книги / Электрические измерения электрических и неэлектрических величин
..pdf—амплитудная частотная характерно- К(ш) тика (рис. 2.4, а);
Ф(а>) = агс!§
—фазовая частотная характеристика (рис. 2.4, б).
В |
полярной |
форме |
(К (/ю) = |
|
|
|
|||
= К (со) еМ®> характеристика |
(2.13) |
|
|
|
|||||
имеет |
название |
амплитудно-фазовой № |
|
|
|||||
частотной характеристики. Системы, |
рис. 2. 4. Примерные графики ам |
||||||||
у которых К (со) и |
ф (со) |
однозначно |
плитудной (а) |
и фазовой |
(6) ха |
||||
рактеристик |
|
|
|||||||
связаны между собой, |
называются |
ми |
|
|
|
||||
нимально-фазовыми, |
поскольку |
из |
всех |
возможных |
систем |
с оди |
|||
наковой логарифмической амплитудной характеристикой 1п/С (со) они дают наименьший сдвиг фазы при любой частоте.
Гл а в а 3. ПОГРЕШНОСТИ
3.1.Факторы, классификация
изаконы распределения погрешностей
Факторы погрешностей. В общем случае компонентами измеритель ной цепи являются: исследуемый объект, параметры которого подле жат измерению как физические величины? средства измерений; вспо могательные технические средства (источники питания, стабилизи рующие, коммутирующие и другие устройства, в том числе вычисли тельные); окружающая среда — воздух и объекты с протекающими в них процессами; экспериментатор, присутствие и функции которого определяются степенью автоматизации процесса измерений.
Перечисленные компоненты влияют друг на друга, в том числе на средства измерений и на процессы преобразования ими измерительной информации, а поэтому функция преобразования (2.2); может быть представлена в виде [14]
|
|
|
У = У(Х, 0, |
|, *)=Р(Х), |
(3.1) |
—♦ |
-4 |
-4 |
—► |
|
ф цепи |
где <2= |
ф (/) |
и | = |
§ {I) — случайные векторы параметров |
||
преобразования и факторов 1 элементарных погрешностей; I — коор |
|||||
дината времени. |
|
|
|
||
В отличие от номинальной функции преобразования |
|
||||
|
|
УНОМ“ |
—> |
-4 |
(3.2) |
|
|
УНОМ(X, ФнОМ, Еном» 0 = ^ном (X), |
|||
которая является детерминированной функцией, функция преобразо-
■—> —-►
вания (3.1) не вполне детерминирована, а ее аргументы ф и | — слу чайные величины и процессы, которые наряду с детерминированными
содержат индетерминированные составляющие. Из-за расхождений между У и Гио„ возникают погрешности преобразования измерительной информации, обусловленные факторами |. Параметрами <3 определяется степень влияния фактора | на размер вызванной им погрешности. Отклонения Аф параметров (} от их номинальных значений ф„омтакже являются факторами погрешностей.
Элементарной погрешностью будем называть погрешность, которую при данном анализе погрешностей не требуется подвергать дальнейше му расчленению на составляющие.
По происхождению различают факторы инструментальных погреш ностей, погрешностей установки, погрешностей метода и личных по грешностей.
Факторы инструментальных погрешностей являются следствием несовершенства принципа действия и конструктивно-технологического исполнения средства измерений. Они вызывают погрешности даже в наиболее благоприятных условиях применения средств измерений. Их примерами могут, например, служить: момент трения в опорах по движной части, обусловливающий погрешность от трения; остаточная намагниченность ферромагнитного сердечника электромагнитного при бора, из-за которой возникает погрешность от гистерезиса.
