Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

5839

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.11.2023

Размер:

670.25 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

	50
I ≈ I h / 2 =	1		(I h / 2 − I h ) .	(3.7)

	2k −
	2k −	1

Таким образом, квадратурная формула I h порождает новую квадратурную формулу (3.7), имеющую более высокий порядок точности.

Предположим, что для погрешности квадратурной формулы справедливо представление:

I − I h = C1hk1 + C2 hk2 + …+ CN hk N + o(hk N )

при всех N = 1,2,..., причем 0 < k1 < k2 < ... < kN <... . Такое представление приводит к методу экстраполяцию Ричардсона. Пусть шаг h измельчается по правилу:

hj = h j−1 / 2, j = 1,2,..., N ,

тогда, положив

I0h = I h ,

вычисления последующих приближений осуществляют по рекуррентному соотношению:

I Nh = I Nh /−21 +	1	(I Nh /−21	− I Nh −1 ),N = 1,2,... .
	2kN −1

3.3.3.Метод Ромберга

Для формулы трапеций представление экстраполяции Ричардсона применимо при k1 = 2, k2 = 4,..., k N = 2N . Метод, применяющий экстрапо-

ляцию Ричардсона для формулы трапеций, называется методом Ромберга. Первый шаг метода Ромберга приводит к следующему уточнению квадратурной формулы трапеций:

I h / 2 +

(I h / 2

− I h

) =

I h / 2

−

I h

тр

+ fn

2n−1

n−1

∑ fi / 2

−

fi +

+ ∑

i=1

h−1

+ f

+ 4

∑

i −1/ 2

+ 2

∑

= I h .

i =1

fi =

Таким образом, получили формулу Симпсона.

Вывод квадратур Ромберга основывается на аппроксимации интеграла по составной формуле трапеций в следующем виде:

I = I h + C2(0) h2 + C4(0) h4 +...+ C2(0m) h2m +

где величины Ci(0) ,i = 2,4,... не зависят от h .

Определим теперь новую аппроксимацию формулой:

I1 = 1 [4I h / 2 − I h ]. 3

o(h2m ), (3.8)

интеграла следующей

Коэффициенты этой линейной комбинации выбраны таким образом, чтобы при вычислении с помощью экстраполяционной формулы Ричардсона (3.8)

ошибки аппроксимации формула I1 коэффициент при h2 обращалась в ноль. Следовательно,

I1 = I h + C4(1) h4 + …+ o(h2m ) .

Интеграл аппроксимируется с четвертым порядком точности (метод Симпсона). Процесс можно продолжить, выводя новую аппроксимацию I2

как линейную комбинацию I1h и I1h / 2 , разложение которой по h не будет содержать члена порядка h4 . В общем случае мы можем построить треугольный массив:

I h

I h / 2 I1h

I h / 4 I1h / 2 I 2h

... ,

где

h / 2 j −1	= [4	j	h / 2 j	h / 2 j −1	]/(4	j	−1) .
I k	= [4		I k −1	− I k −1	]/(4		−1) .

Элементы i -го столбца этого массива сходятся к значению интеграла со

скоростью порядка h2i .

3.4. Квадратурные формулы Гаусса

Поставим следующую оптимизационную задачу.

При заданном числе n узлов интерполяции построить квадратуру, точную для многочленов наиболее высокой степени.

b		b − a	n
I ( f ) = ∫ f (x)ρ(x)dx ≈ Sn	( f ) =		∑ D j f (x j ).	(3.9)

a	2		j =1

В отличие от предыдущих пунктов в квадратуре s будем считать неизвестными коэффициенты d и узлы j интерполирования x j . Квадратуры, по-

строенные таким образом, будем называть квадратурами Гаусса.

Пусть имеется квадратурная формула, точная для любого многочлена Pm (x) степени m.

I (Pm ) = Sn (Pm ).

