книги / Электрические и магнитные поля в технологии полимерных композитов

(2.2)

Па заряд д в поле напряженностью Е действует сила F:

которая совпадает по направлению с напряженностью в слу­ чае положительного заряда и направлена против напряжен­ ности в случае отрицательного. Потенциал — величина, рав­ ная отношению потенциальной энергии заряда W к величине заряда q, помещенного в данную точку электрического поля. Таким образом, потенциал V — энергетическая характерис­ тика, которая является скалярной величиной:

В случае электростатического поля, т. е. поля, создавае­ мого неподвижными зарядами, результирующее поле нескольких зарядов определяется согласно принципу суперпо­ зиции электрических полей — напряженность результирую­ щего поля, создаваемого совокупностью заряженных тел, бу­ дет являться векторной суммой напряженностей полей каж­

дого из тел £ Рсз= Tf,EK.

Распределение электрического поля в пространстве мож­ но изображать с помощью силовых линий напряженности. Линия напряженности проводится таким образом, что в лю­ бой ее точке касательная совпадает с вектором напряженно­ сти поля. Число силовых линий, проходящих через единич­ ную площадку, перпендикулярную к ним, пропорционально напряженности поля на этой площадке.

Если напряженность поля всюду одинакова по величине и направлению, то такое поле называется однородным. Ли­

дящих через поверхность, называется потоком напряженно­

сти поля через эту поверхность (потоком вектора Е).

Пусть линии напряженности пронизывают площадку S, направление нормали п к которой образует угол а с направ­ лением линии напряженности (рис. 2.1). Так как через еди­ ницу площади проходит Е линий напряженности, то весь по­ ток Ф через площадку So, являющуюся проекцией S на плос­

21

кость, перпендикулярную к направлению линий напряженно­ сти, будет равен:

мали п. В том случае, когда линии напряженности составля­ ют острый угол с нормалью, скаляр Ф — положительный, а если угол тупой — отрицательный.

где интегрирование осуществляется по всей поверхности S. Если перемещение заряда под действием поля из точки I

в точку 2 происходит в сторону убыли потенциальной энергии, работа перемещения на основании закона сохранения энер­ гии равна уменьшению потенциальной энергии:

убыль потенциала. Работа электростатического поля не зави­ сит от формы пути, по которому перемещается заряд.

Сумма кинетической и потенциальной энергий движущего­

22

Из формулы (2.8) следует, что электрический потенциал измеряется работой электрического поля по перемещению еди­ ницы положительного заряда из данной точки поля в беско­ нечность:

Потенциал поля положительных зарядов относительно ■бесконечности больше нуля, а отрицательных — меньше ну­ ля. Если заряд перемещается по замкнутому контуру так, что начало пути совпадает с его концом, то из (2.9) видно, что результирующая работа поля равна 0, т. е.

Учитывая, что dA = qE\dl, где Ei — проекция напряженно­ сти поля на направление бесконечно малого перемещения dl

.заряда <7=7^ 0, имеем

Величина §E{dl= 0 называется циркуляцией вектора на­ пряженности поля. Нулевое значение циркуляции показывает, что линии напряженности электрического поля не могут быть замкнутыми. Из формулы (2.9), устанавливающей связь по­ тенциала и работы поля, следует, что разность потенциалов :в двух точках электростатического поля численно равна от­ ношению работы, совершаемой полем при перемещении за­ ряда из одной точки в другую, к величине перемещающегося заряда:

Разность потенциалов можно изобразить графически по­ добно тому, как изображается силовыми линиями напряжен­ ность поля. Для этого представляют поверхности с одинако­ выми потенциалами во всех точках — эквипотенциальные поверхности. Пересекаясь с плоскостью чертежа, эти поверх­ ности образуют эквипотенциальные линии. На картах полей

23

их проводят так, чтобы они соответствовали приращениям:

потенциала (рис. 2.2).

Весь объем проводящего тела эквипотенциален, посколь­ ку внутри проводника электростатическое поле существовать не может. В противном случае может возникнуть ток проводи­ мости, что приведет к перераспределению зарядов и установ­

лению нулевого значения Е.

Линии напряженности поля перпендикулярны к эквипо-

Ш - ^7

Рис. 2.2. Карта эквипотенциальных по­ верхностей положительного заряда

тенциальным поверхностям, так как работа перемещения за­ ряда вдоль них равна нулю (A =qAU =0), это означает, что электрические силы, действующие на заряд, всегда направле­ ны по нормалям к поверхности равного потенциала.