Факторами погрешностей установки являются отклонения условий применения средства измерения от условий его градуирования или от оптимальных условий, на применение в которых оно рассчитано. На пример, отклонение положения стрелочного прибора от предусмотрен ного горизонтального, вследствие чего возникает погрешность из-за неполной уравновешенности подвижной части; неполная коррекция нулевого положения стрелки (при отсутствии корректора это — фак тор инструментальной погрешности); отклонения влияющих величин (температуры, электрического и магнитного полей, влажности и пр.) или неинформативных параметров входного сигнала (частоты, коэф фициента формы и др.) от их нормальных или номинальных значений.
Факторы погрешностей метода являются следствием несовершен ства теории метода измерений, использования приближенных формул, неполной согласованности характеристик средств измерений с харак теристиками исследуемого объекта. В частности, такими факторами яв ляются отличные от нуля сопротивления последовательных цепей и от личные от бесконечности сопротивления параллельных цепей прибо ров, включаемых в измерительную цепь на время измерения.
Факторами личных погрешностей являются психофизиологические особенности экспериментатора, связанные с недостаточной остротой его зрения, усталостью или болезненным состоянием, склонностью завышать или занижать отсчет, округлять его только к четным или нечетным цифрам и другие факторы, причиняющие возникновение по грешностей считывания показаний.
Классификация погрешностей. Погрешности измерений опреде ляются, главным образом, погрешностями средств измерений, но они не тождественны им. В общем погрешности являются случайными процессами, а для фиксированных моментов времени — случайными величинами, содержащими детерминированные и индетерминированные составляющие.
Различают погрешности средств измерений в статическом и ди намическом режимах их применения, а также статические и динамиче ские составляющие погрешностей. Динамические составляющие погреш ностей могут возникать не только в динамическом, но и в статическом режиме применения средств измерений (например, частотная погреш ность).
Взависимости от условий применения средств измерений их по грешности подразделяются на основные и дополнительные. Основной по грешностью называется погрешность средств измерений в условиях, которые установлены нормативно-техническими документами как нор мальные для данных средств измерений. Дополнительными погрешнос тями называют изменения погрешности средства измерений, вызван ные отклонениями влияющих величин от нормальных значений или их выходом за пределы нормальных областей значений (к влияющим величинам относятся также и неинформативные параметры входных сигналов).
Детерминированные составляющие погрешностей называют систе матическими погрешностями, а индетерминированные — случайными.
Вобщем погрешность средства измерений зависит от информатив ного параметра X входного сигнала и может быть выражена степенным многочленом [14]
А (X ) — Д0 + б5Х + гХ2+ |
(3.3) |
где А0 — аддитивная составляющая погрешности, не зависящая от Х\
Ь%Х — мультипликативная |
составляющая, .линейно зависящая от |
X; еХ2 + ••• — нелинейная |
составляющая погрешности. |
Коэффициенты Д0, 63, е, |
являются случайными величинами или |
процессами и зависят от вектора Е факторов погрешностей, но не за висят от X.
Абсолютные и относительные погрешности средств измерений опре деляются аналогично выражениям (1.1) и (1.2), а приведенная погреш
ность |
как |
А(Х) |
|
|
V = |
(3.4) |
|
|
Х„ ’ |
||
где Хы — нормирующее значение (см. п. 4.1). |
собой |
||
Из |
(3.4) видно, что приведенная погрешность представляет |
||
выражение абсолютной погрешности А (X) средства измерений в долях нормирующего значения Хц. Следовательно, она безразмерна и выра жается обычно в процентах, а ее понятие применимо только к средствам измерений.
Классификационные признаки погрешностей средств измерений применимы и для погрешностей измерений, к которым, в частности, относятся личные погрешности и погрешности метода измерений. Погрешности этих обеих групп также могут содержать систематические и случайные составляющие. Различают еще грубые погрешности и промахи.
Грубая погрешность измерения — погрешность, существенно пре вышающая ожидаемую. Результаты с грубыми погрешностями обна руживают с помощью специальных статистических критериев и исклю чают из рассмотрения. Промах — следствие неисправности средства
измерений, нарушение правил его применения, ошибочного считыва ния показаний, их записи и т. п. Промахи обнаруживаются непосред ственно в процессе-выполнения измерений.
