книги / Эффективные методы решения задач кинематики и динамики робота-станка параллельной структуры
..pdf2,4. Кинематический анализ гексапода |
51 |
e i образует с осями некоторой прямоугольной системы координат x y z , расположенной на твердом теле, рис. 2,6, т, е.
cos a i = sin Y cos x i, cos в = sin Y sin Xi, cos Y = cos Y .
Моменты единичного вектора ei относительно этих осей равны
li = гц cos Yi - |
Zi cos p i, |
|
m i = |
Zi cos a i - |
Zi cos Yi, |
n i = |
Zi cos ^ i - |
Vi cos a i. |
где Zi, Vi, Zi ~ координаты точки крепления стержня к твердому телу (центры сферических шарниров).
Рис, 2,6, Схема гексапода с установленным на ней твердым телом
52 Гл. 2. Кинематический анализ механизмов параллельной структуры
Матрица плюккеровых координат имеет вид |
|
|||
|
cos а 1 . . |
cos аб |
|
|
|
cos в 1 . . |
cos вб |
|
|
A = |
cos Y1 . .. |
cos Y6 |
(2 .16) |
|
I1 |
. . |
• |
||
|
l6 |
|
||
|
Ш1 . . |
тб |
|
|
|
П1 . . |
П6 |
|
|
Зададим твердому телу I относительно основания I I |
малое переме |
|||
щение с матрицей-столбцом перемещений
XT = [х,y, Z , р , ф, x]T ,
где x, y, Z — поступательные перемещения вдоль осей x, y, Z ; р, ф, х — углы поворотов относительно этих осей. Аналогично можно определить матрицу-столбец скоростей
х = |х, y , Z , р , ф , xj •
В рамках теории малых возможных перемещений можно записать
Д = A T X, |
Д = А т X, |
(2 .17) |
Дт = [SI , 62, 63, 64,65, ^в]т , |
Дт = [*, 62,4 |
<"4, 65, <"в]т , |
где Д, Д — матрицы-столбцы относительных перемещений и скоростей по направлениям осей стержней.
Если к твердому телу приложены силы и моменты, характеризуемые
матрицей-столбцом |
|
F T = [FX , F y, F z, M X , M y, M z]T , |
|
где FX , F y, F z — силы, приложенные по осям х, y, Z; |
|
M X , M y, M z — моменты относительно этих осей, то |
|
F = AR, |
(2 .18) |
где R T = [R1, R2, R3, R4, R5, Дб]Т — силы реакции стержней |
на дей |
ствие сил F . |
|
|
Решая уравнения (2 .16)-(2 .18) относительно Д, Д и R |
получим |
|
X = (Ат ) -1 Д, |
j |
|
X = (А т )-1 Д , |
> |
(2 .19) |
R = A -1F^ |
J |
|
Из (2 .19) следует, что если определитель матрицы А равен нулю (матрица А вырожденная), то обратной обратной матрицы не суще ствует и нет однозначной связи между перемещениями точек крепления
2,4. Кинематический анализ гексапода |
53 |
стержней и перемещением твердого тела координат XYZ. Перемеще ния X равны бесконечности. То же самое можно сказать о силах и мо ментах, приложенных к твердому телу, и реакциях стержней Силы F, приложенные к твердому телу, вызывают бесконечно большие реакции. Таким образом, вырожденность матрицы A указывает на мгновенную подвижность и статическую неустойчивость.
Вопрос об отсутствии подвижности конфигураций типа представ ленной на рис. 2.6 аналитически в общем случае решается, таким образом, проверкой матрицы плюккеровых координат на ее вырожден ность. Ранг вырожденной матрицы A меньше 6. Если ранг равен 5, то имеем одну степень мгновенной подвижности, в общем случае — в виде кинематического винта. Если ранг равен 4 — две степени подвижности и т. д.