Имеем:

Rn ( f ) = Rn (Pm + f − Pm ) = Rn (Pm ) + Rn ( f − Pm ),

b − a

Rn ( f )

≤ ∫

f (x)ρ(x)

dx +

∑

D j

f (x j )

≤ Vn sup

f (x)

2 j =1

[a,b]

b − a n

где Vn = ∫

ρ (x)

dx +

∑

D j

2 j =1

Отсюда

R ( f ) £V sup f (x) .
n	n [a,b]

Взяв нижнюю грань по всем многочленам степени m, получим оценку:

Rn ( f ) ≤ Vn Em ( f ), где

En ( f ) = inf sup f (x) − Pm (x) .

Pm [a,b]

Отсюда следует, что постановка оптимизационной задачи разумна.

При Pm (x) = ∑

q=0

aq xq имеем:

Rn (Pm ) = ∑aq Rn (xq ) .

q = 0

Чтобы квадратура была точна для многочленов степени m необходимо и достаточно, чтобы она была точна для всех функций xq , q = 0,..., m. Следо-

вательно, должны выполняться соотношения:

b		b - a	n
Rn (xq ) = ∫ xq ρ(x)dx -			∑D j × xqj = 0,q = 0,...m .

a	2		j =1

Получили систему из m+1	уравнения относительно 2n неизвестных

x1, x2 ,..., xn ,D1, D2 ,...Dn .

Займемся построением квадратур, соответствующих максимальному значению m = 2n-1.

Лемма 1. Если x1,..., xn – узлы квадратуры, точной для всех многочленов степени 2n-1, то

∫ωn Pn−1 (x)ρ (x)dx = 0.

При ωn (x) = (x − x1 )(x − x2 )...(x − xn ) и Pn−1 (x) – произвольном многочлене степени n-1.

		54
Рассмотрим Q2n−1 (x) = ωn (x)Pn−1 (x) . Квадратура точна для этого по-
линома.
b	b			b − a		n
∫ωn Pn−1	(x)ρ (x)dx = ∫Q2n−1	(x)ρ (x)dx =		b − a		∑ D j Q2n−1 (x j ) =0,
∫ωn Pn−1	(x)ρ (x)dx = ∫Q2n−1	(x)ρ (x)dx =				∑ D j Q2n−1 (x j ) =0,
a	a	2				j =1
a	a					j =1
т.к. Q2n−1(x j ) = (x − x1)(x − x2 )...(x − xn )Pn−1 (x)			x= x j		= 0.
					= 0.

Предположим далее, что P(x) > 0 почти всюду на [a,b]. Можно построить требуемую квадратурную формулу. Для этого зададимся узлами интерполяции x1 ,..., xn , Yn (x j ) = 0 и построим квадратуру Ньютона-Котеса.

Получим требуемую квадратуру:

b − a

∫ f (x)ρ(x)dx ≈

∑G j

f (x j ) .

(3.10)

j =1

При нашем предположении (ρ(x) > 0)

не существует квадратуры,

точной для многочленов степени 2n.

самом деле, возьмем

(x) = (x − x )2 ...( x − x

)2 , тогда левая

часть (5.9) примет вид:

∫((x − x1 )2 ...(x − xn )2 )ρ (x)dx > 0,

а правая равна 0, т.к. f (x

) = Q

(x) = (x − x )2 ...(x − x

= 0.

x= x j

Докажем положительность коэффициентов G j .

Ψ (x) 2

– многочлен степени 2n-2, обращающийся в нуль во всех точках

x − xℓ

x j

¹ xℓ .

				b	b − a	n
Квадратура (5.10) будет точна для f (x) = 1 , поэтому ∫ ρ (x)dx =					b − a	∑G j
					2	∑G j
				a	2	j =1
				a		j =1
b	b − a	n
или ∫ ρ (x)dx =		∑	G j	.

	2
a	2	j =1
a		j =1

Возвращаясь к формулам оценки погрешности, получим:

− a

Vn = ∫ ρ (x)dx +

∑

G j

= 2∫ ρ (x)dx,

j =1

Rn ( f )

( f ) .