Систематической погрешностью измерения называют составляющую погрешности измерения, которая при повторении равноточных измере ний величины с неизменным размером остается постоянной или законо мерно изменяется. Изменяющиеся систематические погрешности в за висимости от закона их изменения подразделяются на прогрессирующие (возрастающие или убывающие за время измерения), периодические (знак и значение периодически меняются) и изменяющиеся по сложному закону.
Случайной (центрированной) погрешностью измерения называют составляющую погрешности измерения, которая при повторении изме рений изменяется случайным образом. Эти погрешности возникают вследствие случайных изменений свойств средств измерений, условий измерений и свойств органов чувств экспериментатора, но могут иметь также характер погрешностей метода (например, центрированная со ставляющая погрешности квантования). Случайность погрешностей может быть двух видов. Первый вид характерен для погрешностей, причины возникновения которых вовсе неизвестны либо известны по физической природе, но не поддаются контролю, как, например, термо динамические флуктуации. Случайность второго вида имеет субъектив ный характер, заключающийся в том, что погрешности, которые по сути являются детерминированными, трактуются экспериментатором как индетерминированные. Например, температурная погрешность, которую относят к случайным погрешностям, если ее зависимость от температуры неизвестна либо значение температуры не контроли руется.
Поскольку погрешности измерений определяются на основании по грешностей средств измерений, они также могут быть описаны много членной моделью, но уже в функции от результата измерений х. Как и погрешности средств измерений, погрешности измерений выражают в виде абсолютных либо относительных погрешностей, в том-числе в процентах, но понятие приведенной погрешности к ним неприменимо.
Законы распределения погрешностей. При вероятностно-статисти ческом подходе к погрешностям они трактуются как случайные вели чины и процессы, исчерпывающе описываемые законами распределе ния вероятностей их значений — функцией распределения Р (Д) либо плотностью распределения
/АЧ |
<*Р(Д) |
(3.5) |
Р(Д) = |
’ |
|
причем е учетом (1.1) погрешность |
|
|
Д = х — Х = Д + Д, |
(3.6) |
|
где |
оо |
|
|
|
|
Д = М [Д] = |
§ Др (Д) <*д |
(3.7) |
|
-=-00 |
|
рво. |
№-&) |
|
|
р(л) |
|
{Ш-с) |
0 |
1 |
7 |
-с |
' С |
> |
с |
а |
|
|
|
|
|
|
Рис, 3.1. Плотность распределения* |
|
|
|
|||
а — постоянной систематической |
погрешности; б — двухзначной дискретной по |
|||||
грешности |
|
|
|
|
|
|
— математическое ожидание погрешности Д, являющееся |
ее система- |
|||||
тической составляющей; |
о |
__ |
|
|
составляю |
|
Д = |
Д — Д — центрированная |
|||||
щая погрешности Д, называемая случайной погрешностью. |
||||||
Результат |
измерения |
х, |
который на основании |
(1.1) равен сумме |
||
истинного значения X измеряемой величины и погрешности |
Д, т. е. х = |
|||||
= X + Д, при X — сопз1 имеет распределение, отличающееся от рас пределения погрешности только математическим ожиданием.
Результирующие погрешности средства измерений и результатов измерений являются функцией элементарных погрешностей, в про стейшем случае — их суммой. Поэтому результирующую погрешность, выражаемую через элементарные погрешности, следует рассматривать как систему случайных величин. Для нахождения распределения систе мы случайных величин необходимо знать не только безусловные, но и условные их распределения, т. е. распределения одних величин при фиксированных значениях других величин. Случайные величины, ус ловные распределения которых равны безусловным распределениям, называются независимыми. В противном случае они зависимые в пре делах от тесной функциональной связи до полной независимости. В этих пределах лежат все градации стохастической или вероятностной за висимости между случайными величинами или процессами, которы ми являются и погрешности. Случайные величины, связанные линейной стохастической зависимостью, называются коррелированными.
