1,04 |
-0,46 |
-0,82 |
- 1 , 2 2 |
-5,22 |
11,28 |
- 0 , 2 2 |
1,78 |
- 0 , 0 2 |
2,48 |
0,38 |
- 1 , 1 2 |
-0,62 |
- 1 , 0 2 |
-5,02 |
2,18 |
7,08 |
1,98 |
0,18 |
2 , 6 8 |
0,58 |
-0,92 |
-0,80 |
- 1 , 2 0 |
-5,20 |
2 , 0 0 |
- 0 , 2 0 |
10,90 |
0 , 0 0 |
2,50 |
0,40 |
- 1 , 1 0 |
-0,64 |
-1,04 |
-5,04 |
2,16 |
-0,04 |
1,96 |
7,46 |
2 , 6 6 |
0,56 |
-0,94 |
- 0 ,8 6 ^ |
-1,26 |
-5,26 |
1,94 |
-0,26 |
1,74 |
-0,06 |
12,24 |
0,34^ |
-1,16 |
-0,67 |
-1,07 |
-5,07 |
2,13 |
-0,07 |
1,93 |
0,13 |
2,63 |
8,23 |
-0,97 |
-0,54 |
-0,94 |
-4,94 |
2,26 |
0,06 |
2,06 |
0,26 |
2,76 |
0 , 6 6 |
5,36 |
11,65 |
-0,95 |
-4,05 |
0,15 |
4,25 |
-1,35 |
-0,15 |
-0,05 |
0,25 |
-3,95 |
3,30 |
4,20 |
-3,70 |
0,50 |
4,60 |
-1 , 0 0 |
0 , 2 0 |
0,30 |
0,60 |
-3,60 |
3,58 |
-0,32 |
-1,72 |
0,78 |
4,88 |
-0,72 |
0,48 |
0,58 |
0 , 8 8 |
-3,32 |
3,20 |
-0,70 |
-3,80 |
6,30 |
4,50 |
-1 , 1 0 |
0 , 1 0 |
0 , 2 0 |
0,50 |
-3,70 |
2,83 |
-1,07 |
|
0,03 |
14,13 |
-1,47 |
-0,27 |
-0,17 |
0,13 |
-4,07 |
3,34 |
-0,56 |
-3,66 |
0,54 |
4,64 |
3,44 |
0,24 |
0,34 |
0,64 |
-3,56 |
3,23 |
-0,67 |
-3,77 |
0,43 |
4,53 |
-1,07 |
5,73 |
0,23 |
0,53 |
-3,67 |
3,22 |
-0 , 6 8 |
-3,78 |
0,42 |
4,52 |
-1,08 |
0 , 1 2 |
5,92 |
0,52 |
-3,68 |
3,19 |
-0,71 |
-3,81 |
0,39 |
4,49 |
- 1 ,и |
0,09 |
0,19 |
6,49 |
-3,71 |
3,57 |
-0,33 |
-3,43 |
0,77 |
4,87 |
-0,73 |
0,47 |
0,57 |
0,87 |
-1,53 |
|
|
|
|
Вариант 26 |
|
|
|
|
|
-3,77 |
4,03 |
1,03 |
3,73 |
0,63 |
-3,07 |
2,23 |
2,53 |
-3,17 |
1,43 |
-5,46 |
12,84 |
0,24 |
2,94 |
-0,16 |
-3,86 |
1,44 |
1,74 |
-3,96 |
0,64 |
-5,19 |
3,51 |
7,11 |
3,21 |
0 , 1 1 |
-3,59 |
1,71 |
2 , 0 1 |
-3,69 |
0,91 |
-5,44 |
3,26 |
0,26 |
12,26 |
-0,14 |
-3,84 |
1,46 |
1,76 |
-3,94 |
0 , 6 6 |
-5,15 |
3,55 |
0,55 |
3,25 |
6,35 |
-3,55 |
1,75 |
2,05 |
-3,65 |
0,95 |
-4,82 |
3,88 |
0 , 8 8 |
3,58 |
0,48 |
-0,72 |
2,08 |
2,38 |
-3,32 |