(3.11)

≤ 2 ∫ ρ (x)dx

E2n −1

Приведем еще одну оценку

погрешности

формул

Гаусса через

max f (n) (x) .

[a,b]

Пусть L2n (x) – интерполяционный многочлен Лагранжа с двукрат-

ными узлами интерполяции x1, x2 ,...xn , т.е.

	L2n (x j ) =			′	(x j ) =		′
	L2n (x j ) =			f (x j ),L2n	(x j ) =		f (x j ).
Так как
f (x) − L			(x) = f (x; x ; x ;...x			n	, x	n	)Ψ 2 (x) .
		2n		1	1	n		n	n
Поскольку Rn (L2n (x)) = 0(L2n (x)				– многочлен степени 2n-1), то
				b
Rn ( f ) = Rn ( f (x; x1; x1;...xn , xn )Ψn2 (x)) = ∫ f (x; x1; x1;...xn , xn )Ψn2 (x)ρ(x)dx −
				a
	b − a	n
−	b − a	∑G j f (x j ; x1; x1;...xn , xn )Ψn2 (x j ).
−		∑G j f (x j ; x1; x1;...xn , xn )Ψn2 (x j ).
2		j =1
		j =1

Воспользовавшись неотрицательностью Ψ 2 (x)ρ (x) , применим обобщен-

ную формулу Лагранжа, получим:

Rn ( f ) = f (ξ ; x1; x1;...xn , xn )∫ Ψn2 (x)ρ(x)dx.

Выразив f (ξ ; x1; x1;...xn , xn ) через производную получим окончательно:

R ( f ) = f (2n)		)	∫	Ψn (x)ρ(x)dx .	(3.12)
R ( f ) = f (2n)	(ξ	)		Ψn (x)ρ(x)dx .	(3.12)
n				(2n)!
			a

Приведем узлы и коэффициенты некоторых квадратур Гаусса.

Пусть p(x) ≡ 1, [a,b]≡ [− 1;1], Тогда имеют место следующие соотноше-

ния:

n = 1, Ψ1 (x) = x + α ,

∫1(x + α )dx = 0,

−1

x + αx 1−1 = 2α = 0 только при α = 0,

Ψ1 (x) = x,d1 = 0,

				2				1
		G1	=	2					∫	1dx = 2.

				− (−1)
			1	− (−1)
									−1
		n = 2,	Ψ (x) = x2 + αx + β ,
				2
1							x3					x2
∫(x2 + αx + β )1dx =									1−1		=α		1−1 = βx	1−1 =


−1				3							2
				3							2

=	2	+ 2β = 0,β = −			1	,
=		+ 2β = 0,β = −				,
3				3
1				1

∫ (x2 + αx + β )xdx = ∫(x3 + αx2 + βx)xdx =

−1								−1
=	x4		1−1 + α			x3	1−1 +β		1−1		2		=	2	α = 0,α = 0,
	x4					x3					2			2

4					3						3		3
4					3						3		3

		x2 −		1	= 0,x = ±					3		≈ 0.57735026,
		x2 −			= 0,x = ±							≈ 0.57735026,
		3						3

				2 1			x −			3							3 x2										1
																						1			3						3


								3
	G1 =				∫							dx = −										−1	−			x	−1 = −					−
	G1 =			2	∫							dx = −								2		−1	−		3	x	−1 = −					−
					−1 −			3	−		3						2 3														2 3
								3			3
										3
						3				3