Распределения элементарных погрешностей разнообразны. Постоян ная систематическая погрешность Д имеет плотность распределения в
виде б-функции, т. е. |
|
р(Д) = 6(Д — Д), |
(3.8) |
как показано на рис. 3.1, а через 6-функцию выражается также плот ность распределения (рис. 3.1, б)
|
/>(Д) = |
-у 6 (Д + с)+ -4 -б(Д — с) |
(3.9) |
|
двухзначной дискретной |
погрешности Д = |
± с, возникающей |
из-за |
|
явлений |
гистерезисного |
характера (люфт |
в кинематической |
цепи, |
гистерезис подвижного |
ферромагнитного сердечника в электромаг |
|||
нитных |
приборах). |
|
|
|
Сравнительно часто встречаются элементарные погрешности с рав новероятным распределением (рис. 3.2).
Симметричное равновероятное распределение (рис. 3.2, а)
„ ( Д ) - | - Н Г Ч - - Д . С А С 4 * |
(8.10) |
I о — — Д < — др| д > д р,
|
р(А) |
|
|
Рис. 3.2. |
Плотность |
равно |
|
|
|
|
вероятного |
распределения |
|||
|
|
|
|
погрешностей |
|
||
-Др |
6 |
йр |
Л |
Рис. 3.3, |
|
Плотность |
нор. |
|
сГ |
|
|
мального |
распределения по |
||
|
р(й) |
|
|
грешностей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
р{А) |
|
|
|
|
|
|
9в |
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
имеют погрешности, обусловленные трением в керновых опорах стре лочных приборов, погрешности округления отсчета по шкале аналого вого прибора, погрешность квантования при округлении к ближайше му уровню и т. п.
Элементарная погрешность, трактуемая в соответствии с приве денным выше определением как погрешность, не подлежащая дальней шему расчленению на составляющие, может иметь нормальное распре деление (рис. 3.3), плотность которого
р(Д) =
1
о У 2я
где
(А-А)* |
|
2а* |
(З.П ) |
а = + У м [Д2] = + (Д — Д)2 р (Д) йА (3.12)
— среднее квадратическое отклонение погрешности Д от ее математи
ческого ожидания Д.
Согласно центральной предельной теореме нормальное распределе ние имеет погрешность, являющаяся суммой достаточно большого числа независимых составляющих, ни одна из которых не является доминирующей. При этом составляющие погрешности могут иметь и различные распределения.
В общем составляющие (элементарные) погрешности могут быть независимыми и зависимыми, коррелированными и некоррелирован ными. Если они независимы, то и некоррелированны, но не наоборот. Только при нормальном распределении некоррелированные погреш ности являются независимыми.
Законы распределения погрешностей средств и результатов изме рений зависят от видов законов распределения элементарных погреш ностей, их количества, соотношения между их значениями и связей между ними. Определение законов распределения суммы независимых составляющих по законам распределения слагаемых называется ком позицией законов распределения, которая может быть осуществлена ана литически с помощью интеграла свертки с использованием понятия ха рактеристической функции, а также графическим путем.
рШ\.
о |
6/ |
*1 |
Рис. 9.4. |
Композиция |
распределения |
Рис. 3.5. |
|
Композиция трапеце |
||
Симпсона |
|
|
|
идального |
распределения |
||
Рис. 3.4. иллюстрирует композицию распределения |
Симпсона |
||||||
|
|
Ч г Е ж |
при |
0 < Д < - ^ - ; |
|
||
|
|
№-<*)• |
|
|
|
|
|
|
р(Д) = |
4 (Ь— А) |
«■ |
а + Ь |
< Д |
(3.13) |
|
|
{Ь— а)* |
|
|||||
|
|
О - « |
Д < а ; |
|
Д > 6 |
|
|
по двум равновероятным распределениям р(Дх) = — |
и р{Д2) = — |
||||||
погрешностей |
|
|
|
|
|
С |
С |
Дх и Д2. Обозначения ясны из рисунка. |
|
||||||
Сумма двух независимых погрешностей, распределенных равномер но, но с разными плотностями, имеет трапецеидальное распределение (рис. 3.5). На рис. 3.6 показана композиция суммы двухзначной
Рис. 3.6. Композиция суммы двух значной дискретной и нормально распределенной погрешностей
Рис. 3*7. Графическая интер претация условной плотности распределения погрешностей
дискретной и нормально распределенной погрешностей, а на рис. 3.7 — условная плотность распределения р (А/х) многочленной погреш ности А (х).
