Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5839

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

670.25 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Находим

значение

yk :

y0 = 1/(1 + x0 ) = 1;

y1 = 1/(1 + x1 ) = 1/1,2 = 0,833;

y2 = 1/(1 + x2 ) = 1/1,4 = 0,714;

y3 = 0,635;

y4 = 0,556;

y5 = 0,500 .

Получаем

≈ 0,2(0,500 + 0,833 + 0,714 + 0,625 + 0,556 + 0,250) = 0,696.

∫

1 + x

3.1.3.Формула Симпсона

Если через точки (xi−1, fi−1 ) ,

(xi−1/ 2 , fi−1/ 2 ) , (xi , fi )

провести парабо-

лу

P (x) = f

i −1/ 2

fi − fi−1

(x − x

i−1/ 2

) +

fi − 2 fi−1/ 2 + fi −1

(x − x

i−1/ 2

)2 ,

h2 / 2

то ее интегрирование позволяет получить элементарную формулу Симпсона Ii . Покажем это.

−

fi −1

P (x)dx = hf

i −1/ 2

∫

(x − x

i −1/ 2

)dx +

∫ 2

xi−1

fi − 2 fi −1/ 2 +

fi −1

∫ (xi − xi −1/ 2 )dx =hfi −1/ 2 +

( fi − 2 fi −1/ 2 + fi −1) =

h2 / 2

xi−1

( fi −1 − 4 fi −1/ 2 + fi ),

( fi −1/ 2 + 4 fi −1/ 2 + fi ).

Составная квадратурная формула Симпсона имеет вид:

	h	n	n −1
I ≈ Iсимп =		( f0 + fn + 4∑ fi −1 / 2	+ 2 ∑ fi ).

3		i =1	i =1

Если число элементарных отрезков разбиения четно (n = 2m) , то можно формулу записать в следующем виде:

	h		m	m −1
I ≈ Iсимп =	h	( f0 + f2m + 4∑ f2i −1		+ 2 ∑ f2i ).
I ≈ Iсимп =		( f0 + f2m + 4∑ f2i −1		+ 2 ∑ f2i ).
3			i =1	i =1
В этой формуле роль			элементарного	отрезка играет отрезок

[x2i−1, x2i ]. длина такого отрезка равна 2h .

3.1.4.Оценка погрешности

Введем следующее обозначение M = max f (k ) (x).

k [a,b]

Если функция f дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [a,b], то для составных квадратурных формул прямоугольников и трапе-

ций справедливы следующие оценки погрешности:

I − Iпр ≤ M 2 (b − a) h2 ,

I − I тр ≤ M 2 (b − a) h2 .

Такие оценки показывают, что формулы прямоугольников и трапеций имеют второй порядок точности относительно h. Однако формулы левых и правых прямоугольников имеют первый порядок точности относительно h. Для них справедливо следующая оценка погрешности:

I − Iпр	≤	(b − a)M1	h.


	2

Если функция f имеет на отрезке [a,b] непрерывную производную четвертого порядка, то тогда для формулы Симпсона справедлива оценка погрешности:

I − Iсимп ≤ M 4 (b − a) h4 .

180

Такая оценка показывает, что формула Симпсона имеет четвертый порядок точности относительно h.

3.2. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса

Будем строить квадратурные формулы для вычисления следующего интеграла:

					b
					I = ∫ f (x)ρ(x)dx,
					a
где	f (x) –		любая функция из некоторого заранее оговоренного класса, а
ρ(x)	– некоторая фиксированная функция, называемая весовой. Заменим
f (x) интерполяционным полиномом и положим
				b		b
				∫ f (x)ρ(x)dx ∫ Ln (x)ρ (x)dx .
				a		a
Обозначим:
			b		b	b
	Rn ( f ) = ∫ f (x)ρ (x)dx −∫ Ln (x)ρ (x)dx = ∫[ f (x) − Ln (x)]ρ (x)dx =
			a		a	a
	b		(n) (ξ (x))
	= ∫	f	(n) (ξ (x))	ρ (x)ωn (x)dx.
	= ∫			ρ (x)ωn (x)dx.
	a		n!
	a