Рассмотрим задачу виброизоляции твердого тела в пространстве с использованием платформы Стюарта, у которой верхние и нижние шарниры расположены на дисках одного радиуса (см. рис. 2.6). Для решения поставленной задачи необходимо управлять перемещением тела I относительно подвижного основания II таким образом, чтобы положение твердого тела в инерциальной системе координат оставалось неизменным. При этом вектор перемещения имеет вид:
X T = [x y z f x Ф]Т ,
где x, y, z — поступательные перемещения относительно осей X , Y , X;
f, x ,Ф — углы поворотов относительно этих осей.
Перемещение твердого тела (объекта) в пространстве связано с пе ремещениями вдоль шести стержней платформы Стюарта матрицей координат А г .
' V3 |
- |
— 2 |
sin Y |
cos Y |
|
a z |
|
|
i |
— f |
R sin Y |
-*2sin Y |
|
---- 2 sin Y |
|
— *2a z sin Y |
|||||||
— sin Y |
|
0 |
cos Y |
|
R cos Y |
|
a z sin Y + R |
cos Y |
|
R sin Y |
|
^ |
sin Y |
2 |
sin Y |
cos Y |
— |
R cos Y + |
sin Y |
— "i*23 a z sin Y + R cos Y |
—Д^R sin Y |
||
Аг |
sin Y |
— 2 |
sin Y |
cos Y |
— |
R cos Y + |
sin Y |
— *2a z sin Y + —cos Y |
|
R sin Y |
|
|
— f |
||||||||||
— s in y |
|
0 |
cos Y |
|
f R cos Y |
|
a z sin Y + R |
cos Y |
R sin Y |
||
-*2sin Y |
2 |
sin Y |
cos Y |
|
~2 sin Y |
|
— *2a z sin Y |
Д^R sin Y |
|||
|
- |
|
|
|
|
a z ■ |
|
V 3 |
i |
|
|
Тогда вектор относительных перемещений по направлениям сей стерж ней запишем в виде
Д = Аг X.
Будем считать, что к твердому телу приложены силы и моменты, характеризуемые вектором-столбцом
F T = [FX Fy Fz Mx My Mz]T ,
54 Гл. 2. Кинематический анализ механизмов параллельной структуры
где Fx , Fy, Fz — силы, приложенные по осям х, y, z; M x , M y, M z — моменты относительно этих осей.
Силы и моменты связаны с реакциями опор R T = = [Ri R 2 R 3 R 4 R 5 Дб]Т выражением
F = A T R .
Рассмотрим платформу, стержни которой реализованы с использовани ем электромеханического приводного механизма с червячной передачей и параллелограммным механизмом. В этом случае с учетом электро механических свойств привода движение одного опоры описывается системой уравнений в пространстве состояния.
Для реакций стержней для тела массой m и радиусами инерции рх ,
py, pz по аналогии с выражением mX = Ri |
можно записать |
|
|||||||
m |
О |
О |
О |
О |
О |
xz |
|
R i |
|
О |
m |
О |
О |
О |
О |
yz |
|
R 2 |
|
О |
О |
m |
О |
О |
О |
z |
= а т |
R 3 |
(2 .2 0 ) |
О О О |
2 |
О2 |
О |
ф |
R 4 |
||||
m PX |
Г |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
О |
О |
О |
m p/y |
О |
р |
|
R5 |
|
О |
О |
О |
О |
О |
2 |
ф_ |
|
R6 |
|
mpZJ |
|
|
|||||||
Из выражения (2.20) следует |
|
|
|
|
|
||||
[х y z ф р |
ф' ] Т = м -1 а Г [Ri R2 R3 R4 R5 R6]T . |
|
|||||||
Рассмотрим далее схему гексапода (рис. 2.7). Обозначим центры шарниров на плоскости основания O i, О2, О3, О4, О5 и Об. Шарниры расположены на отрезках, перпендикулярных высотам равностороннего треугольника на основании и проведены из вершин этого треугольника.