1,28 |
-5,30 |
3,40 |
0,40 |
3,10 |
0 , 0 0 |
-3,70 |
9,40 |
1,90 |
-3,80 |
0,80 |
-5,33 |
3,37 |
0,37 |
3,07 |
-0,03 |
-3,73 |
1,57 |
9,97 |
-3,83 |
0,77 |
-4,81 |
3,89 |
0,89 |
3,59 |
0,49 |
-3,21 |
2,09 |
2,39 |
-0,91 |
1,29 |
-5,23 |
3,47 |
0,47 |
3,17 |
0,07 |
-3,63 |
1,67 |
1,97 |
-3,73 |
7,87 |
|
|
|
|
Вариант 27 |
|
|
|
|
|
12,30 |
-1,40 |
- 1 , 0 0 |
-2 , 1 0 |
1,80 |
1,30 |
-3,90 |
0 , 0 0 |
-4,20 |
3,10 |
3,62 |
3,52 |
-0,58 |
- 1 , 6 8 |
2 , 2 2 |
1,72 |
-3,48 |
0,42 |
-3,78 |
3,52 |
3,58 |
-1 , 0 2 |
4,28 |
-1,72 |
2,18 |
1 , 6 8 |
-3,52 |
0,38 |
-3,82 |
3,48 |
3,68 |
-0,92 |
-0,52 |
2,18 |
2,28 |
1,78 |
-3,42 |
0,48 |
-3,72 |
3,58 |
3,33 |
-1,27 |
-0,87 |
-1,97 |
9,63 |
1,43 |
-3,77 |
0,13 |
-4,07 |
3,23 |
3,37 |
-1,23 |
-0,83 |
-1,93 |
1,97 |
8,67 |
-3,73 |
0,17 |
-4,03 |
3,27 |
3,85 |
-0,75 |
-0,35 |
-1,45 |
2,45 |
1,95 |
-1,25 |
0,65 |
-3,55 |
3,75 |
3,49 |
-M I |
-0,71 |
-1,81 |
2,09 |
1,59 |
-3,61 |
6,19 |
-3,91 |
3,39 |
3,87 |
-0,73 |
-0,33 |
-1,43 |
2,47 |
1,97 |
-3,23 |
0,67 |
-1,83 |
3,77 |
3,21 |
-1,39 |
-0,99 |
-2,09 |
1,81 |
1,31 |
-3,89 |
0 , 0 1 |
-4,19 |
1 2 ,1 1 |
9,87 |
-0,63 |
-0,73 |
4,07 |
3,07 |
-4,83 |
2,87 |
-3,03 |
-0,53 |
-А23 |
2 , 2 1 |
4,91 |
-0,49 |
4,31 |
3,31 |
-4,59 |
3,11 |
-2,79 |
-0,29 |
-3,99 |
2 , 2 2 |
-0,38 |
4,72 |
4,32 |
3,32 |
-4,58 |
3,12 |
-2,78 |
-0,28 |
-3,98 |
1,78 |
-0,82 |
-0,92 |
13,88 |
2 , 8 8 |
-5,02 |
2 , 6 8 |
-3,22 |
-0,72 |
-4,42 |
1,87 |
-0,73 |
-0,83 |
3,97 |
11,97 |
-4,93 |
2,77 |
-3,13 |
-0,63 |
-4,33 |
2,59 |
- 0 , 0 1 |
- 0 , 1 1 |
4,69 |
3,69 |
-3,11 |
3,49 |
-2,41 |
0,09 |
-3,61 |
1,89 |
-0,71 |
-0,81 |
3,99 |
2,99 |
-4,91 |
11,59 |
-3,11 |
-0,61 |
-4,31 |
2,43 |
-0,17 |
-0,27 |
4,53 |
3,53 |
-4,37 |
3,33 |
0,33 |
-0,07 |
-3,77 |
2 , 2 0 |
-0,40 |
-0,50 |
4,30 |
3,30 |
^ ,6 0 |
3,10 |
-2,80 |
5,10 |
^ , 0 0 |
2,54 |
-0,06 |