При записи последнего равенства использовано хорошо известное представление остаточного члена интерполяционного полинома Лагранжа. В приведенных формулах удобно сделать замену переменных, перейдя от

отрезка [a,b] к отрезку [−1,1]: x = b + a + b − a t . При этой замене узлы ин-

терполирования x j

перейдут в узлы d j . Тогда будем иметь:

b n

(x − xi )

∫ Ln (x)ρ (x)dx = ∫ ∑ f (x j )∏

ρ (x)dx =

a j =1

i =1

(x j − xi )

i ¹ j

(t − di )

b − a

= ∫ ∑ f (x j )∏

(t)

∑ D j f (x j ).

(d j − di

)

a j =1

i =1

j =1

i ¹ j

Здесь принято обозначение:

1 n	(t − di )
D j = ∫∏	(t − di )	ρ * (t)dt ,
D j = ∫∏		ρ * (t)dt ,
-1 i=1	(d j − di )
i¹ j

Итак,

ρ * (t) = ρ b + a + b − a t .
2	2

− a

∫ f (x)ρ (x)dx ≈∫ Ln (x)ρ (x)dx =

∑ D j

f (x j ) ,

(3.3)

j =1

≤ D(d1 , d

(n)

b − a n+1

( f )

,..., dn ) max

(x)

(3.4)

Здесь

[a,b]

ω(t)ρ * (t)

D(d1 , d2

,...dn ) = ∫

dt,

(3.5)

-1

ω(t) = (t - d1 )(t - d2 )...(t - dn ).

Заметим, что при построении квадратуры (3.3) было использовано представление интерполяционного полинома в форме Лагранжа, которое предполагает выполнения условия xi ¹ x j при i ¹ j .

Положим, ρ (x) ≡ 1 и рассмотрим несколько конкретных формул.

3.2.1.Формула прямоугольников с кратными узлами

n = 2, d1 = d2 = 0.

Оценка погрешности может быть сделана по выведенной ранее формуле, а квадратурную формулу необходимо построить заново, т.к. в данном случае должен быть использован интерполяционный полином Эрмита.

b	b
∫ f (x)dx ≈ ∫G2
a	a

				1	1			1
		D =		1	∫t 2dt =			1	,
		D =			∫t 2dt =				,
			2		−1	3
b	a + b				a + b
(x)dx = ∫ f			+ f ′				x −
(x)dx = ∫ f			+ f ′				x −
a		2				2


a + b		a + b
	dx = (b − a) f

2			2

R2 ( f ) =

′′

b − a 3

f (ξ )

≤

′′

b − a

R2 ( f )

max

(x)

[a,b]

3.2.2.Ньютоново правило трех восьмых

n = 4, d1 = −1, d2

= −

, d

3 =

, d4 = 1.

− 1)(t

− 1/ 9)

1513

D = ∫

dt =

87480

−1

(t +1/ 3)(t −1/ 3)(t −1)

∫

dt =

(−1+1/ 3)(−1−1/ 3)(−1−1)

−1

D2 =

(t + 1)(t

− 1/ 3)(t

− 1)

dt =

∫ (−1/ 3 + 1)(−1/ 3 − 1/ 3)(−1/ 3 −

−1

(t + 1)(t

+ 1/ 3)(t

− 1)

dt =

∫

(1/ 3 + 1)(1/ 3 + 1/ 3)(1/ 3 − 1)

−1

(t + 1)(t + 1/ 3)(t − 1/ 3)

D4 = ∫

(1 + 1)(1 + 1/ 3)(1 − 1/ 3)

−1

b − a

− a

2(b − a)

∫ f (x)dx ≈ ∫ L4 (x)dx =

f (a) + 3 f a

+ 3 f a +

f (b) .

1513

(IV )

b − a

R4 ( f ) =

(ξ )

87480

R ( f )

≤

1513

max

f (IV ) (ξ )

(b − a)5.