Рис. 2.7. Схема гексапода
2,4. Кинематический анализ гексапода |
55 |
Расстояние между основанием и рабочим столом в исходном |
поло |
жении — L, Такое расположение центров шарниров (не в вершинах треугольника) связано с конструктивной необходимостью разнесения пар шарниров, так как штанги имеют продолжение за рабочий стол
ввиде трубчатых штанг, на концах которых расположены электродви гатели для привода шариковых винтовых пар. Эти штанги при любом эксплуатационном положении рабочего стола не должны встретиться
впространстве между собой.
Для рабочего стола определим его угловое положение с помощью трех поворотов. Обозначим центры шарниров, связанные с равносто
ронним треугольником рабочего стола, Ci, C2, C3, C4, C5 |
и Cfe. Как |
и для трипода в исходном базисе на основании по осям х, y, z |
направим |
векторов-ортов e i, е2 и ез. Произведем три последовательных поворота. При этом, применим для определения длины каждой штанги замы кание цепочки векторов при движении: от нижнего шарнира четвертого класса верхнему сферическому шарниру C i через точки E, O ' , O " и H
11 = - A e 2 — Rei + xei + ув2 + (L + z) ез+
+ r (в"' cos 60о + е2'' cos 30°) + a (е2'' cos 60° —в ' cos 30°), (2.21)
— от нижнего шарнира четвертого класса O2 к верхнему сферическому шарниру O2 через точки F , O ' , O '' и H
12 = A (ei cos 30° + в2 cos 60°) + R (ei cos 60° —в2 cos 30°) + xei + ув2+
+ (L + z) в3 + r (ei' cos 60° + e'''2 cos 30°) +
+ a (ei' cos 30° —e f cos 60°), (2.22)
— от нижнего шарнира четвертого класса O3 к верхнему сферическому шарниру O3 через точки F , O ' , O '' и I
13 = —A (вi cos 30° + в2 cos 60°) + R (вi cos 60° —в2 cos 30°) +
+ x e i + ув2 + (L + z) e3 —re ' ' — ae' ' , (2.23)
— от нижнего шарнира четвертого класса O4 к верхнему сферическому шарниру O4 через точки G, O ' , O '' и I
14 = A (ei cos 30° —в2 cos 60°) + R (ei cos 60° + в2 cos 30°) +
+ x e i + ув2 + (L + z) в3 —r e i ' + ae'2' , (2.24)
— от нижнего шарнира четвертого класса O5 к верхнему сферическому шарниру O5 через точки G, O ' ,O'' и J
15 = —A (ei cos 30° —в2 cos 60°) + R (ei cos 60° + в2 cos 30°) +
+ x e i + ув2 + (L + z) в3 + r ( e cos 60° —e'2 cos 30°) +
+ a (ei ' cos 30° + e'' ' cos 60°), (2.25)
56 Гл. 2. Кинематический анализ механизмов параллельной структуры
— от нижнего шарнира четвертого класса Об к верхнему сферическому шарниру О6 через точки E, О ', О'' и J
1б = А в 2 — R e \ + x e \ + ye2 + (L + z) ез + r (e' ' cos 60° —e2'' cos 30°) — - a ( e ' cos 30° + e f cos 60°), (2.26)
где A и a — расстояние между центром шарнира и ближайшим углом основания и рабочего стола соответственно, R и r — радиусы описан ных окружностей основания и рабочего стола соответственно.