-0,16 |
4,64 |
3,64 |
-4,26 |
3,44 |
-2,46 |
0,04 |
-1,96 |
|
|
|
|
Вариант 29 |
|
|
|
|
|
0,58 |
1,58 |
2,98 |
-2,62 |
0,38 |
1,48 |
1,28 |
-3,62 |
2,08 |
2,28 |
-3,33 |
9,17 |
2,57 |
-3,03 |
-0,03 |
1,07 |
0,87 |
-4,03 |
1,67 |
1,87 |
-3,45 |
1,05 |
11,85 |
-3,15 |
-0,15 |
0,95 |
0,75 |
-4,15 |
1,55 |
1,75 |
-2,95 |
1,55 |
2,95 |
1,15 |
0,35 |
1,45 |
1,25 |
-3,65 |
2,05 |
2,25 |
-3,22 |
1,28 |
2 , 6 8 |
-2,92 |
6 , 8 8 |
1,18 |
0,98 |
-3,92 |
1,78 |
1,98 |
-3,32 |
1,18 |
2,58 |
-3,02 |
- 0 , 0 2 |
8,98 |
0 , 8 8 |
-4,02 |
1 , 6 8 |
1 , 8 8 |
-3,30 |
1 , 2 0 |
2,60 |
-3,00 |
0 , 0 0 |
1 , 1 0 |
8,60 |
—4,00 |
1,70 |
1,90 |
-2,85 |
1,65 |
3,05 |
-2,55 |
0,45 |
1,55 |
1,35 |
-0,75 |
2,15 |
2,35 |
-3,37 |
1,13 |
2,53 |
-3,07 |
-0,07 |
1,03 |
0,83 |
-4,07 |
10,13 |
1,83 |
-3,39 |
1 , 1 1 |
2,51 |
-3,09 |
-0,09 |
1 ,0 1 |
0,81 |
-4,09 |
1,61 |
10,51 |
|
|
|
|
Вариант 30 |
|
|
|
|
|
11,29 |
-0,81 |
-0,71 |
-3,81 |
2,59 |
-2,91 |
2,29 |
-3,21 |
- 0 , 0 1 |
0,99 |
3,12 |
4,42 |
-0,38 |
-3,48 |
2,92 |
-2,58 |
2,62 |
- 2 , 8 8 |
0,32 |
1,32 |
3,11 |
-0,49 |
4,61 |
-3,49 |
2,91 |
-2,59 |
2,61 |
-2,89 |
0,31 |
1,31 |
3,39 |
- 0 , 2 1 |
- 0 , 1 1 |
-1,31 |
3,19 |
-2,31 |
2,89 |
-2,61 |
0,59 |
1,59 |
2,81 |
-0,79 |
-0,69 |
-3,79 |
10,91 |
-2,89 |
2,31 |
-3,19 |
0 , 0 1 |
1 ,0 1 |
3,31 |
-0,29 |
-0,19 |
-3,29 |
3,11 |
0,41 |
2,81 |
-2,69 |
0,51 |
1,51 |
2,84 |
-0,76 |
- 0 , 6 6 |
-3,76 |
2,64 |
- 2 , 8 6 |
10,34 |
-3,16 |
0,04 |
1,04 |
3,34 |
-0,26 |
-0,16 |
-3,26 |
3,14 |
-2,36 |
2,84 |
-0,16 |
0,54 |
1,54 |
3,05 |
-0,55 |
-0,45 |
-3,55 |
2,85 |
-2,65 |
2,55 |
-2,95 |
5,95 |
1,25 |
2,95 |
-0,65 |
-0,55 |
-3,65 |
2,75 |
-2,75 |
2,45 |
-3,05 |
0,15 |
7,85 |
Вычислить приближенно значения первой и второй производных заданной функции в указанной точке (табл. 4.5) с помощью разностных аналогов:
- Л / ( * , ♦ ! ) - / ( * , ) .