2799360

[a,b]

Большая часть машинного времени при решении задач на ЭВМ тратится на вычисление функции, поэтому может показаться, что приведенная формула является менее эффективной, чем формула Симпсона. Дело в том, что при той же степени полиномов, для которых эта формула точна, она требует на одно вычисление функции больше, чем формула Симпсона. Можно,

однако, показать, что выведенная оценка погрешности является завышенной. Для данной формулы справедливо:

R4 ( f ) = - 1 f ( IV ) (ξ )(b - a)5 . 6480

Для построения составной ньютоновой формулы трех восьмых разобьем отрезок [a,b] на 3m отрезков точками:

x0 = a,x1, x2 ,..., x3m = b,xi +1 - xi = h,h = b − a . 3m

К каждому из отрезков [x3i , x3i+3 ] применим ньютоново правило трех вось-

мых:

m−1

− x

)

[ f (x3i

) + 3 f (x3i+1 ) + 3 f (x3i+2 ) + f (x3i+3 )] =

∫ f (x)dx ≈ ∑

i=0

m−1

[ f (x0 ) + f (x3m ) + 3∑ f (x3i+1 ) +3∑ f (x3i+2 ) +2∑ f (x3i ),

i =0

i=0

i =0

[I1 + 3I3 + 2I2 ].

∫ f (x)dx ≈ Ih =

m−1

Здесь I1 = f (a) + f (b),I2 = ∑ f (x3i ),I3 =

∑ f (x3i+1) + f (x3i+2 ).

i=1

i=0

Оценка погрешности:

m−1

∫ f (x)dx » ∑

(x3i +3 - x3i )

[ f (x3i ) + 3 f (x3i+1 ) + 3 f (x3i+2 ) + f (x3i+3 )] =

i=0

m−1 x3i +3

(x3i+3 - x3i )

×[ f (x3i ) + 3 f (x3i +1 ) + 3 f (x3i +2 ) + f (x3i+3 )] =

= ∑

∫ f (x)dx -

i =0

x3i

m−1

(3h)

3mh 1

m−1

(b - a)

= -∑

f ( IV ) (ξi ) = -

∑ f ( IV ) (ξi ) = -

f ( IV ) (ξ

) = Kh4 ,

6480

i=0

6480 m i=0

где K = −

34 (b − a)

f ( IV ) (ξ

[a,b],ξ

, x

),ξ

6480

3i +

3.3. Апостериорные оценки погрешности

3.3.1.Главный член погрешности

Пусть нам надо вычислить следующий интеграл:

I = ∫ f (x)dx.

Применение квадратурной формулы на сетке отрезка [a,b] с шагом

h = (b - a) / n , позволит получить приближенное значение I h вычисляемо-

го интеграла. Предположим, что погрешность квадратурной формулы может быть записана в следующем виде:

I − I h = Chk + o(hk ),

где величины C ¹ 0 и k > 0 не зависят от h.

Величина Ch k называется главным членом погрешности квадратурной формулы. Число k называется порядком точности квадратурной формулы.

Для достаточно гладкой функции f существует главный член погрешности каждой составной квадратурной формулы:

	n		n	f (xi−1/ 2 + t j h / 2).
I ≈ I h = ∑ h∑ a j				f (xi−1/ 2 + t j h / 2).	(3.6)
i =0			j =0
m
Теорема. Пусть ∑ a j = 1 и k –	минимальное среди натуральных чисел, для
j =0
которых величина
		1	1	m
σ k	=	1	t k dt − ∑a j t kj
σ k	=		t k dt − ∑a j t kj
		2 −∫1		j =0

отлична от нуля. Если функция f непрерывно дифференцируемая k раз на отрезке [a,b], то для погрешности квадратурной формулы (3.6) справедли-

во представление:

I − I h = Chk + o(hk ),

			47
	σ k	b	σ k	(f (k −1) (b) − f (k −1) (a)).
C =	σ k	∫ f (k ) (x)dx =	σ k
C =	k	∫ f (k ) (x)dx =	k
	2 k!	a	2 k!
		a

Следствие 1. Для квадратурной формулы прямоугольников справедливо следующее представление:

I − Iпрh = Cпрh2 + o(h2 ), Cпр = 241 ∫a f ′′(x)dx .