					1			x +		3											x2
				2												3										3
										3														1					1
					∫					3														1					1
	G2 =													dx = −										−1	+			x	−1	= 1.
				2														2				2				3
						3						3							3
						3						3							3
					−1			−		−
					−1			−		−
						3				3
						3				3
Продолжая дальше, получим:
n = 1
d1 = 0,			G1 = 2.
n = 2
d1 = −0.5773502691896258,																d2 = 0.5773502691896258,
G1 = 1,			G2 = 1.
n = 3
d1 = −0.7745966692414834,d2 = 0,
d1 =0.7745966692414834,
G =		5	= 0.5555555556,G											=	8	= 0.8888888889,
G =			= 0.5555555556,G										2	=		= 0.8888888889,
1	9												2	9
	9													9
G =		5	= 0.5555555556.
G =			= 0.5555555556.
1	9
	9

n = 4

d1 = −0.8611363115940526, d2 = −0.339981 043 584 8563, d3 =0.3399810435848563,

d4 =0.8611363115940526,

G1 =0.3478548451,

G2 =0.6521451549,

G3 =0.6521451549,

G4 =0.3478548451.


	3		= 1,
	3	2
		2
3
3

n = 5

d1 = −0.9061798459386640, d2 = −0.53846931010568309, d3 = 0,

d4 = 0.53846931010568309,

d5 = 0.9061798459386640,

G1 = 0.2369268851,

G2 = 0.4786286705,

G3 = 0.5688888888,

G4 = 0.4786286705,

G5 = 0.2369268851.

n = 6

−d1 = d6 = 0.9324695142031520,

−d2 = d5 = 0.6612093864662645,

−d3 = d4 = 0.2386191860831970,

G1 = G6 = 0.1713244924,

G2 = G5 = 0.3607615730,

G3 = G4 = 0.4679139346.

n = 7

−d1 = d7 = 0.9491079123427585,

−d2 = d6 = 0.7415311855993944,

−d3 = d5 = 0.4058451513773972,

d4 = 0,

G1 = G7 = 0.12948496616886969,

G2 = G6 = 0.2797053914892767,

G3 = G5 = 0.3818300505051189,

G4 = 0.41795918367346938.

4. Численное дифференцирование

Методы численного дифференцирования используют в тех случаях, когда нахождение производной очень сложно, требует длинных и громоздких расчетов, а также в случае таблично заданных функций.

4.1.1.Простейшие формулы численного дифференцирования

Вычисление первой производной. Предположим, что в окрестно-

сти точки x функция f дифференцируема достаточное число раз. Исходя из определения производной

′	f (x + x) − f (x)
f (x) = lim		,
f (x) = lim	x	,
x→0	x

естественно попытаться использовать для ее вычисления две простейшие приближенные формулы:


′			f (x + h) − f (x)
f	(x) ≈				,		(правая)	(4.1)

				h
	′	≈		f (x) − f (x − h)
f	(x)					,	(левая)	(4.2)

				h
соответствующие выбору			фиксированных				значений x = h и	x = −h .

Здесь h > 0 – малый параметр (шаг). Разностные отношения в правых частях формул (4.1) и (4.2) часто называют правой и левой разностными про-

изводными.
Для оценки погрешностей:
	′	f (x + h) − f (x)
r+ (x, h) =	f (x) −		,
r+ (x, h) =	f (x) −		,
		h
	′	f (x) − f (x − h)
r− (x, h) =	f (x) −
r− (x, h) =	f (x) −	h
		h

формул численного дифференцирования (погрешностей аппроксимации)

воспользуемся формулами Тейлора:
	′	′′		2
		f (ξ± )
f (x ± h) =	f (x) ± f (x)h +		h		.	(4.3)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.11.2023669.9 Кб05834.pdf
#
21.11.2023669.92 Кб05835.pdf
#
21.11.2023670.13 Кб05836.pdf
#
21.11.2023670.17 Кб05837.pdf
#
21.11.2023670.19 Кб05838.pdf
#
21.11.2023670.25 Кб05839.pdf
#
21.11.2023133.15 Кб0584.pdf
#
21.11.2023670.25 Кб15840.pdf
#
21.11.2023670.35 Кб05841.pdf
#
21.11.2023670.42 Кб05842.pdf
#
21.11.2023670.42 Кб05843.pdf