а) h ’
б) л*/)-/(*м ).
л
ч /( х м ) - /( * ,. ,) .
2 h
гч /(* /- i) - 2 /(x ,) + /( x , „ ) 2
ПИ2
Исследовать сходимость численно определяемых значений к точному зна чению и определить зависимость погрешности численного дифференцирова ния от шага h.
|
Варианты заданий для самостоятельного выполнения |
Таблица 4.5 |
|||||||
|
|
|
|
||||||
№ |
Функция |
Точка |
№ |
Функция |
|
Точка |
|
||
1 |
f(x )= 1/sinx |
1.5 |
16 |
/(х ) = е* 2 |
|
0 |
|
||
|
/(x ) = l/sin4x |
0,4 |
17 |
|
|
|
|||
2 |
/( * ) = e ‘ - * 2 |
|
0 |
|
|||||
3 |
|
|
|
1,5 |
18 |
|
|
|
|
1 |
3 |
sinx) |
|
|
0 |
|
|||
|
/(x ) = /(x |
|
|
/(х )= е , + * 2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
/(x ) = xsin3 x |
0 |
19 |
/( x ) = x 2 ex/2 |
|
0 |
|
||
5 |
f(x )= x - s in 2 x |
1,5 |
2 0 |
/ ( x ) = x V * 2/2 |
|
0 |
' |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
/(x ) = sin x(l + sin x) |
4,5 |
2 1 |
f ( x ) = e x ( l - x f |
/ х |
ко |
|
||
7 |
/(x ) = sin2 x/(l + sin x) 2 |
3,0 |
2 2 |
f ( x ) = e * t f x * |
|
0 |
|
||
8 |
/(x ) = sin2 x(l + sin x) |
1,5 |
23 |
f ( x ) = e'ml |
|
1,5 |
|
||
9 |
/(x )= sin x + sin3x |
1,5 |
24 |
f ( x ) = e ° XI |
|
0 |
1 |
||
1 0 |
/(x )= л/l + sin3 x |
4,5 |
25 |
/(х )= е “ ' х |
|
1,5 |
|
||
|
|
|
|||||||
И |
/(x )= V l-sin 3x |
1,5 |
26 |
/( x ) = e'“ ’x |
|
0 |
|
||
1 2 |
f ( x ) = V l-sin x |
1,5 |
27 |
/( x ) = e ^ 7 |
|
1,5 |
|
||
|
|
|
|||||||
13 |
/(x )= V l-sin 3x |
1,5 |
28 |
f { x ) = e ^ |
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
14 |
/(x ) = Vsin2x |
3,0 |
29 |
f ( x ) = ln2x |
|
1 |
|
||
15 |
/(x ) = Vl + sin3x |
4,5 |
30 |
/(x )= ln 2 x/x2 |
|
1 |
|
||
Для определенного интеграла (табл. 4.6):
- разработать вычислительную программ)', реализующую (идо ужазашню» преподавателя) метод:
а) прямоугольников; б) трапеций; в) парабол (Симпсона);
-найти значение заданного интеграла;
-исследовать сходимость численно определяемых значений при умень шении шагов интегрирования;
-определить зависимость погрешности численного интегрирования от шага интегрирования;
-установить, при каком шаге интегрирования погрешность вычисления интеграла не превышает КГ6;
-оценить быстродействие вычислительной программы.