Для квадратурной формулы трапеций справедливо следующее представление

I − Iтрh = Cтрh2 + o(h2 ), Cтр = −121 ∫a f ′′(x)dx .

Для квадратурной формулы Симпсона справедливо следующее представление:

I − IC = CC h4 + o(h4 ), CC = − 28801 ∫a f (4) (x)dx .

Следствие 2. Уменьшение шага h в М раз приводит к уменьшению по-

грешности квадратурной формулы примерно в M k раз. Если h1 = h / M , то

I − I h1 ≈ Chk =	1	Ch k ≈	1	(I − I h ) .

1	M k		M k

Частным случаем этого результата является результат с уменьшением шага h в два раза: уменьшение шага h в два раза приводит к умень-

шению погрешности примерно в 2k раз:

I − I h / 2 ≈	1	Chk ≈	1	(I − I h ) .
	2k		2k

3.3.2.Правило Рунге оценки погрешности

Непосредственное использование формул из теоремы для оценки погрешности I − I h неудобно. На практике поступают по-другому.

Так как

I − I h ≈ Ch k , C = const

и, кроме того, справедливо

I − I h / 2 ≈		1	Chk ,
I − I h / 2 ≈		2k	Chk ,
		2k
то можем получить
I h / 2 − I h ≈	1	Ch k (2k		−1) .
I h / 2 − I h ≈	2k	Ch k (2k		−1) .
	2k

Учитывая в последнем выражении, что

I − I h ≈ Ch k ,

получаем

I h / 2 − I h ≈ (I − I h / 2 )(2k −1) .

Окончательно можем записать

I − I h / 2 ≈			I h / 2		− I h
							.
			2k
					− 1
Использование этой формулы на практике называют правилом Рун-
ге или правилом двойного пересчета.
Замечание 1. Так как
I − I h / 2 ≈	1	Chk ≈		1		(I − I h ) ,
	2k
				2k

то можем записать

I − I h ≈ 2k (I − I h / 2 ) .

Используя формулу правила Рунге


I − I h / 2 ≈			I h / 2 − I h		,

			2k	−1
можем получить следующее представление
I − I h ≈	2k	(I h / 2 − I h )
						.
			2k
				− 1

Если формула правила Рунге используется для апостериорной

оценки погрешности значения I h / 2 , то полученная формула может быть

использована для приближенной оценки погрешности значения I h . Замечание 2. Заменив h на 2h формула правила Рунге приводится к виду:

I − I h ≈					I h − I 2h		.

					2k	− 1
Так как для формул прямоугольников и трапеций k = 2 , а для фор-
мулы Симпсона k = 4 , то можем записать:
I − I h	≈			1	(I h	− I 2h ),

пр				3 пр		пр
I − I h	≈		1		(I h	− I 2h ),

тр	3				тр	тр

I − I h	≈	1			(I h	− I 2h ).

С	15				С	С

Простейшие апостериорные оценки погрешности не по правилу Рунге

Так как по следствию 1 из теоремы можем записать:

Cтр = −2Cпр ,

то

I h

− I h

= (C

пр

− С

тр

)h2

→ o(h2 ) ≈ 3C

пр

h2 ,

тр

пр

что позволяет записать:

I − I h

≈

(I h

− I h

пр

тр

пр

I − I h

≈ −

(I h − I h

тр

пр

Экстраполяция Ричардсона

Так как мы имеем I − I h / 2 ≈

Chk

≈

I h / 2

− I h

, то тогда

−1

можем записать:

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023669.9 Кб05834.pdf
#
21.11.2023669.92 Кб05835.pdf
#
21.11.2023670.13 Кб05836.pdf
#
21.11.2023670.17 Кб05837.pdf
#
21.11.2023670.19 Кб05838.pdf
#
21.11.2023670.25 Кб05839.pdf
#
21.11.2023133.15 Кб0584.pdf
#
21.11.2023670.25 Кб15840.pdf
#
21.11.2023670.35 Кб05841.pdf
#
21.11.2023670.42 Кб05842.pdf
#
21.11.2023670.42 Кб05843.pdf