Подставив в формулы (2.2')-(2.26) выражения (2.')-(2.2) и преоб разовав, получим аналитические выражения, описывающие изменение векторов штанг в зависимости от углов наклона и перемещения верх ней платформы в виде:
l ' = he' e ' + l ' e2 e2 + l ' e3e3,
I2 = l2e ' e ' + l2e2 e2 + I2e3e3,
l6 —l6e'e' + l6e2e2 + l6e3e3,
где
l 'e' = —R + x + 2 r ^cos $ cos £ —л/3 cos $ sin £^ —
—2 a ^V 3 cos $ cos £ —cos $ sin £^ ,
l'e2 = 2 r (sin ф sin $ cos £ + cos^ sin £) —
—^ r (sin ф sin $ sin £ —cos ф cos £)—
V3 a (sin фsin $ cos £+cos фsin £) —
2
—2 a (sin фsin $ sin £ —cos фcos £) —A + y,
l' e3 = —2 r (cos фsin $ cos £ + sinф sin £) +
V3
+— —r (cos фsin $ sin £ + sin фcos £) +
V3
+— —a (cos фsin $ cos £ —sin фsin £) +
+ 2 a (cos фsin $ sin £ + sin фcos £) + L + z,
l2e' = 2 (R — л/3 A + x + 2 r ^cos $ cos £ — V 3 cos $ sin £^ +
+ 2 a ^V3 cos $ cos £ + cos $ sin
2,4. Кинематический анализ гексапода |
57 |
h e 2 = —^ ^A + л/ 3 R + у + 2г (sin p sin $ cos £ + cosp sin £) —
——2—г (sin p sin $ sin £ —cos p cos £) +
V3
+— —a (sin p sin $ cos £ + cos p sin £) +
|
|
|
|
|
+ 2 a (sin p sin $ sin £ — cos p cos £). |
|
h e—= |
—2 г (cos p sin $ cos £ — sin p sin £) + |
|||||
|
|
|
|
V— |
|
|
|
|
|
|
+— — г (cos p sin $ sin £ + sin p cos £) — |
||
|
|
|
|
—^ 3 a (cos p sin $ cos £ — sin p sin £) — |
||
|
|
|
|
|
—2 a (cos p sin $ sin £ + sin p cos £) + L + z, |
|
l—et = |
2 |
|
^ / 3 A + R |
+ x — г cos $ cos £ + a cos $ sin £, |
||
l—e2 = |
2 |
(A —V 3 R |
+ у — г (sin p sin $ cos £ + cos p sin £) + |
|||
|
|
|
|
|
+ |
a (sin p sin $ sin £ — cos p cos £), |
1зе—= |
L + |
z + г (cos p sin $ cos £ — sin p sin £) — |
||||
|
|
|
|
|
—a (cos p sin $ sin £ + sin p cos £). |
|
l4ei = |
1 |
^ / 3 A + R |
+ x — г cos $ cos £ — a cos $ sin £, |
|||
l4 e2 = |
1 |
^ / 3 R — A |
+ у — г (sin p sin $ cos £ + cos p sin £) — |
|||
|
|
|
|
|
—a (sin p sin $ sin £ — cos p cos £), |
|
l4 e—= |
L + |
z + |
г (cos p sin $ cos £ — sin p sin £) + |
|||
|
|
|
|
|
+ |
a (cos p sin $ sin £ + sin p cos £), |
fee i = |
x + |
2 (R |
—V3 A + г cos $ cos £ + |
V 3 г cos $ sin £+ |
||
|
|
|
|
|
|
+ V—a cos $ cos £ — cos $ sin £ ) , |
58 Гл. 2. Кинематический анализ механизмов параллельной структуры
l5e2 — У + 2 ( А + R + 2 (sin p sin § cos £ + cos p sin £) +
|
V3 |
§ cos £ — cos p cos £) + |
|
|
|
|
+— — r (sin p sin |
|
|
||
|
V3 |
§ cos £ + cos p sin £) — |
|
|
|
|
+— — a (sin p sin |
|
|
||
|
|
|
2 a (sin p sin § sin £ — cos p cos £) |
||
l5e3 ——2 r (cos p sin § cos £ — sin p sin £) — |
|
|
|||
|
—^2 Lr (cos p sin § sin £ + sin p cos £) — |
|
|
||
|
—2 a (cos p sin § cos £ — sin p sin £) + |
|
|
||
|
+ 2 a (cos p sin § sin £ + sin p cos £) + |
L + |
z, |
||
l^ei — |
—R + x + 2 (V S r cos § sin £ — V3 a cos § cos £ + a cos § sin |
|
|||
1ве 2 — 2 r (sin p sin § cos £ + cos p sin £) + |