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4.6 |
|
|
Варианты заданий для самостоятельного выполнения |
||||||
№ |
|
Интеграл |
№ |
|
Интеграл |
№ |
Интеграл |
|
1 |
f |
|
|
9 |
|
|
17 |
i |
* |
|
4f |
* |
jxe~xdx |
||||
|
/ х +л/2х-1 |
|
|
0J1 + V2x + 1 |
|
0 |
||
|
V2 |
|
|
|
1 |
|
|
Jarcsinxdx |
2 |
J e x cos xdx |
|
10 |
J W l- x 2dx |
18 |
|||
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
dx |
|
|
V |
dx |
|
я |
3 |
|
|
11 |
19 |
Jx3 sinxdx |
|||
j 3 + 2 C O S X |
|
U ' + e ' 1 |
||||||
|
|
|
|
0 |
||||
|
|
|
|
|
,nr |
dx |
|
2 |
4 |
1 |
• * |
|
12 |
20 |
Jxlnxdx |
||
|
iV e '+ l |
|||||||
|
J 1 + sin X + cos X |
|
|
|
1 |
|||
|
я/4 |
t |
|
|
I n |
|
|
€ |
5 |
f |
** |
|
13 |
Jx4sin3xdx |
21 |
Jsin(lnx)dx |
|
|
j l + 2sin2x |
|
|
- I n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
1 |
6 |
J(ex + e ~ x)tg xdx |
|
14 |
Jln2xdx |
22 |
Jx2 sinxdx |
||
|
-i |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
9fVxdx |
|
1/2 |
|
7 |
f |
* |
|
15 |
23 |
Jxarcsinxdx |
||
|
|
|
||||||
|
-2 Vx + 3 + *\J(x + 3)3 |
|
|
|
|
0 |
||
8 |
J |
x7 -3 x 5 + 2x3- |
X + 4 ^ |
16 |
|
xdx |
24 |
'f 4* |
2 |
^ |
ic o s 2x |
||||||
|
- . / 4 |
cosJx |
|
|
|
oJl + «* |
||
№ |
|
Интеграл |
№ |
Интеграл |
№ |
Интеграл |
|
'"fe'Ve1- 2 dx |
|
3 |
|
j * |
|
25 |
27 |
jxarctgxdx |
29 |
|||
|
J |
ех+ 2 |
|
0 |
|
*xlnx |
26 |
j |
х |
\ |
J(l + lnx)2dx |
30 |
f |
sin2 x + c o s- + tgx |
dx 28 |
|||||
|
-я/3 ' |
2 |
' |
i |
|
0 ^ 2 - x 1 |
4.7.Задачи Коши
Для задачи Коши на заданном интервале (табл. 4.7):
-разработать вычислительную программу, реализующую (по указанию преподавателя) метод:
а) Эйлера; б) Рунге - Купы 2-го порядка;
в) Рунге - Купы 3-го порядка; г) Рунге - Купы 4-го порядка; д) Адамса;
-найти численное решение дифференциального уравнения;
-исследовать сходимость последовательности численных решений при уменьшающихся шагах интегрирования;
-определить шаг итерирования, обеспечивающий погрешность чис
ленного решения не более 1 0 , - оценить быстродействие вычислительной программы.