Работа перемещения заряда q на расстояние Ап между эквипотенциальными поверхностями вдоль линии напряжен­ ности поля

с другой стороны

Физический смысл выражения (2.19) следующий: напря­ женность поля численно равна изменению потенциала, при­ ходящемуся на единицу длины вдоль линии напряженности, и направлена в сторону убывания потенциала. Выражение (2.19) отображает связь энергетической характеристики поля с ее силовой характеристикой.

Напряженность электрического поля равна градиенту по­ тенциала с обратным знаком:

(2.20)

24

В общей теории электромагнитного поля введена еще одна его характеристика — электрическая индукция, равная сумме

двух векторов: напряженности электрического поля Е и поля­

ризации среды Р, характеризующей смещения носителей за­ ряда под действием электрического поля. В системе СИ ин­ дукция

где Ео — размерная константа, называемая электрической по­ стоянной или диэлектрической постоянной вакуума (ео=

=8,85-10"12 Кл/(В -м)).

Визотропном веществе, не обладающем сегнетоэлектрическими свойствами, т. е. не приходящем в состояние самопро­ извольной поляризации, при слабых полях вектор поляриза­ ции прямо пропорционален напряженности поля:

где Хе — постоянная безразмерная величина, называемая ди­ электрической восприимчивостью, характеризующая способ­ ность среды к поляризации (см. гл. 4). Для сегнетоэлектри-

ков Хе зависит от Е и связь между Р и Е становится нели­ нейной.

электрической индукции. Направление этих линий в каждой точке пространства совпадает с направлением вектора индук­ ции, а их количество на единицу площади определяется вели­ чиной индукции. Число линий индукции, пронизывающих дан­ ную поверхность, называется потоком вектора электрической лндукции или потоком вектора электрического смещения

(потоком вектора D ).

Поток вектора электрической индукции N — скаляр, и в «общем случае

25

где Dn — проекция D на направление нормали к элементар­

ной площадке ds. Поток вектора D через любую замкнутую поверхность определяется только свободным зарядом, а не всеми зарядами внутри объема, ограниченного данной поверх­

ностью, подобно потоку вектора Е. Это позволяет не рассмат­ ривать поляризационные заряды и упрощает решение многих технологических задач, связанных с применением поля [469]..

Связь потока вектора индукции через произвольную замк­ нутую поверхность с величиной электрического заряда, нахо­ дящегося внутри этой поверхности, устанавливает теорема Г а у с с а . В общем случае внутри замкнутой поверхности 5 может находиться п зарядов. Поток вектора индукции всех зарядов равен алгебраической сумме потоков отдельных за­ рядов:

где ф —интеграл по замкнутой поверхности 5.

Теорема Гаусса справедлива и для потока напряженности

формы приведен в работах [126, 447].

2.2.Основные параметры магнитного поля:

Магнитное поле — силовое поле, действующее на движущие­ ся электрические заряды и тела, обладающие магнитным моментом, независимо от состояния их движения [469]. Ис­ точником макроскопического магнитного поля являются на­ магниченные тела, проводники с током и движущиеся элек-

Рис. 2.3. Сила, действующая на проводник с током в магнитном

поле

dF-'UdlB]

26

трически заряженные тела. Их природа едина: магнитное поле возникает в результате движения заряженных микрочас­ тиц, а также благодаря наличию у них собственного магнит­ ного момента [469].

Переменное магнитное поле возникает также при измене­ нии во времени электрического поля. В свою очередь при из­ менении во времени магнитного поля возникает электриче­ ское поле. Магнитное поле характеризуют вектором магнит-

Рнс. 2.4. Силовые линии магнитного поля: а — проводника с током; б — соленоида

ной индукции В — величиной, определяемой по закону Ам­

пера, связывающего силу взаимодействия dF линейного эле­

мента тока Idl и исследуемого магнитного поля (рис. 2.3):

Распределение магнитного поля характеризуют с помощью

линий магнитной индукции. Вектор В в каждой точке распо­ ложен вдоль касательной (рис. 2.4) к такой линии. Интеграл вектора магнитной индукции по некоторой поверхности на­ зывается магнитным потоком через эту поверхность:

s

Магнитный поток является скалярной величиной. Индук­ цию можно рассматривать как плотность магнитного потока. Полный магнитный поток, пронизывающий замкнутую по­ верхность, всегда равен нулю:

т. е. линии магнитной индукции всегда непрерывны и образу­

27

ют замкнутые петли, они нигде не начинаются и не заканчи­ ваются [126].