3.2.Точечные, интервальные
иобобщенные характеристики погрешностей
Точность и правильность измерений. Очевидно, если погрешности меньше, то точность выше. Поэтому точность измерений — характерис тика их качества, отображающая близость результатов измерений к истинному значению измеряемой величины. Правильность измерений — характеристика их качества, отображающая близость к нулю система тических погрешностей в результатах измерений.
Если систематическая погрешность известна, то погрешность ре зультата измерения можно исправить введением поправки. Поправка — значение величины, прибавляемой к результату измерения с целью исключения систематической погрешности. Другими словами, поправ ка с равна систематической погрешности, взятой с противоположным
знаком, т. е. с = —А.
Совокупными характеристиками точности и правильности измере ний являются их воспроизводимость и сходимость. Воспроизводимость измерений — положительное их свойство, отражающее близость друг к другу результатов измерений, выполняемых в различных условиях (в различное время, в различных местах, разными методами, средства ми и экспериментаторами). Сходимость измерений — воспроизводи мость измерений, выполняемых в одинаковых условиях.
Исчерпывающей характеристикой для определения точности и пра
вильности- |
измерений является |
условная плотность распределения |
|
р (Д(х)) = |
р (Д/х) многочленной |
погрешности |
А (х) (рис. 3.7). |
Точечные и интервальные характеристики |
погрешностей. Отдель |
||
ные вероятностные свойства погрешности А (х) описываются числовы ми характеристиками ее распределения, среди которых наиболее упо
требительными являются математическое ожидание М [А] = А, определяемое по (3.7), и дисперсия сг2 как квадрат среднего квадрати ческого отклонения, определяемого по (3.12). При х = соп$1 дисперсия погрешности равна дисперсии результата измерения.
Из-за отсутствия полной информации о законах распределения по грешностей находят только оценки (приближенные значения) число вых характеристик, которые называют точечными оценками, поскольку они выражаются одним числом (точкой числовой оси). Более полны ми являются интервальные оценки погрешностей.
На основании (3.6) результат измерения |
|
х = Х + Д = Х + А + Д, |
(3.13) |
а истинное значение величины |
|
X *=X—Д=*х—К—А, |
(3.14) |
причем А — случайная величина с некоторым распределением вероят ностей ее значений.
Задача сводится к оценке пределов ех и е2, в которых с заданной ве роятностью Р лежат значения погрешности Л. Интервал (ех, е2) называ ется доверительным интервалом, а Р — доверительной вероятностью.
Доверительный интервал — интервал (ех, е2), который с доверительной вероятностью
Р = Р(х — г1< Х < х + г2) |
(3.15) |
накрывает истинное значение X измеряемой величины.
Если систематическая составляющая Л погрешности Д известна и учтена, то при симметричном доверительном интервале (е,, е2) = ± е нормально распределенной погрешности* доверительная вероятность
е |
е |
А» |
2 |
_ _ |
Р = | р ( Д ) й Д = - ^ - Г е - 5 г 4 |
- - - ^ - Г |
е |
* Аг = 2Ф(г), |
|
- е |
* 2п о |
' 2л |
о |
(3.16) |
где
2 __ 2^
ф (г) = ^ г | е |
2 * |
— функция Лапласа (интеграл вероятностей), значения которой та булированы; некоторые удвоенные ее значения 2Ф (г) при г = е/а для симметричного интервала ± е приведены ниже.