No
1
2
3
4
5
6
7
Таблица 4.7
Варианты заданий для самостоятельного выполнения
|
Задача Коши |
|
Интервал |
|
y '- y / x |
= X2 , j |x=1=0 |
|
|
[1 , 2 ] |
У '-У ctg(x) = 2x sin(x), |
у\х=ф = 0 |
[л/2 , я] |
||
У' + Уcos(x) = sin(2x)/2, |
y\x=0 = 0 |
[0 , 1 ] |
||
y' + y tg(x) = cos2 (x), у\х^ |
= 0,5 |
[л/4, п/2] |
||
y '- y / ( x + 2 ) = X 2 + 2 X , |
^ |
=_,=1,5 |
[- 1 . 0 ] |
|
/ - l / ( x |
+ l)=e*(x + l), |
^ |
= 0 = 1 |
[0 . 1 ] |
y - ^ / x |
= xsin(x), у\хтф =! |
[я/2 , я] |
||
№
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30 _
Задача Коши
у' +у /х = sin(x), |
4 |
^ = 0 1 |
у ' +у / 2х = х 2, |
^ |
=,=1 |
у' + 2xy/(l + х2J= 2x2/(l + х2), ^ „ = 2 / 3
у ’- ( 2 х - 5 )у /х 2 =5, |
Д ,=2=4 |
||||
У + у /х = (х +1>хА , |
|
= в |
|||
у '- у / х = - 21п(х)/х, |
^ , = 1 |
||||
у '- у / х = - * /х 2, ^ , = 4 |
|||||
у ' +2у/х = х \ |
|
3'|1=1 = -5 /6 |
|||
у' +у /х = Ъх, |
^ |
=)=1 |
|
||
y '-2 x y /{l + x 2)=l +x2, |
Д ,=,= 3 |
||||
у + О - г х ^ А 2 = 1, |
^|1=1 = 1 |
||||
у' +3у/х = 2 / х \ |
^ , = 1 |
|
|||
у' +2ху = -2 х 3, |
ДJ=1 = 1/е |
||||
y ' +x y /2 [l-x 2)=x/2, |
у\х=0=2/3 |
||||
у' +ху = - х 3, |
^ |
= |
3 |
|
|
y - 2 y /( x + i) = y (x + i)2, |
Д1=0=1 |
||||
У + 2лу = e 'jr,xsin(x)> |
|
= 1 |
|||
У -2 ^ /(х + 1) = (х + 1)3) |
Д ,=0=0,5 |
||||
y -^ c o s(x ) = -sin(2x)t |
4 ^ = 3 |
||||
У -4 х у = -4х3, |
|
Дх=0 = -0,5 |
|||
У '- у/х = - ln(x)/x, |
>|1ж1=1 |
||||
у - з х А = х 2(1+х3]/з, |
д ^ - о |
||||
У - у cos(x) = sin(2 x), |
|
|
= -1 |
||
Интервал
[*,2*]
[1,2]
[0,1]
[2,3]
[1,2]
[1.2]
[1,2]
[1,2]
[1,2]
[1,2]
[1,2]
[1,2]
[1,2]
[0,1]
[0,1]
[0,1]
[0,1] [0, 1] [0,1] [0,1] [1 , 2 ] [0 , 1 ] [0 , 1 ]
4.8. Граничные задачи
4.8.1. Разностный метод
Для дифференциального уравнения второго порядка с заданными гранич ными условиями (см. табл. 4.8):
-построить разностные аналоги дифференциального уравнения и гра ничных условий;
-оценить погрешность аппроксимации дифференциального уравнения и граничных условий разностными аналогами;
-разработать вычислительную программу, реализующую разностный ме
тод;
-с помощью разработанной программы найти численное решение по ставленной задачи;
-исследовать сходимость численных решений и определить зависимость погрешности численного решения от шага интегрирования Л;
-определить шаг интегрирования А, обеспечивающий погрешность чис
ленного решения не выше 1 0 “*; - оценить быстродействие вычислительной программы.
4.8.2. Метод пристрелки
Для дифференциального уравнения второго порядка с заданными гранич ными условиями (см. табл. 4.8):
-разработать вычислительную программу, реализующую метод при стрелки;
-с помощью разработанной программы найти численное решение по ставленной задачи с погрешностью, не превышающей КГ6;
-определить шаг интегрирования А, обеспечивающий указанную по грешность численного решения;
-оценить быстродействие вычислительной программы.