Элементарный вектор магнитной индукции поля, создава­

Рис. 2.5. Определение элементар­ ного единичного вектора магнит­ ной индукции

направленный вдоль этого расстояния; jxa — абсолютная маг­ нитная проницаемость, характеризующая среду. Для вакуу­ ма, воздуха и большинства материалов абсолютная магнитная

Интегрирование производится по всему замкнутому контуру

тока, состоящему из элементов Idl. В том случае, когда маг­ нитное поле характеризуют независимо от среды, рассматри­

28

Линия в пространстве, касательная к которой в каждой

точке совпадает с вектором И, называется линией напряжен­ ности магнитного поля. В неферромагнитной среде эти линии совпадают с линиями магнитной индукции.

2.3. Электрический заряд

вмагнитном поле. Электромагнитная индукция

На носитель заряда q, движущийся в магнитном поле с

индукцией В, в соответствии с законом Ампера действует сила

где I — путь, который заряд q, движущийся со скоростью v, проходит за время t. Отсюда сила, которая действует на за­ ряд, движущийся в магнитном поле под произвольным углом к направлению поля, определяется выражением

В частном случае носителем заряда является электрон. Тогда в формулу (2.34) в качестве q следует подставить е= = 1,602-10"19 Кл. Следует учитывать, что направление дви­ жения отрицательных зарядов противоположно техническому направлению тока.

Сила, действующая на заряд, движущийся в магнитном поле, называется силой Лорентца. Любой заряд q, движущий­

ся со скоростью v в проводнике или вне проводника, можно рассматривать как электрический ток и применять к нему формулу (2.35). Из нее, в частности, следует, что при совпа­

дении направлений В и v движущийся заряд под воздействи­ ем электрического поля не отклоняется от первоначального

направления. Если же направления В и v перпендикулярны, то сила Лорентца перпендикулярна к направлению движения заряда. Поэтому для движущегося в однородном магнитном поле электрического заряда q массой т сила Лорентца явля­ ется центростремительной силой, заставляющей заряд дви­ гаться с постоянной скоростью по круговой траектории с ра­ диусом

Электромагнитная индукция — это возникновение электро­ движущей силы (э. д. с. индукции) в проводящем контуре,

29

находящемся в переменном магнитном поле или движущем­ ся в постоянном магнитном поле [469]. Электрический гок, вызванный э. д. с. индукции, называется индукционным. Со­ гласно закону Фарадея, э. д. с. индукции в контуре прямо пропорциональна скорости изменения во времени магнитного потока Ф через поверхность S, ограниченную контуром:

Коэффициент пропорциональности /г в системе СИ равен еди­ нице. Знак минус в правой части выражения (2.37) опреде­ ляет направление индукционного тока в соответствии с пра­ вилом Ленца, согласно которому магнитное поле индукцион­ ного тока противодействует вызвавшей его причине.

В постоянном магнитном поле э. д. с. индукции возникает, когда магнитный поток через ограниченную контуром по­ верхность изменяется во времени, т. е. контур при движении пересекает линии магнитной индукции. При движении вдоль линий ДФ=0, э. д. с. не возникает.

Величина тока, индуцированного в замкнутом проводнике,

Э. д. с. индукции возникает в проводнике не только при изменении магнитного потока, создаваемого, например, в со­ седнем проводнике, но и при изменении тока в исследуемом проводнике. Это явление называется самоиндукцией. Э. д. с. •самоиндукции определяется по выражению

d®

(2.39)

dt

где L — коэффициент самоиндукции, или индуктивность про­ водника.

Индуктивность простейших контуров может быть рассчи­ тана, а для более сложных контуров ее определяют экспери­ ментально. Индуктивность однослойного соленоида, к при­ меру, равна:

где ро и р — постоянные; п — число витков на один санти­ метр длины; 5 — площадь сечения соленоида; I — длина со­ леноида.

Для изготовления катушек, применяемых в качестве со­ противлений в цепях высокой частоты, провод наматывают в ■сложенном виде, т. е. ток в витках идет «навстречу», и ин-

-30