|
|
|||
+ |
2 r (sin p sin § sin £ — cos p cos £) —2 a ( V3 sin p sin § cos £+ |
|
|||
|
+ V3 cos p sin £ — sin p sin § sin £ + cos p cos £^ + A + y, |
||||
h e 3 — 2 r (—cos p sin § cos £ + s in p sin £) — |
|
|
|||
|
—2 r (cos p sin § sin £ + sin p cos £) — |
|
|
||
|
—2 a ( —V 3 cos p sin § cos £ + V 3 sin p sin £+ |
|
|
||
|
+ cos p sin § sin £ + sin p cos £) + |
L + |
z. |
||
Тогда длины штанг могут быть найдены как |
|
|
|||
|
lli I — V l2ei + |
l2e2 + l2e3 , |
|
|
|
|
l2I — \J lLl + |
l2e2 + l2e3 , |
(2.27) |
||
|
|
|
|
||
M — \Jl6el + l6e2 + l6e3 4
60 Гл. 2. Кинематический анализ механизмов параллельной структуры
В случае, когда платформа совершает только два вращательных пово рота на углы и, приняв, получим графики зависимости длины штанг от углов наклона, (см. рис. 2.5).
В случае, когда платформа совершает только два вращательных поворота,V 6 [—^ / 2 ;п / 2 ], $ £ [—п / 2 ;п/ 2 ], £ = 0 , x = y = z = 0 и, при няв L = 100 мм, R = 30 мм, r = 30 мм, A = 10 мм, a = 5 мм, получим графики зависимости длины штанг от углов наклона (см. рис. 2 .8 ).
2.5. Оптимизация траектории движения рабочего инструмента
Полученные ранее выражения (2.27) могут быть использованы при построении траектории движения робота-станка. Самым простым ва риантом перемещения рабочего инструмента от одной точки к другой является траектория представленная в виде прямой. В этом случае уравнение движения рабочего инструмента может быть представлено в виде:
x(t) |
Х0 + (x 1 —X0)t, |
y(t) = У0 + (yi —y0)t, |
} |
|
|
z (t) |
Z0 + (zi |
—Z0)t, |
V(t) = V0 + (Vi —V0)t, > |
(2.28) |
|
$ (t) |
$0 + ($i |
— $ 0)t, |
£(t) = £0 + (£\ — & )t |
J |
|
Здесь траектория движения выражена в параметрическом виде, где параметр t может интерпретироваться как время. Перемещение начи нается с момента времени t = 0 и заканчивается при t = 1.
Графики зависимости длин штанг от времени при перемещении рабочего инструмента из одной произвольной точки в другую могут иметь вид, представленный в табл.2.1 и на рис. 2.9.
Для достижения оптимальной траектории движения необходимо рассматривать траекторию движения рабочего инструмента как нели нейную, для примера — квадратичную. Проведем аппроксимацию функций (2.28) в виде:
|
x(t, k i ) |
= |
Х0 + (xi —Х0 —k \ )t + kit2, |
||
|
y(t, k2) |
= |
y0 + (y\ — y0 — k2)t + k2t2, |
||
|
z(t, k3) = Z0 + (z\ —Z0 —k3)t + k3t2, |
||||
|
|
|
|
|
(2.29) |
|
V(t, ki ) = V0 + (Vi — V0 —ki )t + ki t2, |
||||
|
$(t, k5) = $0 + ($i —$0 —k5)t + k5t2, |
||||
|
£(t, k6) |
= £0 + (£i —£0 —k6)t + k6t2. |
|||
В данном |
выражении |
появляется шесть новых коэффициентов: k\, |
|||
k2, k3, k4, |
k5 и k6 . Задача состоит |
в поиске |
таких значений коэф |
||
фициентов, |
при которых |
траектория |
движения |
рабочего инструмента |
|