4.8.3. Метод Галеркина и метод наименьших кеадратое
Для дифференциального уравнения второго порядка с заданными гранич ными условиями (см. табл. 4.8):
-построить систему пробных (взвешивающих) функций;
-построить разрешающие соотношения - систему линейных алгебраиче ских уравнений;
-найти приближенное решение;
-исследовать сходимость последовательности швра^лшмвшшгк дгопшдий и определить зависимость noipenraociB от числа умрашшюеш. з р ш ш л ш и пробных функций;
-определить количество слагаемых в разложении двевиисяпд в ш сиспиие
пробных функций, обеспечиваю щ ее погреш ность не выш е ШГ*; - выполнить оценку эффективности вычислительной нврогртммвд.
Ташпвпщ®4-..$
Варианты заданий для самостоятельного i
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 0
1 1
1 2
13
14
15
16
17
18
19
2 0
2 1
2 2
23
Дифференциальное уравнение
у'+ ху' = 0
у'- х у ' =0
у”+ху = 0
V |
IIо ъ |
y ,r + ysinx = 0 y '- y s in x = 0
y’ + x2y' = 0
у' - х 2у ' = 0
у”+ху'+у = 0
у”- х у ' +у = 0 у* + х у '- у = 0
у’ - х у '- у = 0
у" - у '+ х у = 0
y r- y f+xy = 0
у' +у '- х у =0
у”+у ’- х у =0
y ,r + ysinx = 0 y ' + ysinx = 0 y* + ysinx = 0 y ,r+ >ysinx = 0
у 9+ [cos(2 x)+ l]y = 0 y 9 +{cos2 x +\)y = 0
у ' + У + e~2ly = 0
I |
Граничные условия |
|
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
1 |
> U = 0 - > L = <w |
|
|||||||
; |
у |
^ |
^ |
|
о |
л |
|
|
|
I |
> U = 0 ’->iL= |
0 |
»1 |
|
|||||
|
>fx=0 |
= 0 ’> U l = |
1 |
|
|||||
|
^*=0 |
= M |
|
L = 1 |
j |
||||
|
^ |
= |
O. > L = O J |
|
|||||
|
> L »= 0 '> L = |
0 *1 |
|
||||||
|
•Их= 0 |
= °’ Дг=1 |
= 1 |
|
|||||
|
V w о II о |
|
|
|
II |
|
|
||
|
•Их= 0 |
= °*-4r=l = 1 |
|
||||||
|
^ |
= |
0 |
, |
^ |
= |
1 |
|
! |
|
^ I=0 |
= ° , j i =1= i |
|
||||||
|
•HI =O = ,’>’1L I = 0 |
|
|||||||
|
j i =0 = 1’> i= i= 0 |
|
|||||||
•Hz= 0 |
” ^ 1 JP=0 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
-Hx= 0 |
+ ^ 1x= 0 |
= |
Mx*l + |
~ * |
|
||||
Д . о + 4 |
^ |
= ,*Ч г«1 -4п .1= | |
,| |
||||||
«Их=0 ~~ У1x=0 = ^ H r«l “ ^1**! = * |
|
||||||||
|
> U = ° * > U i=1 |
I |
|||||||
|
>ix= 0 = 1.> , u |
= |
° |
1 |
|||||
|
Д » о = 0 ^ |
и |
= 1 |
|
|||||
№
24
25
26
27
28
29
30
Дифференциальное уравнение
у’ +у '- е ~ 2ху = 0
у’ +у' + е~2ху = 0
у’ +у '- е ~ 2ху = 0
у'- 2 х у ' +{х -1 )у = 0
у" -2 ху' +( х - \) у = 0
у’ -2 ху' + ( х - \) у = 0
у” +у' +(} - х )у = 0
Граничные условия
>'U o=1^ ' U i =0
y U o = i . ^ = i =0 3'Uo = 0 ,y |x=1= l
Ч;^ X о |
О |
X |
II |
II |
II |
Ч: м^ |
|
j'U 0 = i . y U ,= o y 'L o =0’^ i =l
Л = 0 = 1’ Нс=1=1