2 |
0,00 |
0,50 |
0,6745 |
0,80 |
1,00 |
1,50 |
2,00 |
3,00 |
4,00 |
2Ф (г) |
0,0000 |
0,3830 |
0,5000 |
0,5762 |
0,6826 |
0,8664 |
0,9544 |
0,9973 |
0,9999 |
Следовательно, при нормальном распределении погрешностей и известном о половина симметричного доверительного интервала е = =5 го, а доверительная вероятность
Р = Р(л; — г а < Х < х + го) = 2 Ф ^ -|-|. |
(3.18) |
При нормальном распределении, как видно из приведенных выше данных, доверительной вероятности Р = 2Ф (г) = 0,5000 соответствует симметричный доверительный интервал, половина которого е = го
называется вероятной погрешностью
р = 0,6745а |
-о, |
а доверительной вероятности Р — 2Ф (г) = 0,5762 соответствует до верительный интервал, половина которого называется средней арифме тической погрешностью
ф = Л4|Д| = 0 ,7 9 7 9 а « -|-а .
Погрешность, равную За, условно называют предельной погреш ностью, так как она равна половине доверительного интервала, кото-
рому соответствует доверительная |
вероятность Р = 0,9973, а вероят |
|
ность большей погрешности, чем |
Зо, составляет |
<3 = 1 — 0,9973 =* |
= 0,0027, т. е. практически мала. |
|
ним отнесем сред |
Обобщенные характеристики погрешностей. К |
||
ний квадрат и энтропийное значение погрешности, понятия которых связаны с понятием потерь измерительной информации при ее преобра зовании в процессе измерения.
Погрешность как эргодический стационарный случайный процесс согласно (1.1) представима в виде
А(1) = х (0 — Х(1)=х{1) + х (0 — X (0 — X (0 =
= х (0 - X Ц) + х (I) - X (/) = Д (0 + А (0- |
(3.19) |
Средний квадрат А2(?) погрешности Д (0 или средняя квадратиче ская погрешность в (() с учетом (3.19) определяется как
т
г({) = |
П ш ^ г |
^ Д 2(/)Л = |
Д^(Г) = Д2 + о{, |
(3.20) |
|
Т -+-оо |
*р. |
|
|
поскольку 2Д (/) Д (/) = 0. |
|
|
|
|
Если X (I) — X |
— соп$1, то X (/) = |
0 и тогда в (3.19) Д (<) = |
х (О, |
|
а в (3.20) ог^ = сто , т. е. дисперсия погрешности определяется только
дисперсией результата *(/). Отметим, что средний квадрат погрешно сти не следует смешивать с ее средним квадратическим отклонением.
Энтропийное значение погрешности определяется как [24]
Д э = К эО, |
(3.21) |
где Кэ — энтропийный коэффициент, значение которого однозначно определяется видом закона распределения погрешности Д, а а — ее среднее квадратическое отклонение.
При определении Дэ посредством Кэ распределение погрешности заменяется эквивалентным равновероятным. Энтропийный коэффи циент нормального распределения Кэ.и = 2,07. Поэтому энтропийное
значение нормально |
распределенной погрешности равно полови |
|
не |
доверительного |
интервала при доверительной вероятности Р =* |
= |
2Ф (2) — 0,95, т. е. Дэ.н = в. |
|
3.3. Общие вопросы оценивания погрешностей результатов измерений
Исключение систематических погрешностей. Любая систематиче ская погрешность опаснее центрированной, так как она всегда искажает результат измерения. В связи с этим важнейшей задачей измеритель ного эксперимента является обнаружение систематических погреш ностей с целью их исключения или учета.
Универсального способа обнаружения систематических погреш ностей не существует, поскольку весьма разнообразны методы, средства и условия измерений. Поэтому при подготовке измерительного экспе римента необходимо тщательно изучить систематические погрешности.